第03讲 两直线平行、垂直及两直线交点坐标（2考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第03讲 两直线平行、垂直及两直线交点坐标 课程标准 学习目标 1 了解两条直线的平行和垂直图形表示； 2 掌握两条直线平行和垂直的条件，而且斜率不存在的特殊情况； 3 学会求解两条直线的交点，并能运用所学知识解决实际问题，如求路线交点、最小距离问题等； 4 培养想象、分析和计算的能力． 1. 了解两条直线平行和垂直的位置关系； 2. 掌握两条直线平行和垂直的条件，明确平行直线斜率相等、垂直直线斜率乘积为-1的性质； 3. 会求直线与直线的交点坐标； 4. 激发学生学习数学的兴趣，通过引入有趣的实际问题和互动式教学，使学生的学习过程充满挑战和乐趣. 知识点一、两条直线平行与垂直的判断 1、两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. 2、两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． 知识点二、直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 题型01 两条直线平行 1.已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 2．已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】∵直线：平行于y轴， ∴，解得，，． 故选：B. 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 4．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】当时，两直线分别为：，， ∴两直线斜率相等且， ∴两条直线平行且不重合；充分性成立， 若两直线平行且不重合，则， ∴，必要性成立， 综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C． 5.已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为两条直线互相平行，所以，所以， 当且仅当时取等号，故实数a的最大值为． 故答案为：． 6.根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 题型02 两条直线垂直 1.已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意可知若，则， 又因为即，故，即. 故选：B. 2．已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 3.已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 4.（多选）已知，，直线，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，即， ，，则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以有，A选项正确； 由，有， 当且仅当，即，时等号成立，所以有，B选项正确； 由，有，，，则， ， 由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误， 由，有， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，D选项正确. 故选：ABD. 5.已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【答案】或 【详解】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 故答案为：或. 6.已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即， 解得或． 当时，，此时与重合，不符合题意； 当时，，符合题意． 故． （2）因为，所以， 解得． 7.已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【答案】(1)或0 (2)或． 【详解】（1）由题意得，解得或0； （2）由在直线上，得，解得，可得， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为， 令，可得，再令，可得， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或． 8.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 题型03 两条直线交点 1.直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．且 【答案】D 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 2．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 3.已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 【答案】B 【详解】因为， 对于A：当时，，则、， 所以，所以，故A正确； 对于B：若，则，解得或，当时，满足题意， 当时，，与重合，故舍去， 所以，故B错误； 对于C：当时，， 则，解得，即两直线的交点为，故C正确； 对于D：，即， 令，即，即直线过定点，故D正确. 故选：B. 4．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 5.在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 6．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线的方程为，，可得直线的斜率为， 又在轴上的截距为， 所以直线的方程为. （2）联立，解得， 因为直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且过点， 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，， 则，解得， 故方程为，即； 综上所述：的方程为或. 1.设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 【答案】B 【详解】直线：即，它的斜率为，在轴上的截距为，故A错，B对，令，则直线：与轴平行，且与直线垂直，故CD错误. 故选：B. 2.（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 4.（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 5．（多选）已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 【答案】ACD 【详解】对A：，一定不重合，若，则，解得或，故A正确； 对B：若，则，整理得，， 此方程无解，故不存在a，使得，故B错误； 对C：若，的交点横坐标为，则交点为，代入， 得，所以或1，故C正确； 对D：若且，则的斜率存在且不为零，在x轴上的截距， 所以一定经过第一象限，故D正确． 故选：ACD. 6．（多选）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为， 则，解得， 所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确； 对于B，由题意知，， ∵，∴， 所以直线的方程为，即，故B正确； 对于C，联立，解得， 所以点的坐标为，故C正确； 对于D，边的中点坐标为，， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误. 故选：ABC. 7.已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 8.已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 两直线平行、垂直及两直线交点坐标 课程标准 学习目标 1 了解两条直线的平行和垂直图形表示； 2 掌握两条直线平行和垂直的条件，而且斜率不存在的特殊情况； 3 学会求解两条直线的交点，并能运用所学知识解决实际问题，如求路线交点、最小距离问题等； 4 培养想象、分析和计算的能力． 1. 了解两条直线平行和垂直的位置关系； 2. 掌握两条直线平行和垂直的条件，明确平行直线斜率相等、垂直直线斜率乘积为-1的性质； 3. 会求直线与直线的交点坐标； 4. 激发学生学习数学的兴趣，通过引入有趣的实际问题和互动式教学，使学生的学习过程充满挑战和乐趣. 知识点一、两条直线平行与垂直的判断 1、两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. 2、两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． 知识点二、直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 题型01 两条直线平行 1.已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 2．已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5.已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 6.根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 题型02 两条直线垂直 1.已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（多选）已知，，直线，，且，则（    ） A． B． C． D． 5.已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 6.已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 7.已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 8.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 题型03 两条直线交点 1.直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．且 2．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 4．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5.在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 6．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 1.设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 2.（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 3．（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 4.（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 5．（多选）已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 6．（多选）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 7.已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 8.已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$