精品解析：四川省广元市旺苍县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

四川省旺苍县2024年秋季半期检测 九年级数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 方程（2x+3）（x﹣1）=1的解的情况是（   ） A. 有两个不相等的实数根  B. 没有实数根  C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 3. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数不属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于的一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为______． 12. 如果，则代数式的值为_______． 13. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是______m． 14. 二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x<时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是_____． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是______（把你认为正确的结论序号都填上）． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 三、解答题（10道题，共96分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 19. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 20. “国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价（元/张）之间满足一次函数关系： ，是整数，影院每天运营成本为1600元，设影院每天的利润为w（元）（利润=票房收入运营成本）． （1）试求w与之间的函数关系式； （2）影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 21. 我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题： ①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？ ②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？ ③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由． 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形花草园，其中一边靠墙，另外三边周长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个花草园垂直于墙的一边长为米． 若花草园的面积为平方米，求； 若平行于墙的一边长不小于米，这个花草园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； 当这个花草园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围． 23. 如图，在中，，，．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线，方向以的速度匀速运动． （1）几秒后的面积是面积的一半？ （2）连结，几秒后是等腰三角形？ 24. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0)． (1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是 ； (2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解集是 ； (3)若抛物线的顶点在直线y＝2x上，求此抛物线的解析式． 25. 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 26. 已知，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点D为的中点，将线段绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标； （3）如图2，若点D为直线或直线上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省旺苍县2024年秋季半期检测 九年级数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 2. 方程（2x+3）（x﹣1）=1的解的情况是（   ） A. 有两个不相等的实数根  B. 没有实数根  C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：将方程左边展开，化为一元二次方程的一般形式，求出根的判别式做出判断．方程（2x+3）（x﹣1）=1可化为2x2+x﹣4=0，∵△=1﹣4×2×（﹣4）=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 【考点】根的判别式． 3. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意两根之和为，两根之积为，利用根与系数的关系写出方程即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴这个方程是； 故选：B． 4. 下列函数不属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的识别，把函数式整理成一般形式，根据二次函数的定义：一般地，把形如（，是常数）的函数叫做二次函数，即可判断求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是二次函数，该选项不合题意； 、，是二次函数，该选项不合题意； 、，不是二次函数，该选项符合题意； 、是二次函数，该选项不合题意； 故选：． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 6. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每月增长率是x，则二月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长率是x， 由题意得，． 故选B． 7. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根，可得，由此可得出m的取值范围． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为， 关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根， ， 解得， 解得， 解得， 解④得，当时，恒成立， m的取值范围是， 故选：D． 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确； ∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0， ∴a+2a+c=0，所以③错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于的一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如果，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】把代数式变形整理成的形式，再运用整体代入法求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，对前两项提取公因式是解题的关键，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 13. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 14. 二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x<时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是_____． 【答案】0＜m≤3． 【解析】 【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案． 【详解】∵当x时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线开口向上，m＞0，且对称轴≥，解得：m≤3． 故答案为0＜m≤3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且≥是解题的关键． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是______（把你认为正确的结论序号都填上）． 【答案】②③． 【解析】 【详解】试题分析：由x=1时，y=a+b+C＞0，即可判定①错误；由x=-1时，y=a-b+c＜0，即可判定②正确；由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，又对称轴为x=-＜1，得到2a+b＜0，由此可以判定③正确；由对称轴为x=-＞0即可判定④错误． 试题解析：①当x=1时，y=a+b+C＞0，∴①错误； ②当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴②正确； ③由抛物线的开口向下知a＜0， 与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∵对称轴为x=-＜1， ∴-b＞2a， ∴2a+b＜0， ∴③正确； ④对称轴为x=-＞0， ∴a、b异号，即b＞0， ∴abc＜0， ∴④错误． ∴正确结论的序号为②③． 考点：二次函数图象与系数的关系． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 三、解答题（10道题，共96分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，． 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】（1） （2）会超过 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． 【小问2详解】 解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 19. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】（1）答案见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）应用根的判别式直接判断就可以. （2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长 【详解】（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 ， ∵ ∴ 即 ∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根 ∴根据韦达定理可知 ∴， 解得. 当时， 周长 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 20. “国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价（元/张）之间满足一次函数关系： ，是整数，影院每天运营成本为1600元，设影院每天的利润为w（元）（利润=票房收入运营成本）． （1）试求w与之间的函数关系式； （2）影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）32元，最大利润是2624元． 【解析】 【分析】（1）根据“利润＝票房收入－运营成本”可得函数解析式； （2）将函数解析式配方成顶点式，由30≤x≤60，且x是整数结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解:（1）由题意：， 得w与之间的函数关系式为： . （2）， . 是整数, , 当或33时，w取得最大值，最大值为2624. 价格低更能吸引顾客，定价32更好. 答：影城将电影票售价定为32元/张时，每天获利最大，最大利润是2624元． 【点睛】本题是二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质． 21. 我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题： ①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？ ②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？ ③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）y=﹣2x2+20x+400； （2）①450元； ②降价10元时； ③该专卖店不可能平均每天盈利600元． 当时， 整理得 ∵ ∴方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600元． 【解析】 【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，总利润=每件利润×销售数量，列函数关系式即可； （2）①把代入中的函数关系式即可求出平均每天的盈利. ②令，解方程即可. ③令，判断方程有无实数根即可得． 【小问1详解】 （1）根据题意得， 与的函数关系式为 【小问2详解】 ①当时， 故平均每天盈利450元； ②当时， 解得:（不合题意舍去）． 故当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元； ③略 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形花草园，其中一边靠墙，另外三边周长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个花草园垂直于墙的一边长为米． 若花草园的面积为平方米，求； 若平行于墙的一边长不小于米，这个花草园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； 当这个花草园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)x=10;(2) 当时，;(3) 【解析】 【分析】（1）根据题意得方程求解即可； （2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意得不等式，即可得到结论． 【详解】根据题意知平行于墙的一边的长为米， 则有：， 解得：或， ∵， ∴， 故； 设苗圃园的面积为， ∴， ∵， ∴苗圃园的面积有最大值， ∵， 解得：， ∴， ∴当时，即平行于墙的一边长米，平方米； 当时，； 由题意得， 解得： ， 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 23. 如图，在中，，，．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线，方向以的速度匀速运动． （1）几秒后的面积是面积的一半？ （2）连结，几秒后是等腰三角形？ 【答案】（1）2秒或12秒时的面积等于的面积的一半． （2）、12或时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，恰当分类并列出一元二次方程是解题的关键． （1）设P、Q同时出发，x秒钟后，当时，当时，当时，由此等量关系列出方程求出符合题意的值； （2）分别根据①当时，②当时，③当时，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）设运动x秒后，的面积等于的面积的一半， 当时， ， 即：， ， ， （舍去）； 当时， ， ， ， ∴此方程无实数根， 当时， ， 即：， ， ， ，（舍去）， 所以，当2秒或12秒时使得的面积等于的面积的一半． （2）设t秒后是等腰三角形， ①当时，， 解得： ； ②当时，， 解得：； ③当时，， 解得：． 所以：当、12或时，是等腰三角形． 24. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0)． (1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是 ； (2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解集是 ； (3)若抛物线的顶点在直线y＝2x上，求此抛物线的解析式． 【答案】(1)－1，3；(2)－1＜x＜3；(3) 二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式，求出对称轴，根据点A、B关于对称轴对称，求出点B的坐标即可； （2）根据抛物线的开口方向，与x轴的交点，即可判定不等式的解集； （3）根据抛物线经过点A，将其代入，用含a的式子表示出c，求出抛物线的顶点坐标，将其代入直线解析式，即可求出a的值，进而求出c的值即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，抛物线的对称轴是：直线x=． ∵点A（﹣1，0），∴点B的坐标为（3，0）， ∴一元二次方程的解为：﹣1，3； 故答案为﹣1，3； （2）∵二次函数与y轴正半轴交于点C， ∴抛物线的开口向下， ∴当ax2﹣2ax+c＞0时，不等式的解集为：﹣1＜x＜3； 故答案为﹣1＜x＜3； （3）∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a+2a+c=0，即：c=﹣3a， ∴﹣=﹣3a﹣a=﹣4a． ∵抛物线的顶点坐标（1，﹣4a）在直线y=2x上， ∴﹣4a=2×1，解得：a=﹣，∴c=﹣3a=3×=， ∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点，及二次函数与不等式的关系，在第（3）小题中，用含a的式子表示c是解答此题的关键． 25. 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2 顶点D的坐标为 (, -). （2）△ABC是直角三角形，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标； （2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形； （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小． 【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上 ∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0 解得b = ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, ∴顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2． 当y = 0时，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4 ∴B (4,0) ∴OA =1, OB = 4, AB = 5. ∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形. （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴，∴m=． 解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n , 则，解得n = 2，. ∴. ∴当y = 0时，， ∴. 26. 已知，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点D为的中点，将线段绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标； （3）如图2，若点D为直线或直线上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）点F的坐标分别为：， ，，. 【解析】 【分析】（1）将和B（2，0）两点代入解析式，求出a、b的值，即可求得抛物线的解析式； （2）设点G的坐标为，过点D作对称轴于点H，因点D是的中点，可得点D的坐标为，，由折叠的性质可得，根据勾股定理可得 ，解得y的值，即可得点G的坐标； （3）分当为对角线和为菱形的边时两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得 , 解得, ∴； 【小问2详解】 解：设点G的坐标为 过点D作对称轴于点H ∵点D是的中点 ∴点D的坐标为， 由折叠得，, ∴ ∴ ∴点G的坐标为或 【小问3详解】 解：①当为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与的交点，F为点D关于x轴的对称点 设 ∵C，A ∴ ∴ ∴ ∴当时， ∴ ∴ ②当为菱形的边时，有, 当点D在直线上时 同理可得： 设，则点 ∵四边形是菱形 ∴， 根据勾股定理得， 解得：， ∴或 当点D在直线上时 设，则点 ∵四边形是菱形 ∴， 根据勾股定理得， 解得：(舍去)， ∴ 综上所述，点F的坐标分别为：， ，，. 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定,勾股定理,菱形的判定和性质等,需注意的是题在不确定菱形边和对角线的情况下需要分类讨论,以免漏解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $