精品解析：黑龙江省大庆第一中学2025-2026学年高二上学期第三次阶段考试数学试题

大庆一中2024级高二上学期第三阶段考试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命趣人：邹荣静 审题人：李媛 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（ ） A. 互斥事件 B. 相互独立事件 C. 对立事件 D. 不相互独立事件 4. 已知双曲线焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 关于圆锥曲线，有如下命题，其中错误的命题是（ ） A. 若，则直线与椭圆相交 B. 过椭圆的焦点的弦中最短弦长为 C. 曲线的图像关于原点对称 D. 椭圆中，是椭圆上不重合四点，若直线交于椭圆内一点，则必有 6. 已知在菱形中，，点E为中点，点F为的中点，将菱形沿翻折，使平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，过焦点的弦交抛物线于两点，且有，准线与轴交于点，作到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，的值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个选项，其中正确的有（ ） A. 与向量同方向的单位向量 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 已知椭圆C：的焦点分别为．设直线与椭圆C交于两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆C的离心率为 C. 直线的方程为 D. 的周长为 11. 已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D. 若点，则的周长最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 直线：与直线：平行，则______． 13. 空间内有三点，则点到直线的距离为_____ 14. 设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长． 16. 已知椭圆的焦距是，长轴长是4. （1）椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，求的面积. 17. 央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气.高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战2次，每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分.若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； （2）第1次挑战结束时，小华累计得分为正数概率； （3）小华直到第2次才挑战成功的概率. 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. （1）求的方程； （2）若直线过点，且的斜率为2，求的值； （3）设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆一中2024级高二上学期第三阶段考试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命趣人：邹荣静 审题人：李媛 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把抛物线方程化成标准方程后可求焦点坐标. 【详解】抛物线方程为：，故焦点坐标为：， 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内点的特征列方程求得，然后利用空间距离公式求解即可. 【详解】因为点在平面内，所以，即， 所以． 故选：B. 3. 袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（ ） A. 互斥事件 B. 相互独立事件 C. 对立事件 D. 不相互独立事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误； 显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误. 故选：B 4. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求，即可得渐近线方程. 【详解】由题意可知：，且焦点在轴上， 即，可得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 5. 关于圆锥曲线，有如下命题，其中错误的命题是（ ） A. 若，则直线与椭圆相交 B. 过椭圆的焦点的弦中最短弦长为 C. 曲线的图像关于原点对称 D. 椭圆中，是椭圆上不重合四点，若直线交于椭圆内一点，则必有 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，注意到直线过椭圆内一点，据此可判断选项正误；对于B，设椭圆方程为：，其中一个焦点为，若过直线斜率不为0，设直线方程为：，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，可得过焦点的弦的弦长的表达式，据此可判断选项正误；对于C，设中任意一点为，通过证明也在曲线上可判断选项正误；对于D，通过举反例可判断选项正误. 【详解】对于A，由题可得经过点，将代入椭圆方程， 可得，则在椭圆内部，从而直线与椭圆相交，故A正确； 对于B，设椭圆方程为：，其中一个焦点为，其中， 若过直线斜率为0，易得对应焦点弦长为； 若过直线斜率不为0，设直线方程为：，将直线方程与椭圆方程联立， 并消去可得：， 判别式为：，设直线与椭圆的两个交点为： ，由韦达定理，，， 则 ，当且仅当时取等号，又注意到， 则过圆锥曲线焦点的弦中最短弦长为，故B正确； 对于C，设中任意一点为，则， 对于关于原点的对称点为，代入曲线方程可得： ， 即上任意一点关于原点的对称点也在上，即的图像关于原点对称，故C正确； 对于D，取四点，易得此时交点为，则，故D错误. 故选：D 6. 已知在菱形中，，点E为的中点，点F为的中点，将菱形沿翻折，使平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系建立空间直角坐标系，利用向量求解. 【详解】由题意可知，在菱形，和都是等边三角形，连结，交于点O，则，，菱形沿翻折后，平面平面，易得，所以，，两两垂直，所以以点O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以，，设异面直线和所成角为， 则. 故选：B. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义利用余弦定理得出的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意，，， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 故选：B． 8. 已知抛物线，过焦点的弦交抛物线于两点，且有，准线与轴交于点，作到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，的值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦半径的性质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角，根据面积公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，不妨设在第一象限，过作轴，垂足为， 则，可得， 同理可得， 因为，则，解得， 又，所以， 则，， 可得四边形的面积，解得． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个选项，其中正确的有（ ） A. 与向量同方向的单位向量 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由与同方向的单位向量为计算即可得A；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，计算可得D项. 【详解】对A：由向量， 则与其同方向的单位向量为，故A正确； 对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误； 对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时， 则这两个向量共线，故C正确； 对D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知椭圆C：的焦点分别为．设直线与椭圆C交于两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆C的离心率为 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆方程和焦点坐标可求出，对于B，根据离心率公式求解，对于C，利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，对于D，由于直线过点，所以利用椭圆的定义可求得结果. 【详解】对于A，因为椭圆的焦点为，所以椭圆的焦点在轴上， 所以，得，所以A错误， 对于B，由选项A，可知，得，所以离心率为，所以B正确， 对于C，设，则，，两式相减得 ，即， 因为为线段MN的中点，所以，， 所以，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，经检验符合题意，所以C正确， 对于D，因为直线：过点， 所以的周长为，所以D正确 故选：BCD 11. 已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 最小值为 C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D. 若点，则的周长最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D． 【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为， 对选项A，设直线方程为，由得， 设，则，， ， 直线的斜率为时，，所以，A错误； 对选项B，由抛物线定义得 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，B正确； 对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为， 则，是梯形的中位线， 由抛物线定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切， 因此为切点，所以点纵坐标为1， 又是中点，所以点纵坐标为2， 而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确； 对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线：与直线：平行，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的公式求解即可. 【详解】∵直线：与直线：平行，且当，即时两直线不平行， ∴，解得. 故答案：． 13. 空间内有三点，则点到直线的距离为_____ 【答案】 【解析】 【分析】计算向量，以及向量的单位方向向量，利用空间向量点到直线的距离公式计算即可. 【详解】因为，，， 则，， 可得直线的一个单位方向向量为， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，根据双曲线的定义可得，结合圆的性质，从而推出内切圆圆心为，根据内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，可得出不等式，结合，即可求得离心率的取值范围. 【详解】根据题意，不妨设在第一象限， 分别为内切圆与三边的切点， 如下图所示： ∵ ∴在双曲线上，故内切圆圆心为，半径为 ∴圆心到渐近线的距离是 ∴弦长 依题得，即. ∴ ∴，∵ ∴，同时除以得 ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③ 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④ 根据圆锥曲线的统一定义求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意直接求解即可； （2）联立两圆方程，求出公共弦方程，即可求出. 【小问1详解】 设，由题意得: ， 化简得：. 【小问2详解】 圆与圆的方程联立，得到方程组， ②-①，得，即为直线的方程. 圆心到直线的距离， 又圆的半径为， ∴由勾股定理，得，故. 16. 已知椭圆的焦距是，长轴长是4. （1）椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件求解出的值，则椭圆方程可求； （2）先写出直线的方程，然后通过联立求解出，结合点到直线的距离公式即可求解出的面积. 【详解】（1）因为，所以，所以椭圆的方程为； （2）由题意可知直线的方程为：，设， 由可得，所以， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积为. 17. 央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气.高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战2次，每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分.若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； （2）第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率； （3）小华直到第2次才挑战成功的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由独立事件乘法公式计算； (2)分三道均答对、前两道答对第三题答错、第一题答对第二题答错、第一题答错第三题答对四种情况，结合概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算； (3)由概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算小华在1次挑战中成功的概率，再利用独立事件的概率公式计算. 【小问1详解】 设第一次挑战结束后，小华恰答对2道题为事件， 小华恰答对2道，即小华前2题答对且第3题答错， 所以由独立事件的乘法公式得，， 故第一次挑战结束后，小华恰答对2道题的概率为； 【小问2详解】 设第1次挑战结束时，小华累计得分为正数为事件， 要想累计得分正数，则三道均答对、前两道答对第三题答错、第一题答对第二题答错、第一题答错第三题答对， 所以由概率的加法公式和独立事件的乘法公式得， ， 故第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率为； 【小问3详解】 设小华在1次挑战中成功为事件， 小华在1次挑战中成功，则只可能是第一道和第二道答对但第三道答错或三道均答对， 则， 设小华直到第2次才挑战成功为事件，即第1次失败，第2次成功， 故， 故小华直到第2次才挑战成功的概率为. 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【小问1详解】 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. （1）求的方程； （2）若直线过点，且的斜率为2，求的值； （3）设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由渐近线斜率及双曲线所过的点求双曲线参数，即可得方程； （2）由题意为，设，，联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式求； （3）法一：设为，，，法二：讨论斜率的存在性，设为，，，或为，，，再联立双曲线，应用韦达定理及已知条件列方程求参数关系，即可得定点；法三：，分别为，，联立双曲线，结合用表示出的坐标，进而写出直线，即可证结论. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以的方程为. 【小问2详解】 由题意，为，设，， 由，得，所以. 因为M，N在P点的两侧，所以与异号， 所以 . 【小问3详解】 （方法一）由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. （方法二）①若的斜率不存在，设为，，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以的方程为，此时过点. ②若的斜率存在，设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，为，此时过点，不合题意， 当时，为，此时过点，符合题意. 综上，恒过定点. （方法三）因为，，，的斜率分别为，， 所以，分别为，. 由，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ①若的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以为，此时过点. ②若的斜率存在，则， 所以为，即， 化简得，即，此时过点. 综上，恒过定点. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线的方程或直线，的方程，联立双曲线并应用韦达定理及已知得到相关参数的数量关系为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $