2 2.2.1 直线的点斜式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

　 第2章　 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 学习目标 1. 了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程，发展逻辑推理的核心素养. 2. 掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，培养直观想象的核心素养. 3. 会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线的点斜式方程 1 任务二　直线的斜截式方程 2 任务三　直线过定点问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时测评 5 任务一　直线的点斜式方程 返回 问题1.给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示：y－y0＝k(x－x0) 问题导思 当斜率不存在时，直线方程为x＝x0；当斜率为0时，直线方程为y＝y0. 新知构建   点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和_______ 图式 方程形式 y－y0＝__________ 适用条件 斜率存在 斜率k k(x－x0) 典例1 写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点A(－3，－1)，斜率为； 解：y＋1＝(x＋3). (2)经过点B(，1)，倾斜角是120°； 解：倾斜角为120°，则斜率为－， 所以该直线方程为y－1＝－(x－). (3)经过点C(0，5)且与x轴垂直. 解：因为直线垂直于x轴，斜率不存在，所以该直线的方程为x＝0. 规律方法 求直线的点斜式方程 1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). 2.点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 注意：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. 对点练1.已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则 A.该直线过点(－1，2)，斜率为－1 B.该直线过点(－1，2)，斜率为1 C.该直线过点(－1，－2)，斜率为－1 D.该直线过点(－1，－2)，斜率为1 直线的方程可化为点斜式y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线过点(－1，－2)，斜率为－1. √ 对点练2.分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形. (1)斜率k＝2； 解：由点斜式方程得y－4＝2(x－3). (2)与x轴平行； 解：与x轴平行时，k＝0， 所以y－4＝0×(x－3)，即y＝4. (3)与x轴垂直. 解：与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. 返回 任务二　直线的斜截式方程 返回 问题2.直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 提示：y＝kx＋b 问题导思 新知构建   斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 __________ 适用条件 斜率存在 y＝kx＋b 典例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 解：由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； 解：因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－. 由斜截式可得方程为y＝－x－2. (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 所以所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 规律方法 求直线的斜截式方程的策略 1.求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可； 2.当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程. 对点练3.写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； 解：由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3. (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； 解：因为k＝tan 60°＝，所以所求直线的斜截式方程为y＝x＋5. (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 解：因为直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， 所以直线过点(4，0)和(0，－2)，所以k＝＝， 所以所求直线的斜截式方程为y＝x－2. 返回 任务三　直线过定点问题 返回 典例3 直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点_______. (3，2) 将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2). 规律方法 揭秘“直线过定点”的问题 含有一个参数的直线方程，一般过定点.求定点的方法有两种： 1.将直线方程化成点斜式，由点斜式方程观察得到定点； 2.将x，y看成参数的系数，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为方程组，求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”，如本题，原方程可化为(x－3)a＋2－y＝0.上式对任 意的a都成立，所以所以直线过定点(3，2). 对点练4.求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限. 证明：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， 所以直线l过定点(－2，3). 由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限. 返回 随堂评价 返回 1.直线y＝2x－3在y轴上的截距是 A.3 B.2 C.－2 D.－3 √ 对于直线y＝2x－3，当x＝0时，y＝－3，因此直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3. 2.若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是 A.y＝x＋2 B.y＝x－2 C.y＝x－ D.y＝x－2 √ 由题得直线l的斜率k＝tan 45°＝1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2，故选B. 3.方程y＝k(x－2)表示 A.过点(－2，0)的所有直线 B.过点(2，0)的所有直线 C.过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D.过点(2，0)且除去x轴的所有直线 √ 易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴. 4.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为 A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 √ 因为α＝60°，所以k＝tan 60°＝， 所以直线l的方程为y＝x－2. 5.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0 因为直线经过第一、三、四象限， 所以图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0. 返回 √ 课时测评 返回 1.倾斜角为60°且在x轴上的截距为的直线方程为 A.y＝－x＋3 B.y＝－x－3 C.y＝x＋3 D.y＝x－3 斜率为tan 60°＝，利用点斜式直接写出方程，即y＝x－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 因为直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，所以直线的斜率为－.设直线的倾斜角为α，则tan α＝－且0°≤α＜180°，所以α＝120°，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.(多选)给出下列四个结论，正确的是 A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 √ A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有k存在时成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为 A.9 B.－9 C. D.－ 由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， 所以l在y轴上的截距为－9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点 A.(1，3) B.(－1，－3) C.(3，1) D.(－3，－1) √ 直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为_________ ____. 由点斜式得y－5＝－(x＋2)， 即y＝－x＋. y＝－x ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________________. 直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1，又点P(3，4)在直线l上， 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3). y－4＝－(x－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是___ _____________________. 因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. x－6或y＝－x－6 y＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(10分)已知所求直线的斜率是直线y＝－x＋1的斜率的－，求分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(，－1). 解：因为直线y＝－x＋1的斜率k＝－. 所以所求直线的斜率k1＝－＝. 因为直线过点(，－1)，所以所求直线方程为y＋1＝(x－)，即x－3y－6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在y轴上的截距是－5. 解：因为直线在y轴上的截距为－5，所求直线的斜率k1＝－ ＝， 所以所求直线方程为y＝x－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(13分)直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)， 令y＝0，得x＝. 由三角形的面积为2，得×2＝2. 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2)， 综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 √ 对于A选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B选项，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D选项，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知直线l的斜率k＝－2，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为____________. 因为直线l的斜率k＝－2.又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6， 所以直线l的方程为y＝－2x＋6. y＝－2x＋6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点________. 由题意可设方程为y＝ax＋a，即y－0＝a(x＋1)， 由点斜式方程可知，直线过定点(－1，0). (－1，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(15分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 解：证明：由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 解：设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(17分)已知直线l：y＝ax＋. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； 解：证明：因为y＝ax＋＝a(x－)＋， 所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限，所以直线l必经过第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：设A， 则直线OA的斜率kOA＝＝3. 若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 2.2　直线的方程 返回 $