4 1.3　直线的方程 第3课时　直线方程的一般式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第3课时　直线方程的一般式 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，培养数学抽象的核心素养.　2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可表示一条直线.　3.会进行直线方程的五种形式之间的转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 任务一　直线方程的一般式 问题1.平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以.直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程. 问题2.任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 提示：可以，任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，当B≠0时，y＝－x－，它表示平面直角坐标系中的一条与x轴不垂直的直线(其中－是直线的斜率)；当B＝0，且A≠0时，x＝－，它表示平面直角坐标系中的一条与x轴垂直的直线. 1.直线方程的一般式 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式. (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. (3)几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，且A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率. 微提醒　直线方程的一般式的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(2)x的系数一般不为分数和负数.(3)解题时，如无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 2.直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 方程形式 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不全为零 [微思考]　当直线满足如下位置关系时，直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件？ (1)与两条坐标轴都相交；(2)直线只与x轴相交； (3)直线只与y轴相交；(4)直线与x轴重合； (5)直线与y轴重合. 提示：(1)当A≠0，B≠0；(2)当A≠0，B＝0，C≠0；(3)当A＝0，B≠0，C≠0；(4)当A＝0，B≠0，C＝0；(5)当A≠0，B＝0，C＝0. (链教材P13例11)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是 ，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. 解：(1)由直线方程的点斜式得y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由直线方程的斜截式得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由直线方程的两点式得＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由直线方程的截距式得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. 学生用书⬇第13页 1.求直线方程的一般式的策略 在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程(常设的方程有点斜式和斜截式)，然后转化为一般式. 2.直线方程的一般式与其他形式的互化 对点练1.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式： (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为　　　　　　　　； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为　　　　　　　　； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为　　　　　　　　. 答案：(1)x＋2y＋4＝0(2)2x－y－3＝0(3)x＋y－1＝0 解析：(1)由直线方程的点斜式得y－(－b)＝－(x－8)，即x＋2y＋4＝0； (2)由直线方程的截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0； (3)由直线方程的两点式得＝，即x＋y－1＝0. 任务二　与含参数的一般式方程有关的问题 已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R). (1)求该方程表示一条直线的条件； (2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； (3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值. 解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线. 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以x，y的系数同时为零时m＝－1， 故若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为. (2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由(1)知当m＝时，2m2＋m－1＝0且m2－2m－3≠0，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为3x－4＝0. (3)易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在. 依题意，令y＝0，得直线在x轴上的截距＝－3，解得m＝－(m＝3舍去). 所以实数m的值为－. [变式探究] (变条件)本例(3)中，若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值. 解：易知m≠－1且m≠时，直线的斜率存在， 方程即y＝－x－(m∈R)，故斜率为－. 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝(m＝－1舍去). 所以实数m的值为. 　　已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 对点练2.已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 解：(1)由条件知，a≠0且a≠， 在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝. 所以＝×3，解得a＝1，或a＝， 经检验，a＝1，均符合要求. (2)当a＝时，l的方程为x＋＝0，即x＝－1，此时l不通过第四象限； 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. l不通过第四象限，即＜a≤1. 综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为. 学生用书⬇第14页 [教材拓展1]　直线的点向式方程与平面内直线的点法式方程(源于教材P15－例14、例15) (1)已知点A，B和C(4，－5)，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程为(　　) A.2－＝0 B.－2＋3＝0 C.x－4＝0 D.7－4＝0 (2)(双空题)直线3x＋4y－7＝0的点向式方程是　　　　　　；点法式方程是　　　　　　　. 答案：(1)D(2)＝　3(x－1)＋4(y－1)＝0 解析：(1)根据题意知道直线l的法向量可取＝(7，－4)，则直线l的点法式方程为7－4(y－6)＝0.故选D. (2)因为直线3x＋4y－7＝0过点(1，1)，一个方向向量为(4，－3)，所以点向式方程是＝，点法式方程是3(x－1)＋4(y－1)＝0. 任务 再现 1.直线方程的一般式.2.直线方程五种形式的互化.3.与含参数的一般式方程有关的问题 方法 提炼 分类讨论思想、转化与化归思想 易错 警示 1.忽视斜率不存在的情况.2.忽视不同直线方程形式的适用范围 1.直线＋＝1化成一般式方程为(　　 ) A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 答案：C 2.在平面直角坐标系中，直线x＋ y＋1＝0的倾斜角是(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为直线斜率k＝－，所以倾斜角为.故选C. 3.经过点P(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是　　　　　　　. 答案：x－2y＝0或x＋2y－4＝0 解析：当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将P(2，1)代入得＋＝1，解得a＝2，故直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(2，1)代入得1＝2k，解得k＝，故y＝x，即x－2y＝0. 4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是，则实数m的值是　　　　. 答案：3 解析：由已知得解得m＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $