2 1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线方程的点斜式与斜截式，从确定直线位置的几何要素出发，推导点斜式方程，再通过过y轴点的特殊情况引出斜截式，形成从一般到特殊的学习支架，辅以例题、变式及综合应用。 以问题链驱动探究，通过“确定直线的要素”等问题引导学生抽象代数关系，培养逻辑推理。结合数形结合例题与分层练习提升直观想象和数学运算，任务再现与易错警示构建知识体系，课后评价助力查漏补缺，适用于课堂教学与学生自学。

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式，培养直观想象、逻辑推理的核心素养.　2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线方程的点斜式 问题1.过点P0(x0，y0)的直线在平面内有多少条？过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？由此得到什么结论？ 提示：无数条和一条，结论是：平面内一个点和斜率确定一条直线. 问题2.已知直线过P0(x0，y0)且斜率为k，直线上任意一点P(x，y)和它们有怎样的关系？试建立它们的代数关系式. 提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k(x－x0).当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P(x，y)均满足：y－y0＝k(x－x0). 1.直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用范围 斜率存在 3.特殊的直线方程 直线l经过点P(x0，y0)， (1)当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，特别地，x轴的方程是 y＝0. (2)当直线l的斜率不存在，即直线l倾斜角为时，直线l与y轴平行(或重合)，直线方程为x＝x0，特别地，y轴的方程是 x＝0. 微提醒(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)过某点P，可设直线方程的点斜式，注意讨论斜率不存在的情况. (链教材P10例7)根据条件写出下列直线的方程，并画出直线： (1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为； (3)经过点B(3，－5)，倾斜角为； (4)经过点C(2，8)，D(－3，－2). 解：(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如图①所示. (2)因为k＝tan＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x.如图②所示. (3)因为倾斜角为，所以直线的斜率k不存在，所以直线方程为x＝3.如图③所示. (4)因为k＝＝2，所以y－8＝2(x－2)， 即y＝2x＋4.如图④所示. 学生用书⬇第7页 求直线方程的点斜式的步骤 对点练1.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点. 解：(1)因为直线y＝x的斜率为， 所以直线y＝x的倾斜角为. 所以所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. 因为直线过点P(－2，3)， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 任务二　直线方程的斜截式 问题3.考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过P0(0，b)，那么此时直线的方程如何表示？ 提示：由y－b＝k(x－0)，得y＝kx＋b. 直线方程的斜截式 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用范围 斜率存在 微提醒(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－3的斜率k＝2，纵截距为－3. 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 解：(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线方程为y＝2x－1. (2)因为直线y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°， 故所求直线的倾斜角为30°，所以k＝tan 30°＝. 又b＝－2，所以直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为在y轴上的截距为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3. 所以所求直线方程为y＝x＋3. [变式探究] (变条件)若本例(3)变为：倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.求直线的斜截式方程. 解：因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. 所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 学生用书⬇第8页 求直线的斜截式方程的策略 1.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. 2.直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可. 对点练2.(1)(多选题)关于直线l：y＝x－1，下列说法正确的是(　　) A.过点(，－2) B.斜率为 C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1 (2)(双空题)直线l过点(2，－1)，且斜率为3，则直线l的斜截式方程为　　　　 　　；在y轴上的截距为　　　　. 答案：(1)BC(2)y＝3x－7　－7 解析：(1)对于A，将点(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确；易知B正确；对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线的倾斜角为60°，故C正确；对于D，由y＝x－1，知直线在y轴上的截距为－1，故D不正确.故选BC. (2)直线l过点(2，－1)，且l的斜率为3，由直线的点斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7. 任务三　点斜式(斜截式)方程的应用 过点P(2，1)作直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求： (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程； (2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程. 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)， 则可得A，B(0，1－2k). 因为与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点， 所以⇒k＜0. 于是S△AOB＝｜OA｜｜OB｜＝··(1－2k) ＝≥＝4， 当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时直线l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2. (2)因为A，B(0，1－2k)(k＜0)， 所以截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥ 3＋2＝3＋2， 当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立. 故截距之和的最小值为3＋2，此时直线l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋＋1. 直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点 1.一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在. 2.构建函数解析式后，应注明变量的取值范围. 3.运用基本不等式求最值，应注意“等号”是否取到.如果取不到，可用函数单调性求最值. 对点练3.已知直线l过点(1，2)且在x，y轴上的截距相等. (1)求直线l的方程； (2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值. 解：(1)①截距为0时，l：y＝2x； ②截距不为0时，k＝－1，l：y－2＝－(x－1)， 所以y＝－x＋3. 综上，l的方程为y＝2x，或y＝－x＋3. (2)由题意得l：x＋y－3＝0，所以a＋b＝3， 所以3a＋3b≥2＝2＝6， 当且仅当a＝b＝时，等号成立， 所以3a＋3b的最小值为6. 任务再现 1.直线方程的点斜式.2.直线方程的斜截式.3.点斜式(斜截式)方程的应用 方法提炼 待定系数法、数形结合思想 易错警示 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离 1.方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(　　 ) A.过点(－1，0)的一切直线 B.过点(1，0)的一切直线 C.过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线 D.过点(1，0)且除x轴外的一切直线 答案：C 解析：y＝k(x－1)表示过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线.故选C. 2.斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是(　　) A.y＋3＝4(x－2) B.y－3＝4(x－2) C.y－3＝4(x＋2) D.y＋3＝4(x＋2) 答案：A 3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　 ) A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0 答案：B 解析：因为直线通过第一、三、四象限，所以图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0.故选B. 4.经过点A(1，2)，倾斜角为的直线的斜截式方程为　　　　　　. 答案：y＝x＋1 解析：因为倾斜角为，则斜率k＝tan ＝1，且过点A(1，2)，所以y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $