1.1.3（一）直线方程的点斜式 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019)选择性必修第一册

1.1.3.1 直线方程的点斜式 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程，体现数学推理能力（重点） 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，会求直线的点斜式方程与斜截式方程，体现数学运算能力（重难点） 新课导入 我们知道，一点与一个方向可以确定一条直线.例如，如图，直线l经过点P(0,3)，且斜率k=2，则直线l上的每个点在平面直角坐标系中的位置就被确定了. 思考一下：对于直线l上不同于点P的每一个点，其坐标都和已知点P的坐标与斜率存在某种恒定的数量关系.那么，这一数量关系是什么呢？ 新课学习 对于上面的思考进行分析： 设Q(x，y)是直线l上不同于点P的任意一点，由直线斜率的概念， 我们知道，不论点Q在直线l上如何运动，由P，Q两点的坐标计算出的斜率是恒定不变的，即 整理，得 y=2x+3. ① 此时，点P的坐标(0,3)也满足方程①. 这说明，直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足方程①. 新课学习 直线l的方程的概念 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程. 注：给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，即在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0, y0)和斜率k就能唯一确定一条直线. 新课学习 点斜式方程的概念 设Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点，因为点P，Q都在直线l上，所以可以用P，Q两点的坐标表示直线l的斜率： 即 y–y0=k (x–x0) ② 新课学习 由上述的推导过程可知：我们可知：经过点P(x0,y0)且斜率为k的直线l上的每一点的坐标都是方程②的解； 反之，以方程②的解为坐标的每一点都在经过点P(x0,y0)且斜率为k的直线l上. 由此说明：方程②就是经过点P(x0,y0)且斜率k的直线l的方程.方程②称为直线方程的点斜式. 特别提醒：由于直线方程的点斜式是由点与直线的斜率唯一确定的，故应用直线方程点斜式的前提条件是直线的斜率存在 新课学习 几类特殊的直线方程 1.直线l的斜率为0，即k=0时，直线l与x轴平行（或重合），直线方程为y=y0； x y O l P0 2.斜率k不存在，即k不存在时，直线l与y轴平行（或重合），直线方程为x=x0. x y O l P0 新课学习 斜截式方程的概念 若直线l过点P0 (0,b)，且斜率为k，则方程②中的点P(x0, y0)就可以为点(0,b)，所以该直线方程的点斜式为： y−b=k(x−0) 即 y=kx+b. 为直线方程的斜截式. 截距：直线l与y轴交点(0,b) 的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 新课学习 拓展：直线的点斜式与直线的斜截式的联系 （2）直线方程的斜截式由直线的斜率k与直线在y轴上的截距唯一确定，因此应用直线方程的斜截式的前提条件是直线的斜率存在（斜率存在，则在y轴上的截距必存在），所以直线方程的斜截式不能表示垂直于x轴的直线. （1）直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊形式，即表示过点(0,b)且斜率为k的方程. 新课学习 思考交流：在初中，我们已经知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，与直线方程的斜截式比较，可以发现一次函数解析式中的k就是直线的斜率.在函数中，我们更关注y随自变量x的变化而变化的关系，那么能否用斜率 来描述一次函数中y随自变量x的变化规律呢？ 能 k＞0，y随x的增大而增大； k＜0，y随x的增大而减小； k＝0，y不随x的变化而变化. 新课学习 例7:求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程，并画出直线： (1)倾斜角为 ；(2)与x轴垂直；(3)与x轴平行. (1)∵直线的倾斜角为 ，∴该直线的斜率为 ∴该直线方程的点斜式为 化简得 见图① O x y –1 1 1 –1 P 2 图① 新课学习 (2)∵直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直， ∴该直线的方程为x=-1.见图②. O x y –1 1 1 –1 P 2 图② (3)∵直线经过点P(-1,2)且与x轴平行，即斜率k=0， ∴该直线的方程为y=2.见图③. O x y –1 1 1 –1 P 2 图③ 新课学习 例8:求经过A (-5,0)，B(3,-3)两点的直线的方程. ∵直线l 过点A (-5,0)，B(3,-3)， ∴该直线方程的点斜式为 即3x+8y+15=0. 新课学习 拓展：利用点斜式求直线方程的步骤： (1)确定直线要经过的定点(x0,y0); (2)明确直线的斜率k; (3)由点斜式直接写出直线方程. 注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0. 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 2x-y-5=0 课堂总结 1.点斜式方程的概念 2.斜截式方程的概念 THANK YOU 1.已知直线l经过点 ，且倾斜角为 ，则直线l的方程为( ) A. B. C. D. 解析：由题意知，直线l的斜率为1，又经过点 ， 故直线l的方程为 ，即 . 故选：D. 2.过点 ，且倾斜角为 的直线方程为( ) A. B. C. D. 解析：因为过点 的直线倾斜角为 ，即直线垂直于x轴， 所以直线方程为 ， 故选:A. 3.若直线 的方向向量为 ，且过点 ，则直线l的方程为( ) A. B. C. D. 解析：因直线l的方向向量为 ， 则直线l的斜率 ， 于是直线l的方程为 ，即 . 故选:A. 4.已知直线l过点 ，且l的一个方向向量为 ，则直线l的方程为( ) A. B. C. D. 解析：由l的一个方向向量为 ，则其斜率为 ， 所以直线l的方程为 ，则 . 故选:C 5.已知直线的倾斜角为 ，且过点 ，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 解析：因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率 ， 又直线过点 ，所以直线的方程为 . 故选：D 解析：已知直线l斜率为2且经过点 ， 由直线点斜式方程得直线l的方程为： ，即 . 故答案为： . 6.已知斜率为2的直线l经过点 ，则直线l的方程为________. $$