精品解析：黑龙江省大庆市第二十三中学艺术部2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题

大庆市第23中学艺术部2025－2026学年度（上）期中考试 高二试题 （满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：概率、立体几何、直线和圆） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、基础模块：（每空2分，共40分） 1. 两点间的距离公式：若，，则__________________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式可得结果. 【详解】， 设直线的方程为， 所以，， 所以， 即， ，则， 所以， 即. 故答案为：；；. 2. 若，，其中，过 、 的直线倾斜角为，则直线的斜率____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】略 【详解】略 3. 点到直线的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 4. 两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线，间的距离__________. 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 5. 对于两条斜率存在且不重合的直线和，的充要条件为______；的充要条件为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】略 【详解】略 6. 若直线，直线， （1）的充要条件为________； （2）的充要条件为________． 【答案】 ①. ，且或 ②. 【解析】 【分析】略 【详解】略 7. 点斜式：已知直线经过点，且斜率为，则直线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 8. 斜截式：已知直线的斜率为， 轴截距为 ，那么直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 9. 两点式：已知直线上的两点，（其中，），则方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 10. 直线的截距式方程 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b，那么直线的方程为_______，称为直线的截距式方程. 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 11. 以为圆心，半径为的圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义写出圆的标准方程即可. 【详解】以为圆心，半径为的圆的标准方程是 故答案为：. 12. 圆的一般方程是______（______），圆心为______，半径为______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】略 【详解】略 二、单选题：（每小题5分，共40分） 13. 圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（ ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C. 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A 14. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程及斜率公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：. 15. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量夹角的坐标公式计算后判断. 【详解】因为，， 所以向量与的夹角余弦值为. 故选：D. 16. 过点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且  ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为：  ， 整理，得： 故选：A 17. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，应用点线距离、圆中弦长的几何求法求弦长. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 所以圆心到直线距离为， 所以截得的弦长为. 故选：D 18. 已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两圆的公共弦方程结合点到直线的距离计算即可. 【详解】由题意可得直线的方程为， 即0，则点到直线的距离是. 故选：B 19. 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 20. 已知直线：与圆 ：交于 ， 两点，则当弦最短时直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析直线所过定点P，可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r＝2； 已知直线l：2mx+y﹣m﹣1＝0恒过点P（）； ∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短， 此时，则； 此时﹣2m＝⇒m＝； 此时直线AB的方程为﹣，变形可得2x﹣4y+3＝0． 故选：A． 三、多选题：（每小题6分，共18分） 21. 已知某同学最近5次体育测试成绩（满分10分）分别为7，9，8，10，8，则以下说法正确的有（ ） A. 5次成绩的平均数为8.4 B. 5次成绩的第三四分位数为9 C. 5次成绩的方差为1 D. 任取1次的成绩，则取到的成绩大于5次成绩的中位数的概率是0.4 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出平均数即可判断A，求出第75百分位数即可判断B，求出方差即可判断C，求出中位数，再由古典概型的概率公式判断D. 【详解】对于A：5次成绩的平均数为，故A正确； 对于B：5次成绩从小到大排列为7,8,8,9,10，又， 所以5次成绩的第三四分位数为9，故B正确； 对于C：5次成绩的方差为，故C错误； 对于D：5次成绩的中位数为 ， 所以任取1次的成绩，则取到的成绩大于5次成绩的中位数的概率，故D正确. 故选：ABD 22. 已知直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线过定点 C. 若，则 D. 当时，直线不经过第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数 的等式与不等式，解之可判断A选项；解方程组可求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；利用两直线垂直求出 的值，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，解得，A对； 对于B选项，由可得，即直线过定点，B错； 对于C选项，若，则，解得，C对； 对于D选项，当时，直线交 轴的负半轴于点， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错. 故选：AC. 23. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解. 【详解】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确； 因为， 所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误； 设点M是圆Q上任意一点， 由题意可知的最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 四、填空题（每小题5分，共15分） 24. 直线和的交点坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】联立两直线的方程即可求解. 【详解】联立，解得， 故交点坐标为， 故答案为： 25. 在正方体中，是棱 的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】因为是正方体，建立以 为原点的坐标系，如图， 设正方体的棱长为2，则有，，， ， ， ， 设异面直线与所成角为， ． 故答案为：． 26. 已知，直线与线段有公共点，则 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求直线的定点，再求端点，利用数形结合即可求解. 【详解】由，得. 令得则直线过定点， 故. 设直线的斜率为，则或， 由图像可有：或， 解得或. 故答案为：. 五、解答题：（共37分） 27. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率． （1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率； （2）从甲、乙两校各随机抽取1人，求恰有1人做对的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率即可得解. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解即得. 【小问1详解】 依题意，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为. 【小问2详解】 记事件A为“从甲校抽取1人做对”，则，， 记事件B为“从乙校抽取1人做对”，则， 记事件C为“恰有1人做对”，则， 所以 28. （1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程； （2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标． 【答案】（1）和，（2） 【解析】 【分析】（1）根据截距是否为0，即可利用待定系数法求解， （2）根据垂直满足的斜率关系即可求解. 【详解】（1）当直线经过原点时，设直线，代入可得， 当直线截距不为0时，设，代入可得，解得 故直线方程为，即， 综上可得直线方程为和 （2）设， 由于直线的斜率为 故， 又，解得则， 故 29. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，，， 直线与平面所成角为 ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 30. 已知圆心为 的圆经过，两点，且圆心 在直线上． （1）求圆 的标准方程． （2）在（1）的条件下，求①的取值范围；②的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）①的取值范围为；②的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心，半径为，圆经过点，建立等式求出参数，从而得出圆的圆心和半径，写出圆的标准方程即可； （2）①设圆 上任意一点，令，将问题转化为直线与圆的位置关系建立不等式求出即可；②的最值转化为圆 上任意一点到原点的距离的平方的最值，通过分析计算即可得出结果. 【小问1详解】 因为圆 的圆心在直线上， 所以设圆心，半径为， 又圆 经过，两点， 所以， 即， 化简得：，解得：， 所以圆心为，半径， 所以所求的圆 的标准方程为：. 【小问2详解】 ①设圆 上任意一点，满足， 令，即， 所以要求的取值范围，即直线与圆要有交点， 即圆心到直线的距离， 即， 解得：， 所以的取值范围为：； ②表示圆 上任意一点到原点的距离的平方， 又圆心到原点的距离为： ， 又圆的半径为5， 所以的最大值为：， 最小值为：， 故的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第23中学艺术部2025－2026学年度（上）期中考试 高二试题 （满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：概率、立体几何、直线和圆） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、基础模块：（每空2分，共40分） 1. 两点间的距离公式：若，，则__________________． 2. 若，，其中，过、的直线倾斜角为，则直线的斜率____________． 3. 点到直线的距离______． 4. 两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线，间的距离__________. 5. 对于两条斜率存在且不重合的直线和，的充要条件为______；的充要条件为______． 6. 若直线，直线， （1）的充要条件为________； （2）的充要条件为________． 7. 点斜式：已知直线 经过点，且斜率为 ，则直线方程是______． 8. 斜截式：已知直线 的斜率为 ，轴截距为，那么直线的方程为______． 9. 两点式：已知直线 上的两点，（其中，），则方程为______． 10. 直线的截距式方程 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b，那么直线的方程为_______，称为直线的截距式方程. 11. 以为圆心，半径为的圆的标准方程是______． 12. 圆的一般方程是______（______ ），圆心为______，半径为______． 二、单选题：（每小题5分，共40分） 13. 圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（ ） A. 圆心，半径 B. 圆心，半径 C. 圆心，半径5 D. 圆心，半径 5 14. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 15. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 16. 过点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 17. 直线被圆截得的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 18. 已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 2 19. 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 20. 已知直线 ：与圆 ：交于，两点，则当弦最短时直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 三、多选题：（每小题6分，共18分） 21. 已知某同学最近5次体育测试成绩（满分10分）分别为7，9，8，10，8，则以下说法正确的有（ ） A. 5次成绩的平均数为8.4 B. 5次成绩的第三四分位数为9 C. 5次成绩的方差为1 D. 任取1次的成绩，则取到的成绩大于5次成绩的中位数的概率是0.4 22. 已知直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线过定点 C. 若，则 D. 当时，直线不经过第二象限 23. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆 外 C. 过点且与圆 相切的直线有且只有一条 D. 设点 是圆 上住意一点，则的最小值为 四、填空题（每小题5分，共15分） 24. 直线和的交点坐标为_____________. 25. 在正方体中， 是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________. 26. 已知，直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 五、解答题：（共37分） 27. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率． （1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率； （2）从甲、乙两校各随机抽取1人，求恰有1人做对的概率. 28. （1）已知直线 过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线 方程； （2）已知点，直线，点 在 上，且，求 点的坐标． 29. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 30. 已知圆心为 的圆经过，两点，且圆心 在直线上． （1）求圆 的标准方程． （2）在（1）的条件下，求① 的取值范围；②的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $