精品解析：上海市黄浦区2025-2026学年高三上学期期终调研测试(一模)数学试题

黄浦区2025学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 函数的定义域是_________. 2. 若直线与平行，则_______． 3. 已知集合，，则_______． 4. 已知是虚数单位，则_______． 5. 在的展开式中的系数为，则_______． 6. 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 7. 已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为_______． 8. 若正数满足，则的最小值为_______． 9. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______． 10. 已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则_______． 11. 如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为_______平方米（精确到1平方米）． 12. 若图形上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为的一个覆盖圆．设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（ ） A. B. C. D. 14. 设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 A. 若l⊥α，α⊥β，则l∥β B. 若l∥α，α∥β，则l∥β C. 若l⊥α，α∥β，则l⊥β D. 若l∥α，α⊥β，则l⊥β 15. 若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（ ） A. ①和②均正确 B. ①和②均错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 16. 已知点，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． （1）求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； （2）若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； （3）若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 18. 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． （1）求证：平面ADE； （2）设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 19. 在中，，，． （1）求的长和的正弦值； （2）若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 20. 已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． （1）求的方程； （2）若点在轴上，且为直角，求点的坐标； （3）设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合． （1）若，求； （2）若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”． （3）若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄浦区2025学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 函数的定义域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 写出使函数有意义的表达式，求定义域. 【详解】的定义域需满足， 所以函数的定义域. 故答案为： 2. 若直线与平行，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行列方程求解的值，检验平行即可. 【详解】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 3. 已知集合，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值不等式求出集合，再求交集可得. 【详解】由，所以， 所以. 故答案为：. 4. 已知是虚数单位，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 5. 在的展开式中的系数为，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】 首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值. 【详解】由题知， 当时有， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题. 6. 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙两人破译某个密码为独立事件，利用独立事件概率公式求出甲、乙两人均未破译的概率，再利用对立事件概率公式求出该密码被破译的概率． 【详解】设甲破译某个密码为事件，乙破译某个密码为事件, 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为， 甲未破译的概率为，乙未破译的概率为， 甲、乙两人均未破译的概率为， “甲、乙两人均未破译”的对立事件为“密码被破译”， 该密码被破译的概率为． 故答案为：． 7. 已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求得正三角形的外接圆半径，结合球心O到平面的距离，根据勾股定理可求得球O的半径，从而求得球O的体积. 【详解】设正三角形的外接圆半径为. 根据正弦定理可得，，所以. 设球O的半径为，则，. 所以球O的体积为. 故答案为：. 8. 若正数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据均值不等式求解. 【详解】因为是正数，所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当，即时，取得最小值； 故答案为： 9. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件求解出的值，再根据，代入数值可求结果. 【详解】设，由题意可知，所以， 所以， 故答案为：. 10. 已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 11. 如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为_______平方米（精确到1平方米）． 【答案】 【解析】 【分析】应用三角换元得出，再应用面积公式结合三角恒等变换化简，最后应用辅助角公式及正弦的值域计算求解. 【详解】设，又因为，所以, 所以，所以， 所以， ， 进而得出 为锐角， 当时，. 故答案为：2136 12. 若图形上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为的一个覆盖圆．设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合圆的方程得其图像构成，由函数的奇偶性与一次函数关系得其图像构成，从而可确定最小覆盖圆的圆心位置，设覆盖圆的半径为，根据几何性质列不等式求解最小半径即可. 【详解】函数的定义域满足，解得，即， 则函数为偶函数， 又，整理得，则函数的图像为： 以为圆心，为半径的上半圆与以为圆心，为半径的上半圆， 函数为偶函数，图象为先减后增的“V”型图，最低点为， 则的图像大致如下： 由于的图像关于轴对称，要使得覆盖圆的半径最小，则覆盖圆的圆心在轴上， 设，且，覆盖圆的半径为， 设点在半圆上，满足三点共线， 则， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上可得，故的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可. 【详解】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B 14. 设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 A. 若l⊥α，α⊥β，则l∥β B. 若l∥α，α∥β，则l∥β C. 若l⊥α，α∥β，则l⊥β D. 若l∥α，α⊥β，则l⊥β 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面平行、线面垂直、面面平行和面面垂直的判定与性质，对四个选项逐个加以判断，可得正确答案． 【详解】若，，则或者，故A错误； 若，时，或者，故B错误； 若，内必有两条相交直线，与平面内的两条相交直线，平行，又，则，，即，，故，因此C正确； 若，，则与相交或或，故D错误，故选C. 【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，解决此类问题的关键是熟练掌握空间中直线与平面的位置关系（平行关系与垂直关系），属于基础题． 15. 若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（ ） A. ①和②均正确 B. ①和②均错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差和等比数列的性质以及前项和公式的性质结合题意推导可得. 【详解】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. 16. 已知点，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则.由题求出的取值范围，根据不等式的性质，可得的取值范围. 【详解】设，则. 因为，所以. 所以. 所以. 所以. 其中当与同时取最大值时，即与时，取得最大值，最大值为.此时，点重合，坐标为或. 当与同时取最小值时，即与时，取得最小值，最小值为.此时，点的坐标分别为或. 所以的取值范围是. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． （1）求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； （2）若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； （3）若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义即可求解； （2）根据百分位数的定义即可求解； （3）根据古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. 【小问2详解】 因为，所以第百分位数为，所以下个月每日苹果的平均进货量为. 【小问3详解】 20天中苹果销售量超过的有9天. 设“3天中每天的苹果销售量均超过”为事件，“3天中恰有2天的苹果销售量超过”为事件， 则，. 18. 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． （1）求证：平面ADE； （2）设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 19. 在中，，，． （1）求的长和的正弦值； （2）若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 【答案】（1）， （2）；存在 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）利用正弦定理求出，求导，假设命题成立求出，进而得出结论． 【小问1详解】 ， 由余弦定理得， ， 由正弦定理得， ． 【小问2详解】 在中，，， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， 即； 求导得， 假设存在，使得在处的瞬时变化率等于， 则，即①， ，， 式①化简整理得， 在内有解， 存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于． 20. 已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． （1）求的方程； （2）若点在轴上，且为直角，求点的坐标； （3）设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在符合题意. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距确定c，渐近线斜率确定，结合求出，进而得到双曲线方程. （2）联立直线与双曲线，由判别式得以确定点坐标，设点坐标后，利用向量垂直的数量积为0求解的坐标. （3）先确定直线的方程，联立与双曲线得韦达定理，联立与得点坐标，计算和并化简对比，得出常数的值. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. 【小问3详解】 ，设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 21. 已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合． （1）若，求； （2）若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”． （3）若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2） 充分性：因为，， 所以，所以，因为，所以是周期函数； 必要性：若是周期函数，设是的周期，则， 所以，， 所以存在，使. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义结合一元二次不等式计算求解； （2）应用函数新定义结合周期定义及充要条件定义证明； （3）根据，，得出函数单调递增，再分和分类讨论单调性及值域计算求参. 【小问1详解】 ， 若，则， 所以， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，所以，， 所以在上单调递增，所以， 若，则，则不满足； 所以，设， 因为， 当单调递减；当单调递增； 所以，即， 设，则， 当单调递增；当单调递减； 又，所以； 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $