精品解析：四川省广元市旺苍县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋旺苍县九年级期中考试 数学试卷 测试时间：120分钟 试卷总分∶150分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 3. 二次函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 4. 下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　） A. 它的图象经过点（﹣1，﹣2） B. 当x＜0时，y随x的增大而减小 C. 它的图象的对称轴是直线x＝2 D. 当x＝0时，y有最大值为0 5. 设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9．93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设AB长为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（   ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的最大整数值__． 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 13. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 14. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 15. 当______时，函数是二次函数，图象的对称轴是_______，顶点是____，当时，有最小值_____． 16. 如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 三、解答题（96分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 18. 已知：关于关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根是另一根的2倍，求k的值． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点A按顺时针方向旋转后的图形； （3）在格点上找点D，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点D的坐标为______． 20. 设，是关于的方程（）的两个根，且满足，求的值． 21. 小悦想出一块面积为的正方形纸片．沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片使它的长宽之比为，小悦能用这块纸片裁出的符合要求的纸片吗?说明理由． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． （3）平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 23. 若m是一元二次方程的一个实数根． （1）求a的值； （2）不解方程，求代数式的值． 24. 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 25. 如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点． （1）求a，k的值； （2）求点B的坐标； （3）求S△AOB． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值； （3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋旺苍县九年级期中考试 数学试卷 测试时间：120分钟 试卷总分∶150分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m＜， 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 3. 二次函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据函数解析式可知二次函数的图象开口方向向下，顶点在y轴的负半轴，从而判断出函数的大致图像． 【详解】解：， ， 当时，， 二次函数的图象开口方向向下，顶点在y轴的负半轴， 故选：C． 4. 下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　） A. 它的图象经过点（﹣1，﹣2） B. 当x＜0时，y随x的增大而减小 C. 它的图象的对称轴是直线x＝2 D. 当x＝0时，y有最大值为0 【答案】B 【解析】 【分析】 是一条开口向上的抛物线，对称轴为轴即直线，在对称轴处取最小值为，在对称轴左侧随的增大而减小． 【详解】A将代入求得，表述错误，故不符合题意； B根据函数的性质，当时，随的增大而减小，表述正确，故符合题意； C图像的对称轴是直线，表述错误，故不符合题意； D当时，取最小值，表述错误，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．解题的关键在于对二次函数知识的全面掌握． 5. 设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得对称轴为y轴，则（-1，y1）关于y轴的对称点为（1，y1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】∵抛物线y＝﹣x2+a ∴对称轴为y轴 ∴（﹣1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1） ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＞0时，y随x的增大而减小 ∵1＜2＜3 ∴y1＞y2＞y3 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键. 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 7. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9．93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设11，12月份的平均增长率为x，利用2022年第四季度的“冰墩墩”总销售额=2022年10月的销量+11月的销量+12月的销量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设11，12月份的平均增长率为x， 根据题意，得， 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于的一元二次方程有实数根可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及有实数根的条件，熟练掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件，是解题的关键． 9. 如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设AB长为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米=（22-3x）米， 依题意，得：x（22-3x）=40， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（   ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解； ①根据根的定义，验证时的值；②利用判别式，从的根的情况推导的判别式；③将c代入方程，讨论是否恒成立． 【详解】解：① ∵ 当时，，而对应，故①错误． ② ∵有两个不等实根，∴ 判别式． 对于，判别式（∵）， 故有两个不等实根，②正确． ③ ∵ c是根，∴，即． 当时，；当时，不一定为0， 故③不一定正确． 综上，只有②正确， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的最大整数值__． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有实数根，则a≠0，且△≥0，即△＝（﹣1）2﹣4a＝1﹣4a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴a≠0，且△≥0，即△＝（﹣1）2﹣4a＝1﹣4a≥0，，解得a≤ ∴a的取值范围为a≤且a≠0， 所以a的最大整数值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△＝b2−4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解． 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到，整理得，等式两边都除以m即可得到答案． 【详解】由方程有两个相等的实数根可得， 整理得. ， ， 故答案为：1． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键. 14. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：（舍去）． 则该群一共有10人 故答案为：10． 15. 当______时，函数是二次函数，图象的对称轴是_______，顶点是____，当时，有最小值_____． 【答案】 ①. 3 ②. ③. ④. 3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义和其图象的性质，二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量的最高次数为2． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，且二次项系数不为零，求解的值；然后根据二次函数的性质求对称轴、顶点和最值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 解方程得： 或 ，解不等式得：， ∴． 此时函数为 ， ∴对称轴为 ，顶点坐标为 ， 当 时，函数有最小值，最小值为． 故答案为：3，， ，3． 16. 如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 三、解答题（96分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． （1）可通过移项后直接开平方求解； （2）使用求根公式求解，需计算判别式； （3）移项，提公因式分解因式，化成两个一元一次方程解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 即 ． 【小问2详解】 解：∵，其中 ， ∴ 判别式 ， ∴ ， 即． 【小问3详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ，， ∴． 18. 已知：关于关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根是另一根的2倍，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）k的值0或3 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据2倍关系，分类讨论列方程解之即可． 【小问1详解】 证明：在方程中， ∵ ∴程总有两个实数根 【小问2详解】 解：∵， ∴，． ∵方程的一根是另一根的2倍， ∴或． 解得或． ∴k的值0或3． 【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点A按顺时针方向旋转后的图形； （3）在格点上找点D，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点D的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握旋转变换的性质，正确作出图形． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点； （3）根据平行四边形的判定画出图形可得结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如上图，即为所求； 【小问3详解】 解：图形如图所示，则满足条件的点D的坐标或或． 故答案为：或或． 20. 设，是关于的方程（）的两个根，且满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系关系及应用，关键是已知等式的变形； 根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入已知等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴对于任意实数，方程都有两个实数根， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴解得：． 21. 小悦想出一块面积为的正方形纸片．沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片使它的长宽之比为，小悦能用这块纸片裁出的符合要求的纸片吗?说明理由． 【答案】不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， 设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意，得， 解得或（负数舍去）， ， 因此，长方形纸片的长为cm． 因为， 所以小悦不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【解析】 【分析】先设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积公式有，解得，易求长方形纸片的长是，再去比较与正方形的边长大小即可． 【详解】略 【点睛】此题考查平方根的应用，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． （3）平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 【答案】（1），； （2）每件童装降价元，平均每天盈利元； （3）平均每天销售利润不能达到元， 依题意，可列方程： ， 化简，得 ， ． 方程无实数根． 故平均每天销售利润不能达到元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． （1）根据销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可； （2）根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得； （3）根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解． 【小问1详解】 解：设每件童装降价x元时， 每天可销售件， 每件盈利：（元）； 【小问2详解】 解：根据题意，得：． 解得：，， ∵扩大销售量，增加利润， ， 答：每件童装降价元，平均每天盈利元； 【小问3详解】 略 23. 若m是一元二次方程的一个实数根． （1）求a的值； （2）不解方程，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，即可求解； （2）利用方程的解得到，推出和，再整体代入原式即可求解． 【详解】（1）由于是关于的一元二次方程， 所以， 解得； （2）由（1）知，该方程为， 把代入，得， 所以，① 由，得， 所以，② 把①和②代入， 得， 即． 【点睛】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得和是解题的关键． 24. 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了12个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病． 【解析】 【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论． 【详解】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意，得：1+x+x（1+x）＝169， 解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了12个人． （2）169×（1+12）＝2197（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点． （1）求a，k的值； （2）求点B的坐标； （3）求S△AOB． 【答案】（1）a＝﹣1，k＝﹣1 （2）（2，﹣4） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标； （3）设直线y＝﹣x﹣2与y轴的交点为G，则G（0，﹣2），利用S△AOB＝S△AOG+S△BOG求得△AOB的面积． 【小问1详解】 解：∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1， ∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1； 【小问2详解】 解 得或， ∴B的坐标为（2，﹣4）； 【小问3详解】 设直线y＝﹣x﹣2与y轴的交点为G，则G（0，﹣2）， ∴S△AOB＝S△AOG+S△BOG＝+＝3． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数交点问题，求三角形面积，数形结合是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值； （3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标． 【答案】（1） （2）周长的最小值为 （3）N的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，连接、、，由对称的性质可知当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度，再证明为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可； （3）连接BM，表示出，可证，再求出直线BC的解析式为，直线AM的解析式为，可得M的坐标，设N的坐标为，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，则得，，，根据等腰三角形的性质，分类讨论①时，②时，③时，分别计算即可． 【小问1详解】 ∵，在上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点， 连接、、， 由对称的性质可知，， 的周长为， ∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度． 令，则，解得，． ∴B的坐标为， ∴，为等腰直角三角形． ∵BC垂直平分，且D的坐标为， ∴． 又∵D、关于x轴对称， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【小问3详解】 ∵M到x轴的距离为d，，连接BM， ∴． 又∵， ∴， ∴B、N到AM的距离相等． 又∵B、N在AM的同侧， ∴． 设直线BC的解析式为，则， ∴ ∴直线BC的解析式为， ∴设直线AM的解析式为． ∵， ∴设直线AM的解析式为， ，解得，， ∴M的坐标． ∵点N在射线BC上， ∴设N的坐标为． ∵，，， 过点M作x轴的平行线l， 过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q， 则易得，，， ∵为等腰三角形 ①时，， 解得，． ②时，， 解得，． ③时，，解得． ∵N在第一象限， ∴， ∴t的取值为，，， ∴N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，待定系数法求二次函数解析式，对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $