期末总复习 02 整式的乘法 讲义 2025-2026学年沪教版七年级数学上册

该初中数学复习讲义以“整式的乘法”为核心，通过分级知识点梳理构建知识体系，将同底数幂的乘法、幂的乘方等五个知识点按“定义-法则推导-易错点-逆用”逻辑串联，并用表格对比不同运算类型的法则与解题思路，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如“逆用幂的运算性质比较大小”题型（例13将2¹⁰⁰与3⁷⁵化为同指数幂比较），培养推理意识与运算能力。课后练习涵盖基础巩固与综合应用，如含参数多项式乘法（例17）渗透模型意识，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

七年级数学期末总复习讲义 第2课 整式的乘法 知识点梳理 知识点01——同底数幂的乘法 知识点02——幂的乘方 知识点03——积的乘方 知识点04——巧用幂的性质 知识点05——整式的乘方 知识点01 同底数幂的乘法 1.幂的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 =，读作：（看成运算）a的m次方，（看成结果）a的m次幂。 2.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ===表示：共有（m+n）个a相乘 因此：=（m,n为正整数） 三个易错点： ①不要与幂的加法运算混淆，例如 ②指数不能相乘.例如 3.同底数幂乘法的逆运用：（m,n为正整数） 例如：=10 是加法的简便运算； =乘方是乘法的简便运算 例题讲解 题型1：正确理解幂的定义 例1（24-25八年级上·江苏徐州·期末）计算 + （m,n为正整数）的结果是（ ） A. B. C. +ma D. +na 分析：本题含有两种计算，一个是加法，一个是减法，在运用法则时不能混淆使用. 详解：原式=na+am 【分析】本题含有两种计算，一个是加法，一个是减法，在运用法则时不能混淆使用. 【详解】解：原式=na+am 故选：D ． 题型2：正确理解同底数幂乘法性质 例2（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，根据指数运算法则，先计算的值，再计算同底数幂的乘法． 【详解】解：， 然后 ． 故答案为：． 题型3：逆用同底数幂乘法性质解题 例3（25-26七年级上·上海金山·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方．逆用幂的乘方运算性质求得， 再利用同底数幂乘除法法则和将原式化成含有、的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案是：． 题型4：整体代入求代数式的值 例4（25-26八年级上·北京·开学考试）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法和幂的乘方法则，准确计算是解题的关键． 需根据幂的运算法则逐一判断各选项，即可得解． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； 选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，正确； 选项：，错误． 故正确答案为． 3.（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式； 将 转换为 ，利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： （结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】先将转化为，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么 （用含和的式子表示） 【答案】 【分析】利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将 分解为 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，则由和得，，代入原式即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海松江·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若，，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运用，幂的乘方的逆用，同底数幂相除的逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将化为，即可求解；将化为，即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：15；． 8．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）计算 （计算结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，掌握“一个大于10的数记成（，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法”是解题关键． 本题根据单项式乘单项式法则计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河南许昌·期末）已知，． (1)直接写出结果：__________； (2)求的值； (3)利用乘法公式计算：的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)12 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据得出即可； （2）根据得出，然后根据得出答案即可； （3）根据，，变形求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：4； （2）解：∵， ∴， ， ∵， ， ， ． （3）解：，， ． 10．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】 我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： _____； _____； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，， 例如，． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算，写出计算过程； （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）；（3）6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为3，4； （2）设，，则，， 因为，所以， 所以； （3）， 理由如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以． 知识点02 幂的乘方 1.法则的推导： （乘方的意义） = （乘方的意义） = (乘法的意义) = （同底数幂的乘法） 2.幂的乘方性质则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.= （m，n为正整数） 3.易错点： ①不要与同底数幂混淆；例如，（102）3105 ②注意符号；例如（-23）2=[(-2)3]2-（23）2的区别，前两者底数不同，但结果相同； 4.性则的逆用： = = （m，n为正整数） 如：计算28=（24）2=162=256 如：若3m=4则，9m=(32)m=(3m)2=42=16 (指数交换律) 例题讲解 题型1：正确运用幂的乘方性质计算 例5（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型2：逆用幂的乘方性质解题 例6（25-26七年级上·上海·月考）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 题型3：比较大小（化为同底数） 例7（23-24七年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算．根据幂的乘方计算法则得到==，，再由即可得到答案． 【详解】解：==， ∵ ∴< 故答案为：． 题型4：比较大小（化为同指数） 例8（25-26七年级上·上海奉贤·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，将转化为 ，然后比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方．利用幂的乘方法则将式子进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海·期中）设、是正整数，已知，，那么的值为 ． 【答案】135 【分析】该题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，利用指数运算法则，将 分解为 ，再计算 ． 【详解】解：∵ ，， 则 ， 所以 ． 故答案为：135． 3．（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法． 【详解】解：计算 ：根据幂的乘方法则，， 原式变为， 计算乘法：系数相乘，；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，将看成一个整体是解题关键．通过观察表达式，发现和，从而将看作整体，再应用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算．先利用幂的乘方求出和的值，再通过同底数幂的乘法公式计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：72． 6．（2025八年级上·上海·专题练习）已知，用含x，y的代数式表示为 ； 【答案】 【分析】根据有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方法则即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 7.（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，先根据积的乘方和幂的乘方依次去括号，再计算即可. 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，由幂的乘方与积的乘方得出，，由同底数幂相乘得出，即，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海静安·阶段练习）已知：=a，=b，用a，b分别表示： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1）ab；（2）a3b2. 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法：，再将=a，=b代入即可； （2）逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方：，再将=a，=b代入即可. 【详解】（1） 将=a，=b代入可得： 原式=ab； （2） 将=a，=b代入可得： 原式=a3b2. 【点睛】此题考查的是逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方. 10．（25-26七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，、求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2)16 (3) 【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解； （2）根据逆用幂的乘方与积的乘方进行计算即可求解； （3）根据逆用同底数幂的除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴ =． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键． 知识点03 积的乘方 1.性质的推导： （乘方的意义） = （乘法结合律） = （同底数幂的乘法） 2.积的乘方性质：积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 因此：=（m为正整数） 3.性质的逆：=（m为正整数） 例如：22025×（）2025=（2×）2025=1（两个条件：幂相乘，指数相同） 例题讲解 题型1：正确使用性质 例9（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算括号内表达式的平方，再利用单项式乘单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型2：性质的逆用 例10（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 题型3：整体代入，求代数式的值 例11（25-26七年级上·上海静安·期中）已知、互为倒数，化简： ． 【答案】 【分析】由题意，根据倒数定义可得：，再根据有理数的乘方运算，同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则逆运算，可得：，进而得出答案． 本题考查了有理数的乘方，倒数，同底数幂的乘法与积的乘方，掌握有理数的乘方运算法则，倒数定义，同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：，互为倒数， ， ． 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·阶段练习）若，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，首先根据，可得：，把写成，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：原式，从而可得：结果为． 【详解】解：， ， 故答案为：． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方运算，，，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，关键是指数分解和结合； 利用积的乘方公式简化计算. 【详解】解：原式， ， ， ， 故答案为：. 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．利用积的乘方的逆运算进行计算，即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算：0.1252019×（﹣8）2019＝ ；（a﹣b）3•（b﹣a）4＝ 【答案】 ﹣1 （a﹣b）7． 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 【详解】0.1252019×（﹣8）2019 ＝[0.125×（﹣8）]2019 ＝（﹣1）2019 ＝﹣1； （a﹣b）3•（b﹣a）4 ＝（a﹣b）3•（a﹣b）4 ＝（a﹣b）7． 故答案为﹣1，（a﹣b）7． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式． 10．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，表示，利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点04 巧用幂的运算性质 1. 逆用幂的运算性质，轻松解题 2. 巧用幂的运算性质，比较大小 3. 整体代入，巧算代数式的值 例题讲解 题型1：逆用幂的运算性质，轻松解题 例12计算：（-1 【分析】逆用幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可； 【详解】解：原式=（- =（ =1 = 题型2：巧用幂的运算性质，比较大小 例13（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)；，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 题型3：整体代入，巧算代数式的值 例14（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则 【答案】675 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】∵am=3，an=5， ∴a3m+2n =(am)3•(an)2 =33×52 =27×25 =675． 故答案为：675． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）则 【答案】81 【分析】运用幂的乘方和积的乘方将原等式化成含有，然后解方程求解即可. 【详解】解： ∴ 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方和同底数幂相乘，解题的关键在于熟记运用法则，并能够灵活运用. 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： . 【答案】-2x6； 【分析】分别根据幂的乘方和积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式的运算进行化简，再合并同类项即可得到答案. 【详解】， =， =-. 故答案为-. 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算以及单项式乘以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键. 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相除，利用指数运算法则，将转化为已知指数的形式进行计算即可，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）定义一种新运算：当时，定义．例如：，则．若，，则2， ． 【答案】62 【分析】根据新运算的定义，由可得 ，求出的值；再代入 ，利用幂的运算得到 ，从而求出空白处的值．本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：由 ，根据定义得 ， 即 ， 解得 ． 由 ，根据定义得， 代入 得， 由于 ，所以 ， 根据定义得 ， 故答案为：62． 6．（25-26七年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方及其逆运算法则可得，再由，可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，解题关键是正确运用公式进行变形． 先利用幂的乘方运算的逆运算对两个式子进行变形，再进行比较． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： 10．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解题关键是将所求式子转化为以3为底的幂的形式，再利用已知条件代入计算． 先将和转化为以为底的幂，即再根据幂的乘方性质变形为；最后代入，计算，求和得到结果． 【详解】 ， ， ， 11.（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法可得，再根据幂的乘方可得，然后再代入，求值即可． 【详解】解： ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 12．（25-26七年级上·上海·期中） ， ． 【答案】 4 16 【分析】本题考查幂的运算和平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则以及平方差公式． ①将变形为，再利用积的乘方逆运算进行计算；②把变形为，然后运用平方差公式计算． 【详解】①解： ； ② ． 故答案为：4； 16 13．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂乘除法，幂的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可得，再将变形为，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：3． 14．（25-26七年级上·上海·期中）下列算式①；②；③；④中，结果等于6的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则以及合并同类项法则逐个计算即可求得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④， 综上所述，结果等于6的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则是解决本题的关键． 15.（25-26七年级上·上海·期中） ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先根据同底数幂的乘法法则将52009变形，再逆用积的乘方变形为，计算后再用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了幂的混合运算以及科学记数法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 16．（25-26七年级上·上海·期中）已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方公式逆用，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将，然后比较即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 17.（25-26七年级上·上海·期中）比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、有理数的大小比较，将和化成同指数幂的形式，再比较底数的大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故选：B． 18．（25-26七年级上·上海·期中）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 【答案】(1) (2)；过程见解析 (3) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则，得出，，根据，即可得出答案 （3）同底数幂乘法和除法逆用，幂的乘方逆用，求出，，再代入，解关于s的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 把，代入得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方逆用，同底数幂乘法和除法的逆用，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则． 知识点05 整式的乘法 1.知识点间的联系 单项式和多项式的乘法是初中数学的重要内容，它不仅是后续学习乘法公式、因式分解、分式运算的基础，更是培养数学思维能力的关键环节。 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (p+q)(a+b)=p(a+b)+q(a+b)=pa+pb+qa+qb 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 2. 两个一次二项式的乘法: ①（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq ②（ax+m）(bx+n)=abx2+(an+bm)x+mn 数学思想的应用 ①化归思想：多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式→幂的运算 ②数形结合思想：用面积法推导整式乘法法则 ③函数、方程思想 根据整式乘法的结果求未知系数的值，其实就是日后待定系数法的渗透. ④归纳推理的思想 由特殊到一般，再由一般回到特殊，去发现规律、猜想、验证、应用规律解题。 例题讲解 题型1：单项式乘以单项式 例15（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，需分别计算系数和同底数幂的乘法． 根据单项式乘单项式及同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型2：单项式乘以整式 例16（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式和多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式法则和多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型3：整式乘以整式 例17（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 题型4：两个一次二项式的乘积 例18（25-26七年级上·上海崇明·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则可得：，因为，所以，通过比较两边多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解： ， ， ， 可得： 、， 解得： 故答案为：． 题型5：整式乘法的应用 例19（25-26七年级上·广东广州·期中）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 ． 【分析】本题主要考查了数形结合、归纳推理的思想，用不同的方法表示阴影部分的面积，从而发现、归纳、总结规律。用含a，b的代数式分别表示出图1和图2中阴影部分的面积是解题的关键．根据题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据两者相等即可解决问题． 【详解】解：由题知， 图1中阴影部分的面积为：． 图2中阴影部分的面积为：， 因为两个阴影的面积相等， 所以． 故答案为：． 课后练习 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的表示，根据图形的面积准确表达是解题的关键． 利用正方形和长方形的面积公式，通过不同方式表示出阴影部分的面积，注意分析选项即可． 【详解】各部分的面积用符号表示，如图所示： ， 正确，不符合题意； ， 正确，不符合题意； ， 正确，不符合题意； ， 不正确，符合题意； 故选． 2．（24-25七年级上·上海·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，然后表示出小桌、中桌，大桌的长；得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍， 则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得 ， 故选：C． 4.（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，需分别计算系数和同底数幂的乘法． 根据单项式乘单项式及同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 【答案】6 【分析】根据因式分解的定义，多项式乘以多项式等知识﹒设另一个因式为一次式，即可得到，变形为，从而得到，即可求出﹒ 【详解】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 4． 6．（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 8．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，能正确根据法则展开是解题的关键； 通过展开左边多项式，与右边多项式比较系数，求出和的值，再计算它们的和． 【详解】∵左边， 右边， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知关于的整式与的乘积为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式． 根据多项式乘多项式求出、的值后即可得解． 【详解】解：依题得：， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，按多项式乘以多项式展开，再进行加减运算，即可求解；掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 【答案】乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则和乘法运算律，正确掌握相关运算法则和运算律是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律得出答案． 【详解】解：……………………（乘法交换律和结合律） ……………………（乘法结合律） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘． 故答案为：乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂． 12．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 13．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 先计算积的乘方运算，再由单项式乘以多项式运算展开即可得到答案． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级上·上海普陀·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 【答案】(1) (2)；，图见解析 【分析】本题考查了因式分解的几何意义与长方形面积的综合应用，解题的关键是利用图形的面积关系建立代数等式，将几何直观与代数运算相结合． （1）通过分析图2中卡片组成的长方形的长和宽，利用面积相等的关系进行因式分解． （2）①设，分别表示出和，进而得出的表达式，根据其值与无关，令的系数为，求出与的数量关系．②问设，根据长方形面积公式和卡片数量列出方程组，求解得出、的值，从而得到的表达式． 【详解】（1）图2九个部分的面积和为，整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解：设， 由图4可知，，， ． 因为当的长度变化时，的值始终保持不变，即的系数为0， 所以． 设 ， 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张． 作图如下图所示： 15．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 【答案】(1)①，②， (2) 【分析】本题考查了整式乘法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）①先根据杨辉三角得出的展开式的系数，可得展开式；②先展开，再合并，最后代入求值即可． （2）根据，可得，结合，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ． ② ， ∵， 原式 ． （2）解：∵，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即， ∴，； ，； ，； ，； 可得， 当时，成立； 假设当时成立， 当时，， ∵， ∴， 因此，当时规律也成立， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第2课 整式的乘法 知识点梳理 知识点01——同底数幂的乘法 知识点02——幂的乘方 知识点03——积的乘方 知识点04——巧用幂的性质 知识点05——整式的乘方 知识点01 同底数幂的乘法 1.幂的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 =，读作：（看成运算）a的m次方，（看成结果）a的m次幂。 2.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ===表示：共有（m+n）个a相乘 因此：=（m,n为正整数） 三个易错点： ①不要与幂的加法运算混淆，例如 ②指数不能相乘.例如 3.同底数幂乘法性质的逆用：（m,n为正整数） 例如：=10 是加法的简便运算； =乘方是乘法的简便运算 例题讲解 题型1：正确理解幂的定义 例1（24-25八年级上·江苏徐州·期末）计算 + （m,n为正整数）的结果是（ ） A. B. C. +ma D. +na 分析：本题含有两种计算，一个是加法，一个是减法，在运用法则时不能混淆使用. 详解：原式=na+am 【分析】本题含有两种计算，一个是加法，一个是减法，在运用法则时不能混淆使用. 【详解】解：原式=na+am 故选：D ． 题型2：正确理解同底数幂乘法性质 例2（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，根据指数运算法则，先计算的值，再计算同底数幂的乘法． 【详解】解：， 然后 ． 故答案为：． 题型3：逆用同底数幂乘法性质解题 例3（25-26七年级上·上海金山·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方．逆用幂的乘方运算性质求得， 再利用同底数幂乘除法法则和将原式化成含有、的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案是：． 题型4：整体代入求代数式的值 例4（25-26八年级上·北京·开学考试）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： （结果用幂的形式表示） 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么 （用含和的式子表示） 6．（25-26七年级上·上海松江·期中）若，，则 ． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若，，则的值是 ，的值是 ． 8．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）计算 （计算结果用科学记数法表示）． 9．（24-25八年级上·河南许昌·期末）已知，． (1)直接写出结果：__________； (2)求的值； (3)利用乘法公式计算：的值． 10．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】 我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： _____； _____； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，， 例如，． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算，写出计算过程； （3）猜想，并说明理由． 知识点02 幂的乘方 1.法则的推导： （乘方的意义） = （乘方的意义） = (乘法的意义) = （同底数幂的乘法） 2.幂的乘方性质则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.= （m，n为正整数） 3.易错点： ①不要与同底数幂混淆；例如，（102）3105 ②注意符号；例如（-23）2=[(-2)3]2-（23）2的区别，前两者底数不同，但结果相同； 4.性则的逆用： = = （m，n为正整数） 如：计算28=（24）2=162=256 如：若3m=4则，9m=(32)m=(3m)2=42=16 (指数交换律) 例题讲解 题型1：正确运用幂的乘方性质计算 例5（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型2：逆用幂的乘方性质解题 例6（25-26七年级上·上海·月考）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 题型3：比较大小（化为同底数） 例7（23-24七年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算．根据幂的乘方计算法则得到==，，再由即可得到答案． 【详解】解：==， ∵ ∴< 故答案为：． 题型4：比较大小（化为同指数） 例8（25-26七年级上·上海奉贤·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，将转化为 ，然后比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）设、是正整数，已知，，那么的值为 3．（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 4．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 5．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为 ． 6．（2025八年级上·上海·专题练习）已知，用含x，y的代数式表示为 ； 7.（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）若，，则的值是 ． 9．（25-26八年级上·上海静安·阶段练习）已知：=a，=b，用a，b分别表示： （1）的值； （2）的值. 10．（25-26七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，、求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 知识点03 积的乘方 1.性质的推导： （乘方的意义） = （乘法结合律） = （同底数幂的乘法） 2.积的乘方性质：积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 因此：=（m为正整数） 3.性质的逆：=（m为正整数） 例如：22025×（）2025=（2×）2025=1（两个条件：幂相乘，指数相同） 例题讲解 题型1：正确使用性质 例9（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算括号内表达式的平方，再利用单项式乘单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型2：性质的逆用 例10（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 题型3：整体代入，求代数式的值 例11（25-26七年级上·上海静安·期中）已知、互为倒数，化简： ． 【答案】 【分析】由题意，根据倒数定义可得：，再根据有理数的乘方运算，同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则逆运算，可得：，进而得出答案． 本题考查了有理数的乘方，倒数，同底数幂的乘法与积的乘方，掌握有理数的乘方运算法则，倒数定义，同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：，互为倒数， ， ． 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·阶段练习）若，的值为 ． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ． 3．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 9．计算：0.1252019×（﹣8）2019＝ ；（a﹣b）3•（b﹣a）4＝ 10．计算的结果是 ． 知识点04 巧用幂的运算性质 1. 逆用幂的法则，轻松解题 2. 巧用幂的法则，比较大小 3. 整体代入，巧算代数式的值 例题讲解 题型1：逆用幂的运算性质，轻松解题 例12计算：（-1 【分析】逆用幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可； 【详解】解：原式=（- =（ =1 = 题型2：巧用幂的运算性质，比较大小 例13（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)；，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 题型3：整体代入，巧算代数式的值 例14（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ．课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则 2．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）则 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： . 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）若，，则的值是 ． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）定义一种新运算：当时，定义．例如：，则．若，，则2， ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 7．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）比较大小： （填“”或“”或“=”）． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 10．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 11.（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则的值为 ． 12．（25-26七年级上·上海·期中） ， ． 13．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值为 ． 14．（25-26七年级上·上海·期中）下列算式①；②；③；④中，结果等于6的有 （填序号）． 15.（25-26七年级上·上海·期中） ．（结果用科学记数法表示） 16．（25-26七年级上·上海·期中）已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ． 17.（25-26七年级上·上海·期中）比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·上海·期中）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 知识点05 整式的乘法 1.知识点间的联系 单项式和多项式的乘法是初中数学的重要内容，它不仅是后续学习乘法公式、因式分解、分式运算的基础，更是培养数学思维能力的关键环节。 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (p+q)(a+b)=p(a+b)+q(a+b)=pa+pb+qa+qb 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 2. 两个一次二项式的乘法: ①（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq ②（ax+m）(bx+n)=abx2+(an+bm)x+mn 数学思想的应用 ①化归思想：多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式→幂的运算 ②数形结合思想：用面积法推导整式乘法法则 ③函数、方程思想 根据整式乘法的结果求未知系数的值，其实就是日后待定系数法的渗透. ④归纳推理的思想 由特殊到一般，再由一般回到特殊，去发现规律、猜想、验证、应用规律解题。 例题讲解 题型1：单项式乘以单项式 例15（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，需分别计算系数和同底数幂的乘法． 根据单项式乘单项式及同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型2：单项式乘以整式 例16（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式和多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式法则和多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型3：整式乘以整式 例17（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 题型4：两个一次二项式的乘积 例18（25-26七年级上·上海崇明·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则可得：，因为，所以，通过比较两边多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解： ， ， ， 可得： 、， 解得： 故答案为：． 题型5：整式乘法的应用 例19（25-26七年级上·广东广州·期中）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 ． 【分析】本题主要考查了数形结合、归纳推理的思想，用不同的方法表示阴影部分的面积，从而发现、归纳、总结规律。用含a，b的代数式分别表示出图1和图2中阴影部分的面积是解题的关键．根据题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据两者相等即可解决问题． 【详解】解：由题知， 图1中阴影部分的面积为：． 图2中阴影部分的面积为：， 因为两个阴影的面积相等， 所以． 故答案为：． 课后练习 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 3．（24-25七年级下·山东·期末）如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 6．（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是 ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知关于的整式与的乘积为，那么 ． 10．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 11．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 12．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 13．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 14．（25-26七年级上·上海普陀·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 15．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $