6 1.5　两条直线的交点坐标-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦两条直线的交点坐标核心知识点，系统梳理从解方程组求交点，到通过解的个数判断相交、平行、重合的位置关系，再延伸到过交点的直线方程、直线过定点及相关证明的知识脉络，通过问题引导、例题解析、变式探究等支架帮助学生逐步掌握。 以数形结合思想为主线，通过一题多解（如求过交点直线方程的常规法与直线系法）和变式探究（平行改垂直），培养学生逻辑推理与数学运算素养。课中助力教师引导探究，课后分层评价与对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.5　两条直线的交点坐标 学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　2.会根据方程解的个数判断两条直线的位置关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　两条直线的交点坐标与方程组的解 问题1.已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系. 提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组的解. 问题2.关于x，y的二元一次方程组 的解如何求？ 提示：利用加减消元法或代入消元法求解. 1.两条直线的交点 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标. 2.两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示. 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 微提醒　判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 如有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (链教材P21练习2)判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. 解：(1)解方程组 所以l1与l2相交，交点坐标是(，). (2)解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0， 因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合. 1.方程组解的个数与两直线的位置关系：一般地，若方程组有一组解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想. 2.求两条直线的交点坐标，只需将两条直线的方程联立，解方程组即可，体现了用代数方法研究几何问题的思想. 学生用书⬇第20页 对点练1.(1)已知直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是(　　) A.－4 B.3 C.3或－4 D.±4 (2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)C(2)(－，2) 解析：(1)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点为(，)，又该点在直线y＝－x上，所以＝－，解得k＝3或－4.故选C. (2)直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点为(，)，又该点位于第四象限，则解得－＜a＜2. 任务二　求过两条直线交点的直线方程 问题3.观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示：当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4. 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). (一题多解)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程. 解：法一：由方程组 得两直线交点坐标为(－，－)， 因为直线l和直线3x－y－1＝0平行， 所以直线l的斜率k＝3， 所以根据点斜式有y－(－)＝3， 即所求直线l的方程为15x－5y＋2＝0. 法二：因为直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点， 所以可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. 因为直线l与直线3x－y－1＝0平行， 所以＝≠，解得λ＝. 从而所求直线l的方程为15x－5y＋2＝0. [变式探究] (变设问)将本例改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线l的方程.” 解：法一：解方程组 即交点P(－5，2). 因为直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－， 所以所求直线的斜率是. 故所求直线l的方程是y－2＝(x＋5)， 即3x－2y＋19＝0. 法二：设所求直线方程是3x－2y＋m＝0. 解方程组 得交点P(－5，2)，把点P(－5，2)坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线l的方程为3x－2y＋19＝0. 法三：设所求直线的方程为(2x＋y＋8)＋λ(x＋y＋3)＝0，即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0(*)，因为所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直，所以2(2＋λ)＋3(1＋λ)＝0，解得λ＝－，把λ＝－代入(*)式得所求直线l的方程为3x－2y＋19＝0. 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C'＝0(C'≠C). 2.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C'＝0. 3.过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数). 当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1； 当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2. 对点练2.求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 解：由方程组 即l1与l2的交点坐标为(－2，2). 因为直线l过l1，l2的交点及坐标原点， 所以其斜率k＝＝－1. 故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0. 学生用书⬇第21页 任务三　直线过定点问题 (一题多解)求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标. 证明：法一：令k＝1，得到直线l1：x＝1， 令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0， 由得l1与l2交点M(1，－1)， 把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立， 所以无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1). 法二：由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝(x－1)(k≠1)， 因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)； 当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1). 综上所述，不论k取何值时，直线l必过定点M(1，－1). 法三：方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为k(x－y－2)＋(x＋y)＝0， 由 显然使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立， 所以无论k取何值时， 直线l必过定点M(1，－1). 处理动直线过定点问题的常用方法 1.将直线方程化为点斜式. 2.从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点. 3.从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则由此方程组求得定点坐标. 对点练3.求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点. 证明：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0， 此方程对任意实数m都成立， 则必有 所以m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4). 任务四　与交点有关的证明问题 (链教材P20例20)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点. 证明：kAB＝＝，kBC＝＝， 则AB，BC边上的高所在直线的斜率分别为－，－3， 则AB，BC边上的高所在直线的方程分别为 y－1＝－(x－4)，y－4＝－3(x－1)， 由 则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为(，)， 又kAC＝＝－1，则AC边上的高所在直线的斜率为1，则AC边上的高所在的直线方程为y＋1＝x＋2，即y＝x＋1， 因为点(，)满足方程y＝x＋1， 故△ABC的三条高所在的直线交于一点. 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上. 对点练4.已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2.当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上. 解：因为l1与l2相交，所以m2－16≠0，m≠±4， 联立 解得x＝，y＝－， 所以点A(，－)， 证明如下：因为x＝＝＝1－＝1＋2y， 即x－2y－1＝0(y≠0). 因此，点A一定在直线x－2y－1＝0(y≠0)上. 任务再现 1.两条直线的交点坐标与方程组的解.2.求过两条直线交点的直线方程.3.直线过定点问题.4.与交点有关的证明问题 方法提炼 消元法、直线系法 易错警示 对两直线相交条件认识模糊 学生用书⬇第22页 1.下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是(　　) A.y＝－x＋5 B.3x＋2y＝0 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：kl＝－，又选项C中所对应直线的斜率k＝－，所以kl≠k，从而两直线相交.故选C. 2.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A.(3，2) B.(2，3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) 答案：B 解析：解方程组故两条直线的交点坐标为(2，3).故选B. 3.若三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为　　　　. 答案：－1 解析：由所以两条直线的交点坐标为(4，－2).由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋8＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1. 4.经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程是　　　　　　. 答案：x－4y＋10＝0 解析：法一：联立直线方程，解方程组故l1，l2的交点坐标为(－2，2).由两点式得所求直线的方程为＝，即x－4y＋10＝0. 法二：易知直线5x＋2y＋6＝0不符合所求方程，设所求直线方程为x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)，将点A(2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0，解得λ＝－.故所求直线方程为x＋3y－4－(5x＋2y＋6)＝0，整理得x－4y＋10＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $