5.1变量与函数（第1课时）教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

5.1.1变量与函数 【教学目标】 1. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义. 2. 能判断两个变量之间是否存在函数关系. 3. 通过用函数表述具体问题中的数量关系和变化规律，体会模型的思想，建立符号意识. 【教学重点】 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义 【教学难点】 判断两个变量之间是否存在函数关系 1、 创设情境： 情境一 某列车从甲地驶往乙地，在13:25到13:30这个时段列车匀速行驶. 该时段中涉及哪些量？这些量之间有怎样的关系？ 列车的速度、甲乙两地的距离保持不变；列车与甲地的距离随着时间的变化而变化，当时间确定时，列车与甲地的距离随之确定. 情境二 用30cm长的篱笆靠墙围成一个长方形小兔乐园，长方形的周长保持不变，面积随一边长的变化而变化. 当一边长确定时，面积随之确定. 情境三 购买某种橘子，橘子的单价保持不变，花费的金额随购买数量的变化而变化. 当购买数量确定时，花费的金额随之确定. 请你再举出一些类似的例子，并指出其中哪些量是不变的，哪些量是变化的，是如何变化的. （例如，一个三角形的一边长为2，这个三角形的面积随着这边上的高的长度的变化而变化，当这边上的高确定时，面积随之确定.） 常量、变量的概念： 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，数值发生变化的量叫作变量. 函数的概念： 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量. 对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值. 2、 例题精讲： 例1汽车由北京驶往相距840千米的沈阳，汽车的速度是70千米/时，t小时后，汽车离沈阳s千米． （1）s是t的函数吗？如果是，用含t的代数式表示s； （2）经过2小时后，汽车离沈阳多少千米？ （3）经过多少小时后，汽车离沈阳还有140千米？ 例2指出下列问题中的常量和变量： （1）一个周长为60的长方形，记它的一边长为x，面积为S； （2）一辆汽车以40km/h的速度匀速行驶，记汽车行驶的路程为skm，行驶时间为th； （3）一辆汽车匀速行驶了3h，记汽车行驶的路程为skm，汽车的速度为vkm/h； （4）现将360本图书借给学生阅读，每人9本，记学生人数为n，剩下的图书为N本． 课堂练习： 1．如图，这是小康在游玩时发现的一些事物的形状或轨迹，其中能表示是的函数的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．淇淇打算吃石家庄板面，石家庄板面的单价是10元/碗，淇淇购买石家庄板面的总钱数随着碗数的变化而变化，在这个过程中，常量是（   ） A．石家庄板面 B．石家庄板面的单价 C．石家庄板面的碗数 D．购买石家庄板面的总钱数 3．已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是（    ） A．函数 B．函数值 C．常量 D．自变量 4．下列四个选项中，说法不正确的是（    ） A．在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C．在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D．一种金属，其质量是体积的函数 5．下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列关系中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 7．嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） A．数量 B．单价 C．金额 D．数量和金额 8．在圆的面积公式中，是常量，当半径为自变量时， 是 _______的函数． 9．“随着气温上升，雪糕的销量开始上涨．”在这个情境中，自变量是 ． 10．半圆的面积公式中，常量是 ． 11．某型号签字笔每支2.5元，则购买该型号签字笔所花的钱数y（元）与x（支）之间的关系式是 ． 12．一个正方形的边长为，它的各边长都减少后，得到的新正方形的周长为． (1)求与之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了，求得到的新正方形的周长． 13．指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？ （1）一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程与行驶时间． （2）圆的半径和圆面积满足：． （3）银行的存款利率与存期． 参考答案 例1解：（1）s=840-70t （2）当t=2时，s=840-70×2=700，所以经过2小时后，汽车离沈阳700千米 （3）当s=140时，140=840-70t，解得t=10，所以经过10小时后，汽车离沈阳还有140千米. 例2解：（1）60是常量，s，x是变量 （2）40是常量，s，t是变量 （3）3是常量，s，v是变量 （4）360，是常量，n、N是变量 课堂练习 1．C 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量x、y，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此求解即可． 【详解】解：由函数的定义可知，①③能表示是的函数，②不能表示是的函数， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查常量与变量的概念．在问题中，固定不变的量称为常量，发生变化的量称为变量．根据常量和变量的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意，石家庄板面的单价始终为10元/碗，不随碗数的改变而变化，因此单价是常量．而购买的总钱数（总价单价碗数）和碗数之间存在直接关系，碗数变化时总钱数随之变化，故碗数和总钱数均为变量． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了函数的概念，设在某一变化过程中，有两个变量和，对于每一个的值，总有唯一的值与它对应，我们就说是自变量，是的函数．直接根据自变量的定义即可得到答案． 【详解】解：正方形的周长随着边长的变化而变化， 是自变量， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查函数概念及常量与变量的判断，根据各选项的描述逐一分析即可． 【详解】解：A． 在匀速运动公式中，速度是固定值，为常量；路程随时间变化，故是的函数．说法正确． B． 根据反射定律，反射角恒等于入射角，即，每个对应唯一的，因此是的函数．说法正确． C． 在圆的周长公式中，半径和周长是变量，而2和均为固定常数，因此是常量而非变量．原说法错误． D． 金属质量由密度和体积决定，密度固定时，质量随体积变化，故质量是体积的函数．说法正确． 综上，不正确的选项为C． 故选：C 5．C 【分析】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数）是解题关键．根据函数定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； C、对于的每一个确定的值，有两个的值与其对应，所以不是的函数，此项符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查的是函数的定义．根据函数的定义进行逐一判断即可：对于两个变量x和y，如对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数． 【详解】解：A、，符合函数的定义，本选项不符合题意； B、，符合函数的定义，本选项不符合题意； C、，符合函数的定义，本选项不符合题意； D、，当时，对于一个确定的x的值，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义，本选项符合题意； 故选：D． 7．D 【分析】本题考查变量与常量的概念，根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案．在购买橙子的过程中，单价是固定不变的，而购买的数量和对应的金额会发生变化，因此变量是数量和金额． 【详解】解：根据题意，电子秤显示的数据包括金额30元、数量5千克、单价6元/千克．单价是固定值（6元/千克），属于常量； 当购买橙子的数量变化时，金额会随之改变（金额=单价×数量）． 因此，变量是数量和金额， 故选：D． 8． S r 【分析】本题考查函数，在一个变化过程中，有两个变量x、y，当给x一个值时，y有唯一的一个值与之对应，则把y叫x的函数． 掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：公式中，是常量，当半径为自变量时， 则S是r的函数． 故答案为：S；r． 9．气温 【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，其中叫做自变量，叫做因变量． 【详解】解：雪糕的销量随着气温的上升而上涨，故自变量为气温； 故答案为：气温． 10． 【分析】本题主要考查了常量的定义，常量是在事物的变化中保持不变的量，据此可得答案． 【详解】解；半圆的面积公式中，常量是， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了函数关系式，根据该型号签字笔所花的钱数等于单价乘数量，进行列式作答即可． 【详解】解：∵某型号签字笔每支2.5元， ∴购买该型号签字笔所花的钱数y（元）与x（支）之间的关系式是， 故答案为： 12．见解析 【分析】根据函数的概念，因变量随着自变量的变化而变化，据此逐一判断可得． 【详解】解：（1），随着的变化而变化； （2）圆的半径和圆面积关系式，其中随着的变化而变化； （3）银行的存款利率随着存期的变化而变化． 【点睛】本题主要考查函数的定义，理解和掌握函数的定义是解题的关键． 13．(1)； (2)． 【分析】本题考查函数关系式，掌握正方形周长计算公式是解题的关键． （1）根据正方形周长公式计算即可； （2）当时，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 与之间的关系式为． （2）当时，， 答：得到的新正方形的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$