7 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 第1课时 两点间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦平面直角坐标系中两点间的距离公式，从数轴上两点距离入手，延伸至平面中与坐标轴平行的特殊情况，再通过勾股定理推导一般公式，构建从特殊到一般的学习支架。 通过问题链引导学生用数学眼光观察距离关系，推导过程培养抽象能力与几何直观。应用实例中判断三角形形状、坐标法证明几何问题，提升逻辑推理与数学运算素养。课时分层评价设计，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，提升直观想象、数学运算的核心素养.　2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　两点间的距离公式 问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：｜AB｜＝｜xB－xA｜. 问题2.在平面直角坐标系中，若两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离｜AB｜？ 提示：(1)当AB与x轴平行时，｜AB｜＝｜x2－x1｜； (2)当AB与y轴平行时，｜AB｜＝｜y2－y1｜； (3)当AB与坐标轴不平行时，如图所示，在Rt△ABC中， ｜AB｜2＝｜AC｜2＋｜BC｜2， 所以｜AB｜ ＝. 即A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离为｜AB｜＝. 1.两点间的距离公式 平面上A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式｜AB｜＝. 2.两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点A(x，y)间的距离｜OA｜＝. (2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，｜AB｜＝｜x2－x1｜. (3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，｜AB｜＝｜y2－y1｜. [微思考]　A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式是否可以写成｜AB｜＝的形式？ 提示：可以，原因是＝，也就是说公式中A，B两点的位置没有先后之分，与两点的先后顺序无关. (1)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为(　　) A. B. C.3 D.2 答案：D 解析：由两点间的距离公式，得｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝＝2.故选D. (2)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值. 解：设点P的坐标为(x，0)，则有 ｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝＝. 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－. 故所求点P的坐标为. ｜PA｜＝＝. 学生用书⬇第23页 计算两点间的距离的方法 1.对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，则｜AB｜＝. 2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况｜y2－y1｜或｜x2－x1｜求解. 对点练1.求下列两点间的距离： (1)A(3，1)，B(－2，5)； (2)A(3，0)，B(－1，0)； (3)A(a，5)，B(a，－2). 解：(1)｜AB｜＝＝. (2)由于点A，B均在x轴上， 所以｜AB｜＝｜－1－3｜＝4. (3)由于直线AB⊥x轴， 所以｜AB｜＝｜－2－5｜＝7. 任务二　两点间的距离公式的应用 角度1　由两点间的距离求参数的值 若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为　　　　　　. 答案：(2，10)或(－10，10) 解析：由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10).由两点间的距离公式，得｜MN｜＝＝10或｜MN｜＝＝10，解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10). [变式探究] (变条件)将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标. 解：由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10. 设点M的坐标为(±10，yM)， 由两点间的距离公式得 ｜MN｜＝＝10， 或｜MN｜＝＝10， 解得yM＝－6或10. 所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10，10). 根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解. 对点练2.已知A(a，3)，B(3，3a＋3)的距离为5，求a的值. 解：｜AB｜＝ ＝＝5， 即(a－3)2＋(3a)2＝25， 即5a2－3a－8＝0， 解得a＝－1，或a＝， 因此a的值为－1或. 角度2　判断三角形的形状 (一题多解)已知△ABC三顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解：法一：根据两点间的距离公式， 得｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝2， 又｜BC｜＝＝2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜， 所以△ABC是等腰直角三角形. 法二：因为kAC＝＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB. 又｜AC｜＝＝2， ｜AB｜＝＝2， 所以｜AC｜＝｜AB｜. 所以△ABC是等腰直角三角形. 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向. 2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理. 对点练3.已知点A(5，1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2). (1)试判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积. 解：(1)依题意得，点A(5，1)关于x轴的对称点为B(5，－1)，关于原点的对称点为C(－5，－1)， 根据两点间的距离公式， 得｜AB｜＝＝， ｜BC｜＝＝， ｜AC｜＝＝， 所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2， 所以△ABC是直角三角形. (2)S△ABC＝·＝×2×10＝10. 学生用书⬇第24页 角度3　坐标法在平面几何中的应用 如图，在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，D是BC边上异于B，C的任意一点.求证：｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜. 证明：如图所示，以BC的中点为原点O， BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)，－b＜m＜b， 则｜AB｜2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2， ｜AD｜2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， ｜BD｜·｜DC｜＝｜m＋b｜·｜b－m｜＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， 所以｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜＝a2＋b2， 所以｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜. 利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴. 对点练4.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：｜AP｜＝｜PQ｜. 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系.如图所示， 设正方形边长为a， 则A(0，a)，C(a，0)， 设点P的坐标为(t，0)(0＜t＜a). kAP＝－，lPQ：y＝(x－t)，① lCQ：y＝x－a.② 联立①②可得Q(a＋t，t)(或利用三角形相似求得点Q坐标). 因为｜AP｜＝，｜PQ｜＝， 所以｜AP｜＝｜PQ｜. 任务再现 1.两点间的距离公式.2.两点间的距离公式的应用 方法提炼 待定系数法、坐标法、设而不求、整体代入、整体消元 易错警示 1.依据距离公式求参数易漏解.2.坐标系建立不恰当 1.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且｜AB｜＝5，则a的值为(　　) A.1 B.－5 C.1或－5 D.－1或5 答案：C 解析：因为｜AB｜＝＝5，所以a2＋4a－5＝0，解得a＝1或－5.故选C. 2.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：AB中点的坐标为D(－1，－1)，所以｜CD｜＝＝.故选B. 3.已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案：A 解析：因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝5，｜BC｜＝，所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，所以△ABC是直角三角形.故选A. 4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面内的点P满足｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜，则点P的坐标为　　　　　　. 答案：(3，1) 解析：设点P的坐标为(x，y)，由因此点P的坐标为(3，1). 学科网（北京）股份有限公司 $