精品解析：河北省唐山市迁安市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

迁安市2023－2024学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（1－2页，选择题）和第Ⅱ卷（3－4页，填空题和解答题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知圆与圆相外切，那么等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 11 D. 8 4. 已知双曲线的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 正方体中，、分别为、上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）. A B. C. D. 8. 已知椭圆上一动点，圆上一动点，圆上一动点，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 直线过点且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，则该直线方程（ ） A. B. C D. 10. 已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是0 B. 的最大值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率（ ）. A. B. C. D. 12. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上． 13. 已知直线与直线平行，则等于______． 14. 若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为__________． 15. 已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 16. 已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为_________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，已知． （1）求边上高所在的直线方程； （2）若点在直线上，且，求点到直线的距离． 18. 已知圆的圆心在直线上，且该圆经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）若点在圆上，且弦长为8，求直线的方程. 19. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，． （1）证明：∥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知双曲线C与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程； （2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 21. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 22. 已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）记为坐标原点，求面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迁安市2023－2024学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（1－2页，选择题）和第Ⅱ卷（3－4页，填空题和解答题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 已知圆与圆相外切，那么等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆外切，两圆心距等于两圆半径之和即可求出结果. 【详解】因为圆心坐标为，半径为1；圆圆心坐标，半径为r，由两圆外切可得,所以. 【点睛】本题主要考查圆与圆位置关系，属于基础题型. 3. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 11 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程的形式，结合条件得到，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，则，解得， 故选：A. 4. 已知双曲线的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知实轴长得，然后由焦点到渐近线的距离得出，再求得后可得离心率． 【详解】由题意得，一条渐近线：，设双曲线的右焦点为，则点到直线的距离， 所以，离心率. 故选：B． 5. 如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意有，，又点是线段的中点，结合向量的线性运算及共线向量的运算即可得解. 【详解】解：∵在四面体中，分别在棱、上，且满足， ，点是线段的中点， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了利用空间基底表示向量，属基础题. 6. 已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】过点作，垂足为点，如图所示： 设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，， 当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大， 此时； 当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 7. 正方体中，、分别为、上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）. A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取上一点，使，结合正方体的结构特征可得，进而可得，所以为异面直线与所成角，在中，，即可求解. 【详解】 取线段上一点，使，连接，，如图所示， 因为，，所以， 所以，，又因为， 所以为异面直线与所成角， 设该正方体的棱长为，则，， 所以在中，， 所以， 故选：C 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 8. 已知椭圆上一动点，圆上一动点，圆上一动点，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形可分析出取得最大值时，、必经过焦点、，由椭圆的性质可求出此时最值. 【详解】如图所示，椭圆的焦点恰好为两圆的圆心， ∴取得最大值时，、必经过焦点、， 则， 根据椭圆的性质可知，故. 故选:B. 【点睛】关键点睛： 本题考查了椭圆的性质，关键是通过图形找出取最值时三个动点的位置. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 直线过点且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，则该直线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】当直线经过原点时，斜率为，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为，再把点代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论． 【详解】当直线经过原点时，斜率为，要求直线方程为，即． 当直线不经过原点时，设要求的直线方程为， 再把点代入可得，或， 求得或，故要求的直线方程为或． 综上可得，要求的直线方程为，或. 故选：ABC 10. 已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是0 B. 的最大值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得 的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 当时，可看成与原点间的连线的斜率， 设，即，所以直线与圆M有交点， 由，解得， 所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确； 由表示点到原点的距离， 又由，所以的最大值为， 即的最大值为，所以C错误； 设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率（ ）. A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 分两类：和，设，由的斜率求得中其他两边，得，即可得离心率． 【详解】当时，设，则由于，∴，， ∵，，∴椭圆的离心率为， 当时，设，则由于，∴，， ∵，，∴椭圆的离心率为， 故选：CD. 【点睛】易错点睛：本题考查求椭圆的离心率，已知条件是为直角三角形，解题时需要对哪个角是直角分类讨论，否则易出错． 12. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为， 则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上． 13. 已知直线与直线平行，则等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】由两条直线平行求解. 【详解】因直线与直线平行， 所以，解得， 故答案为：3 14. 若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得和切线垂直，故切线的斜率为，故切线的方程为，即，故答案为． 考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点处的切线的方程．注意直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，即圆心到直线的距离等于半径，可以利用这个几何条件得出结论． 15. 已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得直线过定点，利用点与圆的位置有关系的判断方法，可得点在圆内，进而可得当时，圆心到直线距离最大，即可求解. 【详解】由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 又由，得到，所以圆心为，半径为， 又，所以点在圆内， 当时，圆心到直线距离最大，最大值为， 故答案为：. 16. 已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率. 【详解】如图， 因为，所以可设， 又，所以， 由椭圆定义，，即， 又，即B点为短轴端点， 所以在中， ， 又在中，， 解得或（舍去）. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，已知． （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若点在直线上，且，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算直线的斜率为，确定高所在直线的斜率为1，得到直线方程. （2）计算直线方程，的垂直平分线方程，联立得到，计算距离即可. 【小问1详解】 直线，即，直线的斜率为， 故边上的高所在直线的斜率为1， 所以边上的高所在的直线方程为，整理得； 【小问2详解】 直线，即， 的中点为，所以的垂直平分线所在的直线方程为， 因为为垂直平分线与直线交点，所以，解得， 所以到直线的距离为． 18. 已知圆的圆心在直线上，且该圆经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）若点在圆上，且弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求的中垂线方程，与联立求得圆心和半径可得答案； （2）先根据垂径定理求圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，最后根据点斜式得结果，注意考虑直线斜率不存在的情况是否满足题意. 【小问1详解】 的中点坐标为，直线的斜率为， 所以的中垂线方程：，又圆的圆心在直线上， 由得，圆心坐标为， 圆的半径为，圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线距离为，则，所以， 当直线的斜率不存在时，因为圆心到直线距离为3，所以满足题意； 当直线的斜率存在时，设为，所以，，所以，解得，所以，所以， 综上，直线的方程为或. 19. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，． （1）证明：∥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在棱上取点，使得，连接，，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （2）以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 小问1详解】 证明：如图，在棱上取点，使得，连接，， 因为，所以且， 由正方形，，得且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 若，则可设，所以． 以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则 由得 令，得平面的一个法向是为， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 20. 已知双曲线C与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程； （2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 【答案】（1），离心率，渐近线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入即可得出双曲线方程，进而得出性质； （2）设，，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标关系，表示出AB的中点，代入圆的方程，即可得出答案. 【小问1详解】 因为双曲线C与有相同的渐近线， 所以可设双曲线C的方程为， 代入，得，得， 故双曲线C的方程为， 所以，，， 故离心率，渐近线方程为． 【小问2详解】 设，，则AB的中点坐标为. 联立直线AB与双曲线C的方程，得， 整理得，． 由根与系数的关系得，，， 所以AB的中点坐标为， 又点在圆上， 所以，所以． 21. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明； （2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出. 【小问1详解】 证明：正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，平面 ，，又，， 中，， ，， ，，， 又，平面，平面， 平面. 【小问2详解】 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设点，， ， ，， ，， 设平面的法向量为， ， 令，，，， 显然，平面的法向量为， ， 即，即， 解得或（舍去）， 所以存在点，且时，使得二面角的余弦值为. 22. 已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）记为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设及椭圆性质、参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程； （2）设，直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式写出面积关于k的表达式，进而求其最大值. 【小问1详解】 由题意得，，解得，故的方程为. 【小问2详解】 设，直线， 联立，整理得：. 由得，且， ， 点到直线的距离， ， 令，故，故， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $