精品解析：湖南省衡阳市衡山县前山片联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学期中测试题 时量∶120分钟 满分∶120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 2. 下列二次根式中，最简二次根式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、 ，可化简，故本选项错误； B、 是最简二次根式，故本选项正确； C、，可化简，故本选项错误； D、，可化简，故本选项错误； 故选B. 【点睛】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 3. 方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将进行因式分解，，计算出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 4. 如图，，AF与BE相交于点，且，，，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“平行线分线段成比例定理”结合已知条件分析解答即可． 【详解】解：∵AG=2，GD=1， ∴AD=AG+GD=3， ∵ABCDEF， ∴， 又∵DF=5， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉“平行线分线段成比例定理”是解答本题的关键． 5. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 【答案】B 【解析】 【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意， ∵是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ， 解得：； ∴， ∴， ∴，， ∴方程的另一个根是； 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，二次根式的减法以及二次根式的性质求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式的减法以及二次根式化简，熟知相关计算法则是解题的关键． 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（ ） A. 6 B. 3 C. 1.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，证明 再证明 可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，证明是解本题的关键． 8. 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题. 【详解】由题意可得， ， 故选：. 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程. 9. 如图，数学兴趣小组利用标杆测量学校古树的高度，标杆高，测得，，则古树的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．先根据题意得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ， 古树的高度是， 故选：C． 10. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处， ,， ，， 设，则，， 在中， 即， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 二、填空题：本题共8 小题，每小题3分，共24分． 11. 比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 12. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 【答案】30% 【解析】 【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户， 依题意得100（1+x）2=169， 解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x=0.3=30%， 故答案为：30%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 14. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH=1，AF= ，由ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP=RQ，则点R与点M重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果． 【详解】解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示： 则四边形ABEH是矩形， ∴HE=AB=1，AH=BE=BC+CE=2+4=6， ∵四边形CEFG是矩形， ∴FG//CE，EF=CG=2， ∴∠RFP=∠RCQ，∠RPF=∠RQC，FH=EF-HE=2-1=1， 在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF=， 在△RFP和△RCQ中， ， ∴△RFP≌△RCQ（ASA）， ∴RP=RQ， ∴点R与点M重合， ∵点N是AC的中点， ∴MN是△CAF的中位线， ∴MN=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 15. 若菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为_____． 【答案】12. 【解析】 【分析】先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果． 【详解】x2−10x+24=0 x=4或x=6. 所以菱形的面积为：（4×6）÷2=12.菱形的面积为：12. 【点睛】本题考查菱形的性质和面积的求法、根与系数的关系，解题的关键是掌握菱形的性质和面积的求法、根与系数的关系. 16. 设是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义、一元二次方程根与系数的关系及代数式求值等知识，由一元二次方程解的定义、一元二次方程根与系数的关系求出、是解决问题的关键． 由一元二次方程解的定义可得，再由一元二次方程根与系数的关系可得，整体代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 17. 如图，点A、B在格点上，若，则AC的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质及判定．根据题意可知过点作，，即，后利用相似性质列式即可得到本题答案． 【详解】解：如下图，过点作，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 18. 如图，，，，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是利用平行线得到相似三角形或线段比例关系，结合已知比例进行转化计算． 利用平行线的性质得到，再根据相似三角形的性质及线段比例关系求出的值，再利用平行线的性质得到，根据相似三角形的性质及线段比例关系求出的值． 【详解】 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为。 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）由完全平方公式进行化简，然后由二次根式的加减混合运算进行计算，即可得到答案； （2）由二次根式的性质进行化简，然后由二次根式的混合运算进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解： = =7； 【小问2详解】 解： = = =； 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 20. （1）解方程∶； （2）配方法解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式直接计算； （2）先将二次项系数化为1，然后通过配方将方程转化为完全平方形式求解． 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 解得：，． 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 【答案】（1） 证明： 所以此方程总有实根． （2）三角形另外两边长为2，2 【解析】 【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证． （2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若，则此方程有两个相等实根 此时，则， 原方程为：，， ∴另外两边长为2和2， ②若，则是方程的根， ∴， ∴， 原方程为， 解得：，， 而1、1、2为边不能构成三角形． 所以，三角形另外两边长为2，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 22. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． （1）求的长； （2）若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论． （2）由，推出，可得结论． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键． 23. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 24. 某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元.经调查发现，若该款饮料的批发价每降低0.1元，则每天可多售出100瓶.为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价元． （1）当为多少时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元？ （2）该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达到600元吗？若能，请求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）x为0.2或0.5时,该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400 （2）该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到600元，理由： 依题意可得方程(1-x)(300+×100）=600 整理,得10-7x+3=0，△=(-7)2-4×10×3=-71<0，原方程无解, 即该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到600元． 【解析】 【分析】（1）降价后的利润等于原来的利润-降价即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量，根据总利润等于销售量乘以每件的利润即列出方程解出即可； （2）利用总利润等于600可得到方程求解判断． 【小问1详解】 解：根据题意,可得方程(1-x)(300+×100)=400， 整理,得10-7x+1=0 解得x1=0.2,x2=0.5, 即x为0.2或0.5时,该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查一元二次方程，根据题目关系式列出一元二次方程是解题的关键． 25. 如图所示，在等腰中，．点D由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为t（s）（），解答下列问题： （1）当t为何值时，； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得与相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在时间t为或时，使得与相似 【解析】 【分析】（1）如图，过点A作于点H，只要证得，利用相似三角形的性质即可求解； （2）分两种情况：①当时；②当时，分别利用相似三角形的性质代入数值即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点H， 在等腰中，，则． 在直角中，由勾股定理得到：． ∵， ∴． ∴． ∴，即． 解得； 【小问2详解】 解：存在．理由如下： ∵运动时间为t（s）（）， ∴， ∴， ①当时， ∴，即， 解得t， ②当时， ，即， 解得t． 答：存在时间t为或时，使得与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键． 26. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当时，求的值； （2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG． 【答案】（1）=； （2）∵AD∥CB，点E是BC的中点， ∴△EFC∽△DFA． ∴CF：AF=EC：AD=1：2， ∵FG⊥BC， ∴FG//AB， ∴CG：BG=CF：AF=1：2， ∴CG=BG． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得=，进而即可得到结论； （2）由AD∥CB，点E是BC的中点，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，进而即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴=． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴=， ∴==， ∴==； （2）略 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理以及平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中测试题 时量∶120分钟 满分∶120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式为（　　） A. B. C. D. 3. 方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，AF与BE相交于点，且，，，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（ ） A. 6 B. 3 C. 1.5 D. 1 8. 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，数学兴趣小组利用标杆测量学校古树的高度，标杆高，测得，，则古树的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、填空题：本题共8 小题，每小题3分，共24分． 11. 比较大小： __________填“”“”或“” 12. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为___． 15. 若菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为_____． 16. 设是方程的两个实数根，则的值为__________． 17. 如图，点A、B在格点上，若，则AC的长为________． 18. 如图，，，，则的值为________________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 20. （1）解方程∶； （2）配方法解方程：． 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 22. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． （1）求的长； （2）若，在上述条件和结论下，求的长． 23. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 24. 某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元.经调查发现，若该款饮料的批发价每降低0.1元，则每天可多售出100瓶.为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价元． （1）当为多少时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元？ （2）该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达到600元吗？若能，请求出的值，若不能，请说明理由． 25. 如图所示，在等腰中，．点D由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为t（s）（），解答下列问题： （1）当t为何值时，； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得与相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当时，求的值； （2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $