精品解析：山东省临沂市河东区2025-2026学年上学期八年级数学期中学业水平质量调研试题

2025-2026学年度上学期期中学业水平质量调研试题 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展，以下四个科技创新型企业的品牌图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．把一个图形绕某条直线折叠，如果折叠后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，据此判断即可求解． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.是轴对称图形，故本选项符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，第三边长度必须大于两边之差且小于两边之和求解． 【详解】解：设第三根木棒长度为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即． 只有A不在范围内． 故选：A． 3. 如图，，则∠C的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质，解决此题的关键是正确的计算；根据全等得到，进而即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：B． 4. 等腰三角形的一边长是6，周长是24，则该等腰三角形的腰长是（ ） A. 6 B. 9 C. 6或9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，注意检验结果是否满足三角形的三边关系是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和三角形三边关系，分情况讨论已知边为腰或底，排除不满足三角形不等式的情况． 【详解】解：①当腰长为6时，则底边长为， 此时该等腰三角形的三边为6，6，12， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴不成立； ②当底边长为6时，则腰长， 此时该等腰三角形的三边为9，9，6， ∵，，均成立， ∴腰长为9． 故选：B． 5. 依据下列条件能画出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，，，可画出无数个三角形，故本选项不符合题意； B、，，，，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，，，不是的夹角，不能画出唯一三角形； 故本选项不符合题意； D、，，，边角边，可以画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　) A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，根据题意使该凉亭到公路，的距离相等，则点在的角平分线上，根据，则点在边上中线的交点，据此，即可求解． 【详解】解：如图，作的角平分线，边上中线，与交于，连接， 当点在的角平分线上， 点到公路，的距离相等， 是的边上中线， ，， ， 凉亭的位置应选在的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 7. 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 8. 下列命题：①线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②全等三角形的对应角相等；③等边三角形是锐角三角形；④若是钝角三角形，则．其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断． 写出每个命题的逆命题，并利用数学知识判断其真假． 【详解】解：①原命题：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． ∵线段垂直平分线的逆定理成立， ∴逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的对应角相等． 逆命题：对应角相等的三角形全等． ∵对应角相等的三角形不一定全等（如大小不同的等边三角形）， ∴逆命题为假命题； ③原命题：等边三角形是锐角三角形． 逆命题：锐角三角形是等边三角形． ∵锐角三角形只需所有角，不一定等边（如、、的三角形）， ∴逆命题为假命题； ④原命题：若是钝角三角形，则． 逆命题：若，则是钝角三角形． ∵钝角三角形的定义是有一个角， ∴逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的个数是2个． 故选：B． 9. 如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出，由等腰三角形的性质得到．延长交于K，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形三线合一的性质推出，由三角形面积公式推出，，，进而可得答案． 【详解】解：延长交于K， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 10. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了将一个n边形进行三角剖分一共有多少种剖分方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时．请你利用上述公式，计算八边形的三角剖分方法数为（ ） A. 129 B. 130 C. 131 D. 132 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线问题，代数式求值． 求出的值，进而利用给定的递推公式 逐步计算至 ． 【详解】解：∵四边形三角剖分只有2种方法，即两对角线各一种， ∴， ∴， ， ， ， ∴八边形的三角剖分方法数为132． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】（3，5） 【解析】 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为 故答案为 【点睛】关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 12. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为，进而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 要使的周长最小，即要使最小， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，，， ， ， 的周长最小值是， 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明，关键在于通过作辅助线构造全等三角形，同时注意坐标与线段长度之间的转化． 通过作辅助线构造全等三角形，然后利用全等三角形对应边相等的性质建立等式，得到关于、的等式，即可确定、之间的数量关系． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点． ． ． ． 在和中： ， ． ． ，． ． ． ． ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图：与交于点O，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据题意可证，再利用证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线、等边对等角、三线合一等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，得，进而得，根据三线合一即可求证； （2）求出，推得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯（）的高度．他的方法如下：在路灯前选一点P，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子（）在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 利用证明，得到，根据线段的和差关系求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵（） ∴（）． 答：路灯的高度为． 19. 如图，用尺规作图画一点D，使，且平分（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，尺规作一个角等于已知角， 先以点O为圆心，以为半径画弧，交于点F，再以C为圆心，以为半径画弧，交射线于点G，然后以点G为圆心，以为半径画弧，交先前所画弧于点H，作射线，接下来以点E，F为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，作射线，交于点D，则即为所求作. 【详解】解：如图所示. 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）若是内部一点，点P关于y轴的对称点为，且，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）用围成的长方形的面积减去周围3个小三角形的面积即可； （3）根据点P关于y轴的对称点为，且，即可求点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 ． 故答案为：5． 【小问3详解】 ∵点P关于y轴的对称点为， ，解得． ∴点的坐标为． 21. 如图，在中，平分，平分，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）先求出，根据角平分线定义可得，，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）在上截取，连接，证明，则，，所以，再证明，所以，故有． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在上截取，连接， 由（）知，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 22. 学完“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”后，小明将含有角的两个三角板按如图①所示摆放在一起进行探究． 【提出问题】（1）如图②，在中，，．求证：； 【解决问题】（2）如图③，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）30 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键． （1）延长至点，使，连接，证明，推出，进而证明是等边三角形，由此即可证明结论； （2）由，得，然后利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． （1）若，，求的面积； （2）求证：平分； （3）【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，解题的关键是： （1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 根据角平分线的性质得出，，得出，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【小问1详解】 解：由折叠可知，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 证明：如图，过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 由折叠知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分； 【小问3详解】 解：如图，过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接 由折叠知，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中学业水平质量调研试题 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展，以下四个科技创新型企业的品牌图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，则∠C的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一边长是6，周长是24，则该等腰三角形的腰长是（ ） A. 6 B. 9 C. 6或9 D. 12 5. 依据下列条件能画出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　) A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 7. 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 下列命题：①线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②全等三角形的对应角相等；③等边三角形是锐角三角形；④若是钝角三角形，则．其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出了将一个n边形进行三角剖分一共有多少种剖分方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时．请你利用上述公式，计算八边形的三角剖分方法数为（ ） A. 129 B. 130 C. 131 D. 132 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为______． 12. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 14. 如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 15. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图：与交于点O，，，．求证：． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯（）的高度．他的方法如下：在路灯前选一点P，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子（）在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 19. 如图，用尺规作图画一点D，使，且平分（不写作法，保留作图痕迹） 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）若是内部一点，点P关于y轴的对称点为，且，求点的坐标． 21. 如图，在中，平分，平分，． （1）求的度数； （2）求证：． 22. 学完“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”后，小明将含有角的两个三角板按如图①所示摆放在一起进行探究． 【提出问题】（1）如图②，在中，，．求证：； 【解决问题】（2）如图③，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，，求的长． 23. 【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． （1）若，，求的面积； （2）求证：平分； （3）【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $