微专题 导数与单调性（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

微专题 导数与单调性 题型一 求不含参函数的单调区间 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由(或),解出相应的x的范围， 当时,在相应的区间上是增函数;当时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 1．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 2．函数，的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由题设时，，则在上单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 3．函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】由，，则， 所以，则时，，时，， 所以时，，时，， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 4．函数的单调减区间为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 又，令，则，解得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 5．已知函数，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】 【详解】（1）由，解得； （2）由（Ⅰ）得， 则， 令，解得，又， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 6．求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，，，，没有增区间． 【详解】要使函数有意义，则且           所以函数的定义域为， 对函数进行求导： ， 所以在定义域上恒成立, 所以的单调减区间为，，，， 无单调增区间. 题型二 原函数图象与导函数图象间的关系 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 7．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的单调性可知，，而，； 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以； 故选：D． 8．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 9．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可得，在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 而与两点连线的斜率介于二者之间， 结合导函数定义可得. 故选：D. 10．已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 11．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 12．设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象知，，的图象为增函数，则， 故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误. 故选：A 13．（多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 【答案】BD 【详解】对于AB，因为时单调递增，时单调递减， 所以由图可知曲线M为函数的图象，曲线N为函数的图象， 故A错误，B正确； 对于CD，由图可知当时，时， 因为，所以当时，时， 所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故C错误，D正确. 故选：BD 14．已知函数及其导函数的定义域均为，若导函数的图象过点，，如图，则函数的单调递增区间为 【答案】和 【详解】由图可知，当和时，，在和单调递增. 故答案为：和. 题型三 已知函数的单调区间求参数的范围 15．若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 因为函数在区间上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，则，解得. 故选：B 17．已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在R上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：D． 18．已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 【答案】1 【详解】函数， 则， 若的单调减区间为， 则的解集为， 所以，则，检验符合， 故答案为：1. 19．已知函数的减区间为，则 . 【答案】3 【详解】由题意可得，，解集为，则. 故答案为：3 题型四 已知函数在区间上单调求参数 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 20．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 21．“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由函数在区间上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 因为，所以，则. 所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 22．若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 23．已知：，：函数在区间上不单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可化为， 得， 函数，则， 要使函数在区间上不单调，则有，解得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B． 24．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，求导得：， 区间内存在单调递增区间，也就是在内有解，整理得在内有解， 令，其对称轴为，在区间内， 计算端点值：， 所以在上的最大值为， 因为在内有解，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 25．已知函数在上单调递增，则实数a的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递增，得，恒成立， 而当时，，即，因此， 所以实数a的最小值为. 故选：C 26．函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． 题型五 比较大小 27．已知函数，则的大小关系为(参考数据∶) （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，由， 所以. 故选：A 28．已知函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以在上单调递增， 所以， 故选：D 29．已知，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ，； ，，，. 故选：A. 30．已知函数， 则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为R，求导得， 因此函数在R上单调递减，而，则有， 所以的大小关系是，A正确. 故选：A 31．已知函数，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由且，即为偶函数， ∴当时，，则，即单调递增， ∴，而，故. 故选：C. 题型六 解抽象不等式 32．函数及其导函数的定义域均为，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，因为，所以， 所以在上单调递增，因为， 所以，即，等价于，故． 故选：D. 33．已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 由于是定义在区间上的奇函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为， 故选：C. 34．已知三次函数的图象如图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（    ）    A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】有图可知，所以即解， 当时得，函数是单调递增函数，故满足条件的为， 当时，，函数是单调递减函数，故满足条件的为. 所以综合可得的解集为或. 故选：D. 【点睛】方法点睛：导函数大于零则原函数递增，导函数小于零则原函数递减，本题考查导函数与原函数的关系. 35．已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增， 因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点， 由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：     或， 故选：D. 36．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，同号． 由图得当时，单调递增，；当，时，单调递减，． 故当时，，，； 当时，，，． 综上，的解集为． 故选：D. 37．在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】由的图象可得的解为或， 的解为. 而即为或， 故或， 故答案为：或 38．已知函数是R 上的偶函数，且在上有，若，那么关于x的不等式 的解集是 ． 【答案】. 【详解】函数在上有，所以函数在上是增函数，又因为函数是偶函数，所以函数在是减函数，由，可得. 由，可得且，或且， 当且时，由可得，由函数的单调性可得，因此有； 当且时，由可得，由函数的单调性可得，因此有，综上所述：的解集为：. 【点睛】本题考查了偶函数的单调性，考查了利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论求解不等式解集问题. 题型七 构造函数问题 39．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为， 所以，所以单调递增， 又，所以的解集为， 即的解集为， 故选：D. 40．已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 41．已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则有，所以在上单调递减， 所以，， 所以由有，且，即， 由在上单调递减，所以，即，故. 故选：B. 42．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则. 令得，所以函数在区间单调递减. 因为，所以， 即，所以． 故选：C 43．已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 44．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，易得在上单调递增， ∴，即，∴. 故选：B. 题型八 求含参函数的单调区间 讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0; 第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 45．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，． ，即切点为． ，则． 所以切线方程为，即． （2）． ①当时，，所以在单调递增． ②当时，由可得，由可得． 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递增；当时， 在单调递减，在单调递增． 46．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 47．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 48．已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，，， 所以在上单调递减，又， 则当时，；当时，， 故的解集为． （2），（） 设，（）的对称轴，， 当，有，则，在单调递减． 当，则有两个不等正根，， 所以、上，上， 在、上单调递减，在上单调递增； 当，则有一个正根，即上，上， 在上单调递增，在上单调递减． 综上： 当，的单调减区间为，无单调递增区间； 当，的单调减区间为、，单调递增区间为； 当，的单调递增区间为，单调减区间为． 49．已知． (1)讨论的单调性； (2)若，且函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，恒成立， 当且仅当时等号成立，所以在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （2）若，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，且， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大， 因为函数有三个零点，则方程有三个根， 所以函数与直线有三个交点， 又，由图可知：，即的取值范围为. 50．已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 九、 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 导数与单调性 题型一 求不含参函数的单调区间 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由(或),解出相应的x的范围， 当时,在相应的区间上是增函数;当时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 1．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数，的单调递增区间为 ． 3．函数，的单调递减区间为 ． 4．函数的单调减区间为 ． 5．已知函数，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 6．求函数的单调区间． 题型二 原函数图象与导函数图象间的关系 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 7．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 9．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 11．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   12．设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 14．已知函数及其导函数的定义域均为，若导函数的图象过点，，如图，则函数的单调递增区间为 题型三 已知函数的单调区间求参数的范围 15．若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 19．已知函数的减区间为，则 . 题型四 已知函数在区间上单调求参数 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 20．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知：，：函数在区间上不单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知函数在上单调递增，则实数a的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 26．函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型五 比较大小 27．已知函数，则的大小关系为(参考数据∶) （    ） A． B． C． D． 28．已知函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 29．已知，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．已知函数， 则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 题型六 解抽象不等式 32．函数及其导函数的定义域均为，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 33．已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 34．已知三次函数的图象如图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（    ）    A．或 B． C． D．或 35．已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 36．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 37．在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 38．已知函数是R 上的偶函数，且在上有，若，那么关于x的不等式 的解集是 ． 题型七 构造函数问题 39．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 40．已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 41．已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 42．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 43．已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 44．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型八 求含参函数的单调区间 讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0; 第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 45．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 46．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 47．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 48．已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 49．已知． (1)讨论的单调性； (2)若，且函数有三个零点，求的取值范围． 50．已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $