5 1.4　两条直线的平行与垂直-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦两条直线的平行与垂直，承接直线倾斜角与斜率知识，通过问题引导、表格对比等学习支架，系统梳理平行（斜率相等或均不存在）和垂直（斜率乘积为-1或一斜率为0一不存在）的判定条件及应用。 资料以任务驱动设计（任务一至五层层递进），结合多维度判定方法（斜率、法向量）和例题变式、分层练习，培养直观想象（几何图形分析）、逻辑推理（条件推导）与数学运算（求方程、参数）素养，课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

1.4　两条直线的平行与垂直 学习目标 1.理解两条直线平行、垂直的条件，培养直观想象的核心素养.　2.能根据斜率判定两条直线平行与垂直，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.　3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　两条直线平行 问题1.如图所示，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 提示：若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2； 对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2均不存在. 问题2.对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？ 提示：一定有l1∥l2.因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2. 学生用书⬇第15页 1.对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 2.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，则l1∥l2⇔k1＝k2. 3.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合. 微提醒(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提：两条直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2；直线l1，l2不重合.(2)两条直线平行与斜率之间的关系： l1∥l2⇔ [微思考]　对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，可否用它们的法向量n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)来判断这两条直线是否平行呢？ 提示：能，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0. (链教材P17例16)判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0； (2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0； (3)l1：x＝2 000，l2：x＝2 025； (4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0. 解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. (1)因为k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2， 所以l1∥l2. (2)因为k1＝2，k2＝，k1≠k2， 所以l1与l2不平行. (3)由两直线的方程可知，l1∥y轴， l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等， 所以l1∥l2. (4)因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1， 所以l1与l2重合. 判断两条不重合直线是否平行的方法 对点练1.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系： (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3). 解：(1)由题意知k1＝＝－， k2＝＝－， 所以l1与l2平行或重合. 需进一步研究A，B，C，D四点是否共线， 因为kBC＝＝－≠－， 所以A，B，C，D四点不共线， 所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝， k2＝＝， 因为k1＝k2，所以l1∥l2，或l1与l2重合. 学生用书⬇第16页 任务二　两条直线垂直 问题3.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 1.对于两条不重合的直线l1，l2，当其斜率都存在时，设它们的斜率分别为k1，k2.两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，则对应关系如下： 类型 斜率存在 其中一条斜率不存在 前提条件 ｜α2－α1｜＝90° α1＝0°，α2＝90° 对应关系 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1斜率为0，l2斜率不存在 图示 2.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. 微提醒(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提：两条直线l1，l2的斜率都存在，且均不等于0.(2)两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2⇔ [微思考]　对于两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，判断它们的位置关系，判断的理由是什么？ 提示：l1⊥l2.理由：l1的一个法向量为n1＝(A，B)，l2的一个法向量为n2＝(B，－A).因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2，所以l1⊥l2. (链教材P18例18)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2 025，l2：x＝2 026. 解：(1)因为k1＝－3，k2＝， 所以k1k2＝－1，则l1⊥l2. (2)法一：因为k1＝－，k2＝， 所以k1k2＝－1，则l1⊥l2. 法二：由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4，3)，n2＝(3，－4). 因为n1·n2＝0， 所以l1⊥l2. (3)由两个方程，可知l1∥x轴，l2∥y轴，所以l1⊥l2. 判断两条直线是否垂直的方法 1.在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 2.若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直. 对点练2.(多选题)下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q( 0，－) C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3) 答案：ABD 解析：对于A，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；对于B，l2过点P(1，1)，Q( 0，－)，kPQ＝，－×＝－1，故两条直线垂直；对于C，kPQ＝，＝，·kPQ≠－1，故l1与l2不垂直；对于D，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝，kMN·kPQ＝－1，故两条直线垂直.故选ABD. 学生用书⬇第17页 任务三　利用两直线平行、垂直求直线方程 (链教材P17例17，P18例19)已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程. 解：法一：因为直线l的方程为3x＋4y－20＝0， 所以kl＝－. (1)设过点A与直线l平行的直线为l1， 因为kl＝，所以＝－. 所以l1的方程为y－2＝－(x－2)， 即3x＋4y－14＝0. (2)设过点A与直线l垂直的直线为l2， 因为kl·＝－1，所以( －)·＝－1， 所以＝. 所以l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0. 法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－20)， 因为点(2，2)在直线上， 所以3×2＋4×2＋C＝0，所以C＝－14. 所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， 因为点(2，2)在直线上，所以4×2－3×2＋λ＝0， 所以λ＝－2，即所求直线的方程为4x－3y－2＝0. [变式探究] (变条件)本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程. 解：(1)设所求直线为x－m＝0(m≠1)，因为过点(2，2)，则m＝2， 所以所求直线方程为x－2＝0. (2)易知l：x＝1的斜率不存在，所以所求直线的斜率k＝0， 所以所求直线方程为y＝2，即y－2＝0. 1.根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，用点斜式求解，或利用待定系数法求解. 2.直线方程的常用设法 (1)过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)；斜率不存在时，x＝x0. (2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋b. (3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0(m≠C). (4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0. 对点练3.(1)已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，求过点(－1，3)且与l平行的直线l'的方程； (2)求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 解：(1)法一：l的方程可化为y＝x－4， 所以l的斜率为. 因为l'∥l，所以l'的斜率为. 又l'过点(－1，3)， 所以由点斜式得直线l'的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 法二：因为l'∥l， 所以可设l'的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)， 将(－1，3)代入得m＝13， 所以所求直线l'的方程为4x－3y＋13＝0. (2)法一：设直线l的斜率为k， 因为直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， 所以k·(－2)＝－1，所以k＝. 又因为直线l经过点A(2，1)， 所以所求直线l的方程为y－1＝(x－2)， 即x－2y＝0. 法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. 因为直线l经过点A(2，1)， 所以2－2×1＋m＝0，所以m＝0. 所以所求直线l的方程为x－2y＝0. 任务四　利用两直线平行、垂直关系求参数值或范围 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k的值； (2)若这两条直线平行，求k的值. 解：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝. 所以若这两条直线垂直，则k＝. (2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3，或k＝5.经检验，均符合题意. 所以若这两条直线平行，则k＝3，或k＝5. 1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论. 2.当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)； (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 对点练4. 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2. 解：将直线l1化成斜截式方程y＝－x＋， 当a＝0时，l2的方程为x＝－1， l1的方程为y＝，此时l1⊥l2； 当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－. 若即a＝2时，l1∥l2； 若－·( －)＝－1，即＝－1，矛盾， 故l1与l2在a≠0时不垂直. 综上，当a＝2时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2. 学生用书⬇第18页 任务五　基于图形特征的直线平行与垂直 已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标. 解：若∠A＝∠D＝90°，如图①所示，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1). 若∠A＝∠B＝90°，如图②所示. 设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝. 由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即＝－3.　① 由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1， 即·(－3)＝－1.　② 解①②，得故A( ，－). 综上所述，A点坐标为(1，－1)或( ，－). 1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 2.利用图形中的平行和垂直求点的坐标的方法 对点练5. 已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标. 解：设第四个顶点D的坐标为(x，y)， 因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1， 且kAD＝kBC. 所以 所以第四个顶点D的坐标为(2，3). 任务再现 1.两条直线平行.2.两条直线垂直.3.利用两直线平行、垂直求直线方程.4.利用两直线平行、垂直关系求参数值或范围.5.基于图形特征的直线平行与垂直 方法提炼 分类讨论、数形结合、转化与化归思想 易错警示 研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况；研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况 1.过点(1，2)和点(－3，2)的直线与x轴的位置关系是(　　) A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 答案：B 解析：过点(1，2)和(－3，2)的直线的斜率k＝＝0，所以直线的方程为y＝2，故直线与x轴平行.故选B. 2.过点且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为(　　) A.3x＋2y＋7＝0 B.3x＋2y－1＝0 C.2x－3y＋5＝0 D.2x－3y＋8＝0 答案：B 解析：法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－，故由点斜式可得y－2＝－，即3x＋2y－1＝0.故选B. 法二：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为3x＋2y＋m＝0，又所求直线过点，则3×(－1)＋2×2＋m＝0，即m＝－1，所以所求直线方程为 3x＋2y－1＝0.故选B. 3.已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0互相平行，则实数a的值为(　　) A. B. C.0或 D.0或 答案：C 解析：由2a(2a－1)－1·(－a)＝0，解得a＝0，或a＝，当a＝0时，直线l1：x－1＝0与l2：－x－1＝0平行，当a＝时，直线l1：x＋y－1＝0与l2：－x－y－1＝0平行，所以实数a的值为0或.故选C. 4.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，则图形ABCD的形状为　　　　. 答案：直角梯形 解析：由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得，kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知，AB与CD不重合，所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形. 学科网（北京）股份有限公司 $