课时测评16 直线的点斜式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评16　直线的点斜式方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.倾斜角为60°且在x轴上的截距为的直线方程为(　　) A.y＝－x＋3 B.y＝－x－3 C.y＝x＋3 D.y＝x－3 答案：D 解析：斜率为tan 60°＝，利用点斜式直接写出方程，即y＝x－3. 2.已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：C 解析：因为直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，所以直线的斜率为－.设直线的倾斜角为α，则tan α＝－且0°≤α＜180°，所以α＝120°，故选C. 3.(多选)给出下列四个结论，正确的是(　　) A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 答案：BC 解析：A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有k存在时成立. 4.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.－9 C. D.－ 答案：B 解析：由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， 所以l在y轴上的截距为－9. 5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A.(1，3) B.(－1，－3) C.(3，1) D.(－3，－1) 答案：C 解析：直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1). 6.已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：y＝－x＋ 解析：由点斜式得y－5＝－(x＋2)， 即y＝－x＋. 7.已知直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为　　　　　　　. 答案：y－4＝－(x－3) 解析：直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1，又点P(3，4)在直线l上， 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3). 8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　　　　. 答案：y＝x－6或y＝－x－6 解析：因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. 9.(10分)已知所求直线的斜率是直线y＝－x＋1的斜率的－，求分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(，－1). (2)在y轴上的截距是－5. 解：(1)因为直线y＝－x＋1的斜率k＝－. 所以所求直线的斜率k1＝－＝. 因为直线过点(，－1)，所以所求直线方程为y＋1＝(x－)，即x－3y－6＝0. (2)因为直线在y轴上的截距为－5，所求直线的斜率k1＝－＝， 所以所求直线方程为y＝x－5. 10.(13分)直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)， 令y＝0，得x＝. 由三角形的面积为2，得×2＝2. 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2)， 综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2). (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　) 答案：D 解析：对于A选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B选项，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D选项，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，故选D. 12.已知直线l的斜率k＝－2，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为　　　　. 答案：y＝－2x＋6 解析：因为直线l的斜率k＝－2.又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6， 所以直线l的方程为y＝－2x＋6. 13.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点　　　　. 答案：(－1，0) 解析：由题意可设方程为y＝ax＋a，即y－0＝a(x＋1)， 由点斜式方程可知，直线过定点(－1，0). 14.(15分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1). (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 15.(17分)已知直线l：y＝ax＋. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：(1)证明：因为y＝ax＋＝a(x－)＋， 所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限，所以直线l必经过第一象限. (2)设A， 则直线OA的斜率kOA＝＝3. 若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $