精品解析：陕西省咸阳市三原县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

试卷类型：A 三原县2025~2026学年度第一学期期中综合素质调研测试 九年级数学试题 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间90分钟. 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、 班级和考号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. B. 6 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．利用一元二次方程根的定义，将代入方程，得，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 即代数式的值为． 故选：D 2. 下列各组图形中，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，回顾一下，相似图形的定义；如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似； 结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：选项A、B、D中图形是相似图形，选项C中两个图形形状不相同，  故选：C． 3. 一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在，估计盒子中花色为红桃的扑克牌有（　　） A. 12张 B. 9张 C. 6张 D. 3张 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率求数量，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率，红桃出现的频率稳定在，即概率约为，再根据概率公式计算红桃牌的数量． 【详解】解：∵摸到红桃的频率稳定在， ∴（红桃）． ∵总牌数为20张， 设红桃牌有x张， ∴（红桃）． ∴， ∴． 故估计红桃牌有6张． 故选：C． 4. 如图，在四边形中，点、分别在边、上，连接，．若，，则的长为（　　） A. 16 B. 18 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据可得，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，是四边形的对角线，，点为的中点，连接、、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，进而可求出的度数． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ∵， ， 故选C． 6. 对于任意实数定义运算：，例如：，则方程的根为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的新定义和解一元二次方程．根据定义的运算规则，将方程转化为一元二次方程，然后通过因式分解求解． 【详解】解：∵定义运算为， ∴， 即， 两边乘以，得， 因式分解，得， ∴或． 因此，方程的根为，， 故选：A． 7. 如图，在菱形中，延长至点，使得，连接交边于点．若，则菱形的周长为（　　） A. 30 B. 24 C. 20 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识是关键；由菱形的性质可证明，则得的长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：在菱形中，，； ， ， ； ， ， ， ， 则菱形的周长为； 故选：B． 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，过点C作轴于H，根据题意可得，由正方形的性质得到，，则由勾股定理可得，证明，得到，则，据此可得． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于H， ∵点的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题、每小题3分．计18分） 9. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，先根据比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d的值． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， 解得． 故答案为：9． 10. 如图，四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质． 根据线段比等于相似比作答即可． 【详解】解：∵四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，因受益于支持政策，某村大学生自主创立的公司利润逐年提高．据统计，该公司2023年的利润为100万元，2025年的利润为144万元，设该公司从2023年到2025年利润的年平均增长率为，则根据题意列方程为___________． 【答案】（形式不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 根据年平均增长率的定义，利润逐年增长，2025年利润是2023年利润的倍． 【详解】解：设年平均增长率为x， 则2024年利润为万元，2025年利润为万元． 根据题意，2025年利润为144万元， 因此列方程得． 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且，点在边上，连接、，若，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形基本性质以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键； 根据正方形对角线得到，再通过等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再通过等角对等边即可求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 现有四张外观、形状、大小完全相同的卡片，卡片的正面分别写有数字、0、2、3，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记下数字，得到的数字分别记为、，则数字、的积为负数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出a、b积为负数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：依题意，卡片的正面分别写有数字、0、2、3，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记下数字，得到的数字分别记为、， 列表如下： 积 0 2 3 1 0 0 0 0 0 0 2 0 4 6 3 0 6 9 ∴一共有16种等可能的情况，其中a、b积为负数的有4种情况， ∴a、b积为负数的概率为． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明． 连接，过点作于．证明，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题（共10小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：． 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．熟练掌握根的判别式的应用是解决此题的关键， 根据方程有两个不相等的实数根得到，进而求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为． 17. 如图，在中，，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不与作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的判定． 以点为圆心，作的垂线交于点即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点F，交的延长线于点E．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ． ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】略 19. 在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽、现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找一名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字不同外其余完全相同的4个小球放入不透明的盒子中，摇匀后，小智先从中随机摸出一球，不放回，小慧再从剩下的3个小球中随机摸出一球，最后根据各自摸出的小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）小智摸中写有陈景润名字的小球的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先列出表格，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中摸中写有陈景润名字的小球的结果有种， （摸中写有陈景润名字的小球的概率）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将写有赵爽、刘徽、陈景润、陈省身的小球分别记为、、、， 根据题意列表如下： 小慧 小智 由表可知：共有12种等可能的结果，其中两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有8种， （两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家）． 20. 文峰木塔位于陕西省三原县境内，是西北地区唯一一座木质古塔．小张想用课堂上学到的知识，来测量文峰木塔的高度（底部不可到达）．如图，小张在点处竖立一根高为1.6米的标杆（即米），此时，地面上的点、标杆的顶端、木塔的顶端在一条直线上；随后，他在地面上的点处放置一个测角仪（测角仪的高度忽略不计），测得的度数为，经过测量得知：米，米．已知点在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小张求出文峰木塔的高度（结果保留一位小数） 【答案】文峰木塔的高度约为20.8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识． 证明得，即①，由由勾股定理得，进而求出②，联立①②可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ，即①， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ②， 联立①②得：， 解得， 文峰木塔的高度约为20.8米． 21. 如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边于点，连接． （1）四边形是菱形吗？请说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， 即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理． （1）根据矩形的性质证明，得到四边形为平行四边形，根据即可证明四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据矩形的性质得到，，在中，，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， 即， ． 22. 如图，在中，，点在边上，且，连接，点在线段上，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理. （1）证明，得到，由中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）的结论求出，再利用勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 23. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分．某体育用品商店为满足学生需求，购人一批篮球进行销售． （1）为吸引顾客，该体育用品商店的工作人员准备制作一个矩形展牌．若该展牌的面积为，且长比宽多，求该展牌的长： （2）已知篮球的进价为50元/个（不计其他成本），当它的售价为80元/个时，每月可售出100个．经过市场调研发现，每个篮球的售价每上涨1元，月销售量将减少5个．若该体育用品商店某月涨价销售篮球，并盈利了2000元，求该体育用品商店该月篮球的售价． 【答案】（1）该展牌的长为 （2）该体育用品商店该月篮球的售价为90元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该展牌的长为，根据题意列方程求解即可； （2）设该体育用品商店该月篮球的售价为元/个，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该展牌的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 该展牌的长为； 【小问2详解】 解：设该体育用品商店该月篮球的售价为元/个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 该体育用品商店该月篮球的售价为90元/个． 24. 【问题探究】 （1）在正方形中，点、分别在边、上，连接、． ①如图1，若，求证：； ②如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接AC，若，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场中，处为入口，在广场内设置两条观光路线、（点M、N分别在边、上），在、处分别建造花坛和喷泉，对角线是一条石板步道，、分别交于点、，过点作交于点，在点和点处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使的度数为，请你帮助工程师探究和之间的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． （1）①先证明，推导出，证明，则，即可解答； ②推导出，则同理得：，得到，即可解答； （2）连接，过点作于点，先证明，推导出，得到，求出，得到，继而证明是等腰直角三角形，且，可推导出四边形是矩形，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：①四边形是正方形， ， ， ∴ ． ②， ， 四边形是正方形， ， ， ， 同理得：， ． （2）解：，理由如下： 如图3，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 三原县2025~2026学年度第一学期期中综合素质调研测试 九年级数学试题 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间90分钟. 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、 班级和考号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. B. 6 C. D. 3 2. 下列各组图形中，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在，估计盒子中花色为红桃的扑克牌有（　　） A. 12张 B. 9张 C. 6张 D. 3张 4. 如图，在四边形中，点、分别在边、上，连接，．若，，则的长为（　　） A. 16 B. 18 C. 6 D. 12 5. 如图，是四边形的对角线，，点为的中点，连接、、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 对于任意实数定义运算：，例如：，则方程的根为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，延长至点，使得，连接交边于点．若，则菱形的周长为（　　） A. 30 B. 24 C. 20 D. 12 8. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题、每小题3分．计18分） 9. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是_______． 10. 如图，四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若，则的长为___________． 11. 国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，因受益于支持政策，某村大学生自主创立的公司利润逐年提高．据统计，该公司2023年的利润为100万元，2025年的利润为144万元，设该公司从2023年到2025年利润的年平均增长率为，则根据题意列方程为___________． 12. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且，点在边上，连接、，若，则的长为___________． 13. 现有四张外观、形状、大小完全相同的卡片，卡片的正面分别写有数字、0、2、3，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张记下数字，得到的数字分别记为、，则数字、的积为负数的概率为___________． 14. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为_____． 三、解答题（共10小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 17. 如图，在中，，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不与作法，保留作图痕迹） 18. 如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点F，交的延长线于点E．求证：． 19. 在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽、现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找一名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字不同外其余完全相同的4个小球放入不透明的盒子中，摇匀后，小智先从中随机摸出一球，不放回，小慧再从剩下的3个小球中随机摸出一球，最后根据各自摸出的小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）小智摸中写有陈景润名字的小球的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 20. 文峰木塔位于陕西省三原县境内，是西北地区唯一一座木质古塔．小张想用课堂上学到的知识，来测量文峰木塔的高度（底部不可到达）．如图，小张在点处竖立一根高为1.6米的标杆（即米），此时，地面上的点、标杆的顶端、木塔的顶端在一条直线上；随后，他在地面上的点处放置一个测角仪（测角仪的高度忽略不计），测得的度数为，经过测量得知：米，米．已知点在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小张求出文峰木塔的高度（结果保留一位小数） 21. 如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边于点，连接． （1）四边形是菱形吗？请说明理由； （2）若，求的长． 22. 如图，在中，，点在边上，且，连接，点在线段上，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分．某体育用品商店为满足学生需求，购人一批篮球进行销售． （1）为吸引顾客，该体育用品商店的工作人员准备制作一个矩形展牌．若该展牌的面积为，且长比宽多，求该展牌的长： （2）已知篮球的进价为50元/个（不计其他成本），当它的售价为80元/个时，每月可售出100个．经过市场调研发现，每个篮球的售价每上涨1元，月销售量将减少5个．若该体育用品商店某月涨价销售篮球，并盈利了2000元，求该体育用品商店该月篮球的售价． 24. 【问题探究】 （1）在正方形中，点、分别在边、上，连接、． ①如图1，若，求证：； ②如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接AC，若，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场中，处为入口，在广场内设置两条观光路线、（点M、N分别在边、上），在、处分别建造花坛和喷泉，对角线是一条石板步道，、分别交于点、，过点作交于点，在点和点处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使的度数为，请你帮助工程师探究和之间的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $