专题5.1 变量与函数（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

本讲义聚焦变量与函数核心知识点，系统梳理从常量与变量的识别，到函数概念的抽象（“唯一对应”本质），再到表达式、表格、图象三种表示方法的完整脉络，为后续函数学习搭建基础认知支架。 资料以“通话费计算”“刹车距离测试”等真实情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的能力。通过函数图象判断等概念辨析题和典例变式分层题型发展数学思维，三种表示方法训练数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

专题5.1 变量与函数 教学目标 1.探索简单实际情境中的数量关系与变化规律，识别问题中的常量、变量及其意义，形成函数概念。 2.能在简单实际情境中，理解函数值的意义，并会求函数值。 3.在实际情境中，了解函数的三种表示方法，能用适当的表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 4.能在简单实际情境中，根据实际情况确定自变量的取值范围，并会求函数值。 教学重难点 1.重点 （1）函数的对应关系及自变量与函数值的识别‌。 （2）通过实例（如匀速运动、几何问题）理解“唯一对应”的本质‌。 2.难点 （1）抽象出函数概念，从具体情境过渡到数学符号的思维转变‌。 （2）确定自变量的取值范围（如实际问题中的限制条件）。‌ 知识点01 函数的概念1.常量与变量： （1）常量：在一个变化过程中，数值 的量叫作常量（constant）； （2）变量：在一个变化过程中，数值 的量叫作变量（variable）。 2.函数的概念： 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的 确定的值y都有 的值与它对应，那么称y是x的函数（function），x是自变量。对于自变量x的每一个值，函数y的对应值称为函数值（function value）。 注意：自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量 B．常量，50；变量 C．常量，50；变量 D．常量，50；变量， 2．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 4．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A．B． C．D． 知识点02 函数的表示 1.函数的表示方法： 、 、 。 1）用表达式表示。如y=1-x， y=30t等，像这样用 和 组成的表示函数的表达式叫作函数表达式(expression of function) 。 2）用表格表示。把自变量的取值写在 ，对应的函数值写在 。 3）用图象表示，把自变量的取值作为 坐标，对应的函数值作为 坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象( graph of function)。 函数图象上的点与函数表达式的关系：函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A．B．C．D． 题型01 变量与常量的辨别 【典例1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）淇淇打算吃石家庄板面，石家庄板面的单价是10元/碗，淇淇购买石家庄板面的总钱数随着碗数的变化而变化，在这个过程中，常量是（   ） A．石家庄板面 B．石家庄板面的单价 C．石家庄板面的碗数 D．购买石家庄板面的总钱数 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，下列说法正确的是（  ） A．汽车是自变量 B．行驶的路程是自变量 C．时间是因变量 D．速度是常量 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A．数量 B．单价 C．金额 D．数量和金额 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期末）半圆的面积公式中，常量是 ． 题型02 函数的概念辨析 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）下列各式中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【变式4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列四个图象分别给出了与的对应关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型03 自变量与自变量的范围 【典例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是（    ） A．函数 B．函数值 C．常量 D．自变量 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（    ） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）函数中，自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型03 函数值与范围 【典例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 【变式2】（25-26七年级上·山西大同·期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【变式3】（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 题型05 函数的表示-关系式法 【典例1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 题型06 函数的表示-列表法 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【变式1】（24-25八年级上·江苏·专项）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系： 0 1 2 3 4 … 10 10.5 11 11.5 12 … 下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加 C．所挂物体为时，弹簧长度为 D．不挂重物时弹簧的长度为 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … (1)填空：_____，_____；(2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ (3)用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 题型07 函数的表示-图象法 【典例1】（24-25八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A．B． C．D． 【变式3】（25-26八年级上·广西梧州·期中）乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C．D． 题型08 从函数图象获取信息 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知合肥到芜湖的距离为，现有一辆邮政车往返于这两个城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1h再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过，两车第一次相遇．两车之间的距离与行驶时间之间的部分函数关系如图所示．根据图象的信息，下列说法错误的是（   ） A．邮政车到达芜湖的时间为 B．邮政车的速度为 C．大巴车的速度为 D．当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到芜湖的距离为 【变式1】（24-25八年级上·浙江·期中）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小A和小I从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为，小A和小I行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为 C．小I比小A早到14秒 D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加，h的增加量相同 【变式4】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 1.（25-26八年级上·安徽六安·期中）下列各曲线中哪些不是表示是的函数（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级·浙江·自主招生）有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）我国很早就利用风能进行发电，如图，在发电的过程中，发电机组的输出功率随风速的变化而变化．这一过程中，自变量是（    ） A．风速 B．输出功率 C．发电机 D．以上都不对 5．（25-26八年级上·江苏国·课后作业）某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河南南阳·期末）下列四个选项中，说法不正确的是（    ） A．在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C．在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D．一种金属，其质量是体积的函数 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 9.（2025·河南·模拟预测）小强家距学校，某天小强以的速度去学校，出发后，小强爸爸发现小强忘记带数学课本，于是，爸爸立即以的速度跑步去追小强，追上后，两人停留了，为了按时到校，小强以的速度慢跑前进，爸爸以原速返回，下列选项中，能正确反映小强和爸爸距离家的路程（m），（m）与小强离开家的时间x（）之间的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·上海·期中）函数的定义域为 ． 11．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 12．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 14．（24-25八年级上·江苏南京·月考）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量与时间之间的关系如折线图所示，则下列结论正确的序号是 ．①洗衣机进水用了4分钟；②洗衣机清洗时水量是；③清洗时间用了10分钟；④若洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机剩下水． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 16．（23-24七年级下·重庆·期末）6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 17．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，变量是_________，常量是_________． (2)请直接写出梯形的面积（厘米2）与高（厘米）之间的关系式． (3)当梯形的高由8厘米变化到2厘米时，梯形的面积变化情况． 18．（25-26八年级上·四川成都·月考）在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） (1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解 ，请求出与的函数关系式； (3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 19．（25-26八年级上·陕西西安·月考）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 超过400千瓦时的部分 (1)设该市一户居民某月用电量千瓦时，当月的电费元，写出与的关系式： 当时，_____；当时，_____； (2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； (3)某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？ 20．（25-26八年级上·江苏·课后作业）由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 请回答下列问题：(1)在这个变化过程中，自变量是________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是________； (3)根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：________； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．） 21．（24-25七年级下·四川达州·月考）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒．(3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 22．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 变量与函数 教学目标 1.探索简单实际情境中的数量关系与变化规律，识别问题中的常量、变量及其意义，形成函数概念。 2.能在简单实际情境中，理解函数值的意义，并会求函数值。 3.在实际情境中，了解函数的三种表示方法，能用适当的表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 4.能在简单实际情境中，根据实际情况确定自变量的取值范围，并会求函数值。 教学重难点 1.重点 （1）函数的对应关系及自变量与函数值的识别‌。 （2）通过实例（如匀速运动、几何问题）理解“唯一对应”的本质‌。 2.难点 （1）抽象出函数概念，从具体情境过渡到数学符号的思维转变‌。 （2）确定自变量的取值范围（如实际问题中的限制条件）。‌ 知识点01 函数的概念 1.常量与变量： （1）常量：在一个变化过程中，数值 保持不变 的量叫作常量（constant）； （2）变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量叫作变量（variable）。 2.函数的概念： 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的 每一个 确定的值y都有 唯一 的值与它对应，那么称y是x的函数（function），x是自变量。对于自变量x的每一个值，函数y的对应值称为函数值（function value）。 注意：自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式．所以，和均为变量．故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，因此时间，冰的厚度是变量．故选：D． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【详解】解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系；∴不一定是函数关系的是D．故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意；故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【详解】解：A选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意，故选D． 知识点02 函数的表示 1.函数的表示方法： 表达式法 、 表格法 、 图象法 。 1）用表达式表示。如y=1-x， y=30t等，像这样用 自变量 和 常量 组成的表示函数的表达式叫作函数表达式(expression of function) 。 2）用表格表示。把自变量的取值写在 第一行 ，对应的函数值写在 第二行 。 3）用图象表示，把自变量的取值作为 横 坐标，对应的函数值作为 纵 坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象( graph of function)。 函数图象上的点与函数表达式的关系：函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度，即：。故选：A． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 【答案】D 【详解】解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、∵温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， ∴当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意；故选：． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意．故选：B． 题型01 变量与常量的辨别 【典例1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）淇淇打算吃石家庄板面，石家庄板面的单价是10元/碗，淇淇购买石家庄板面的总钱数随着碗数的变化而变化，在这个过程中，常量是（   ） A．石家庄板面 B．石家庄板面的单价 C．石家庄板面的碗数 D．购买石家庄板面的总钱数 【答案】B 【详解】解：根据题意，石家庄板面的单价始终为10元/碗，不随碗数的改变而变化，因此单价是常量．而购买的总钱数（总价单价碗数）和碗数之间存在直接关系，碗数变化时总钱数随之变化，故碗数和总钱数均为变量．故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，下列说法正确的是（  ） A．汽车是自变量 B．行驶的路程是自变量 C．时间是因变量 D．速度是常量 【答案】D 【详解】解：在匀速行驶过程中，汽车的速度保持每小时100千米不变，因此速度是常量． 行驶的路程随时间的增加而增加，故时间为自变量，路程为因变量．故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A．数量 B．单价 C．金额 D．数量和金额 【答案】D 【详解】解：根据题意，电子秤显示的数据包括金额30元、数量5千克、单价6元/千克．单价是固定值（6元/千克），属于常量； 当购买橙子的数量变化时，金额会随之改变（金额=单价×数量）．因此，变量是数量和金额，故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期末）半圆的面积公式中，常量是 ． 【答案】 【详解】解；半圆的面积公式中，常量是，故答案为：． 题型02 函数的概念辨析 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C、对于部分x的值，y都有两个值或三个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； D、对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故y是x的函数，符合题意；故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）下列各式中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在，和中，对于任意的x的确定值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；在中，对于任意的正数x，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义，故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； C、对于的每一个确定的值，有两个的值与其对应，所以不是的函数，此项符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意．故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：表中数据符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故A不符合； 图中的点符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故B不符合； 图中的点符合“每一个值都有且对仅应唯一的一个值”， 是的函数，故C不符合； 图中的点不符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 不是的函数，故D符合；故选：D． 【变式4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列四个图象分别给出了与的对应关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项中，给定的值都有唯一的值与它对应，是的函数； 选项中，给定的值有两个值与它对应，不是的函数，故选：． 题型03 自变量与自变量的范围 【典例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数要有意义，则，解得：，故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是（    ） A．函数 B．函数值 C．常量 D．自变量 【答案】D 【详解】解：正方形的周长随着边长的变化而变化，是自变量，故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（    ） A．金额是因变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是随着数量的增大而减少 【答案】A 【详解】解：由题意，油的单价固定不变为常量，金额随着数量的增大而增大， 故单价是常量，数量为自变量，金额为因变量；故符合题意的只有选项A；故选A． 【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）函数中，自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：，解得，，故选：D． 题型03 函数值与范围 【典例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：当时，，解得： 所以不合题意，舍去； 当时，，解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为．故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 【答案】 【详解】解：依题意，，则当x增加1时，，此时， 即当x增加1时，y增加，故答案为：2 【变式2】（25-26七年级上·山西大同·期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【答案】A 【详解】解：∵，∴ 35℃转换为华氏度为95°F．故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图所示：当时，或．故选：D． 题型05 函数的表示-关系式法 【典例1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴距离地面h千米处的温度t为．故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得， ∴，即，故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 油匀速流出，∴ 流出的油量，∴ 剩余油量． ∵ 流完需，∴ t的取值范围为．故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元，故，经验证，符合表格中数据，故选：C． 题型06 函数的表示-列表法 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据可知，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从表格数据可知，每增加，增加，所以，当时，，错误，符合题意； D：当时，总刹车距离，正确，不符合题意；故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·专项）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系： 0 1 2 3 4 … 10 10.5 11 11.5 12 … 下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加 C．所挂物体为时，弹簧长度为 D．不挂重物时弹簧的长度为 【答案】D 【详解】解：由表格可得：A．y随x的增大而增大，x是自变量，y是因变量，正确； B．物体质量每增加，弹簧长度y增加0.5cm，故正确； C．由B知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故正确； D．弹簧不挂重物时的长度为，故错误，本选项符合题意；故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … (1)填空：_____，_____；(2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ (3)用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)15，30(2)加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大） (3)，反比例关系 【详解】（1）解：∵这批毛绒玩具共 600 件， ∴，∴． （2）解：结合表格，得出加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）． （3）解：∵工作总量不变，都是 600 件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是 600 ，即乘积不变， ， 故与成反比例关系． 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【答案】(1)150(2)航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大(3)反比例关系 【详解】（1）解：甲、乙两地相距，故答案为：150； （2）解：由所给数据可得：航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大． （3）解：∵甲、乙两地距离固定为，∴v与t满足， ∴轮船的速度v与航行时间t之间成反比例关系． 题型07 函数的表示-图象法 【典例1】（24-25八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系；故选：C ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，∴符合题意的图象是B选项中的图象．故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·广西梧州·期中）乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：虚线一直增加且倾斜程度小于实线； 实线有三个阶段，1、跑了一段，增加；2、睡了一觉，不变，水平线；3、当它醒来时，跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点；只有D选项符合题意．故选：D． 题型08 从函数图象获取信息 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知合肥到芜湖的距离为，现有一辆邮政车往返于这两个城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1h再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过，两车第一次相遇．两车之间的距离与行驶时间之间的部分函数关系如图所示．根据图象的信息，下列说法错误的是（   ） A．邮政车到达芜湖的时间为 B．邮政车的速度为 C．大巴车的速度为 D．当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到芜湖的距离为 【答案】C 【详解】解：由图可知，邮政车用小时由合肥到芜湖， 邮政车的速度为（千米/小时），故A、B正确，不合题意； 设旅游大巴车速度为a千米/小时，根据题意得：， ， 旅游大巴车速度为40千米/小时，故C错误，符合题意； 又，相遇点到合肥的距离为千米． 相遇点到芜湖的距离为：（千米），故D正确，不合题意．故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江·期中）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了，∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙，∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则：， 点可知，休息分钟，∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意．故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小A和小I从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为，小A和小I行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为 C．小I比小A早到14秒 D． 【答案】D 【详解】解：由图象可得，小I在第15秒时开始出发， ∴小A比小I先出发15秒，故选项A正确； ∵小I从走到了时，总共用了，故提速前的速度为， ∵小I提速后将速度提高到原来的倍， ∴小I提速后的速度为，故选项B正确； 由图象可得线段的过程中，小I从处行走到了， ∴小I在线段的过程中所用的时间为，∴的值为， 即小A从处行走到了时，用了，∴小A的速度为， ∴小A行走用的时间为，即，故选项D错误； ∴小I比小A早到，故选项C正确．故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加，h的增加量相同 【答案】D 【详解】解：A．由题图②可知，当时，，选项A不符合题意； B． 由题图③可知，当时，，选项B不符合题意∶ C． 由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，选项C不符合题意∶ D． 由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加，h的增加量不同．选项D符合题意．故选：D． 【变式4】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即，解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为，∴，故D选项错误，不符合题意；故选：B． 1.（25-26八年级上·安徽六安·期中）下列各曲线中哪些不是表示是的函数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题图可知，A、B、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；C、对于x的一个值，y有两个值与之相对应，则y不是x的函数；故选：C． 2．（24-25九年级·浙江·自主招生）有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有①；③；⑥，共3个．故选：B． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分母∴．故选：A． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）我国很早就利用风能进行发电，如图，在发电的过程中，发电机组的输出功率随风速的变化而变化．这一过程中，自变量是（    ） A．风速 B．输出功率 C．发电机 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵发电机组的输出功率随风速的变化而变化， ∴自变量为风速，因变量为发电机组的输出功率．故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏国·课后作业）某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 放完水时，且， ∴ ，∴ ，∴．故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当输入，，，解得， 当输出的值为时，有两种情况， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得，故选：A． 7．（24-25八年级下·河南南阳·期末）下列四个选项中，说法不正确的是（    ） A．在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C．在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D．一种金属，其质量是体积的函数 【答案】C 【详解】解：A． 在匀速运动公式中，速度是固定值，为常量；路程随时间变化，故是的函数．说法正确． B． 根据反射定律，反射角恒等于入射角，即，每个对应唯一的，因此是的函数．说法正确． C． 在圆的周长公式中，半径和周长是变量，而2和均为固定常数，因此是常量而非变量．原说法错误． D． 金属质量由密度和体积决定，密度固定时，质量随体积变化，故质量是体积的函数．说法正确． 综上，不正确的选项为C．故选：C 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点在上运动，即时，随着的增大而增大， 点在上运动，即时，， 当点在上运动，即时，随着的增大而减小，故选：A． 9.（2025·河南·模拟预测）小强家距学校，某天小强以的速度去学校，出发后，小强爸爸发现小强忘记带数学课本，于是，爸爸立即以的速度跑步去追小强，追上后，两人停留了，为了按时到校，小强以的速度慢跑前进，爸爸以原速返回，下列选项中，能正确反映小强和爸爸距离家的路程（m），（m）与小强离开家的时间x（）之间的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设爸爸出发后追上小强，则，解得，∴， 即爸爸在小强离开家后追上小强，此时，离家的路程为， 停留后爸爸以原速返回，∴，即爸爸在小强离开家后回到家； 停留后，小强以的速度慢跑前进，则小强共用时， ∴D选项正确．故选：D． 10．（25-26八年级上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为，故答案为：． 11．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 【答案】 【详解】已知函数关系式，将代入可得毫米．故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【答案】 200 【详解】解：根据题意得：， 即该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为； 当时，，解得：， 即某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元．故答案为：；200 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 【答案】 y 【详解】解：由题意，山脚温度为，每升高降低，上升高度为，温度为， 则y与x的函数解析式为，其中x是自变量，y是x的函数． 故答案为：，x，y，x． 14．（24-25八年级上·江苏南京·月考）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量与时间之间的关系如折线图所示，则下列结论正确的序号是 ．①洗衣机进水用了4分钟；②洗衣机清洗时水量是；③清洗时间用了10分钟；④若洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机剩下水． 【答案】①②④ 【详解】解：由图象可得，洗衣机进水用了4分钟，洗衣机清洗时水量是，故①②正确； 清洗时间用了（分钟），故③错误； ∵洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟， ∴排水结束时洗衣机剩下，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 【答案】 225 3600 【详解】解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为，体积为； （2）根据题意得：，解得：．∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒，∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 16．（23-24七年级下·重庆·期末）6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 【答案】(1)， (2)(3)(4) 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高． 故答案为：， ． （2）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以当圆柱的底面积为时，圆柱的高是． 故答案为：． （3）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以圆柱的高与底面积之间的关系式为：．故答案为：． （4）解：由题意得，拉丝后的圆柱体底面半径， 体积，． 答：这块圆柱体玄武岩材料能纺线． 17．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，变量是_________，常量是_________． (2)请直接写出梯形的面积（厘米2）与高（厘米）之间的关系式． (3)当梯形的高由8厘米变化到2厘米时，梯形的面积变化情况． 【答案】(1)变量是梯形的高和面积；常量是梯形的上底和下底(2) (3)梯形的面积由72平方厘米减小到18平方厘米，减少了54平方厘米 【详解】（1）解：由题意可得：变量是梯形的高和面积；常量是梯形的上底和下底； （2）解：梯形面积公式 (上底下底) 高， 代入上底，下底，得； （3）解：当时，（平方厘米） 当时，（平方厘米）面积变化：（平方厘米） 答：梯形的面积由72平方厘米减小到18平方厘米，减少了54平方厘米． 18．（25-26八年级上·四川成都·月考）在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） (1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解 ，请求出与的函数关系式； (3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：从表格中可以直接看出，当汽车速度千米小时，米． 答：当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是米． （2）解：把，代入， 得到，即，解得，∴； （3）解：把代入，得到，即． 因为速度，所以千米/小时． 19．（25-26八年级上·陕西西安·月考）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 超过400千瓦时的部分 (1)设该市一户居民某月用电量千瓦时，当月的电费元，写出与的关系式： 当时，_____；当时，_____； (2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； (3)某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？ 【答案】(1)；(2)146元(3)300千瓦时 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，； （2）解：在中，当时，， 答：该户这个月的电费为146元； （3）解：∵，且， ∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时， 在中，当时，， 答：该户居民八月份用电量为300千瓦时． 20．（25-26八年级上·江苏·课后作业）由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 请回答下列问题：(1)在这个变化过程中，自变量是________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是________； (3)根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：________； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．） 【答案】(1)刹车时车速(2)15(3) (4)推测刹车时车速是，汽车是超速行驶 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速．故答案为：刹车时车速； （2）解：当刹车时车速为时，刹车距离是；故答案为：15； （3）解：由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加， 与v之间的关系式为：，故答案为：； （4）解：当时，，， ，∴事故发生时，汽车是超速行驶， 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 21．（24-25七年级下·四川达州·月考）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒．(3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s(2)6；(3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）．故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙，根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 22．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【答案】(1)1；；(2)； (3)的值为或时，面积为． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为：， ∵，∴，∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形，∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴，即，解得：， ∴，∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为：，∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ，∴； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为，∵面积为∴点在或上， 当点在上时，如图， 即，解得， 当点在上时，如图， 即，解得， 综上，的值为或时，面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $