高一数学上学期期中模拟卷02（苏教版，举一反三）【测试范围：苏教版必修第一册第1章～第5章】

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版必修第一册第1章~第5章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（5分）已知 ，“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 6．（5分）某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 7．（5分）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的是（    ） A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 10．（6分）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 11．（6分）已知定义在R上的函数同时满足：①偶函数；②当时，；③当，时，，则（   ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，，则 .（用数字作答） 13．（5分）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 14．（5分）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 . ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）化简求值： (1)求值：. (2)已知，，求的值. 16．（15分）已知集合，全集R． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 18．（17分）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为R上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 19．（17分）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. (1)函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“美好函数”，求的值； (3)已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简集合，分析集合中的元素，即可得到结果. 【解答过程】由题意得，. 对于集合，当时，，当为其他整数时，， 所以. 故选：D. 2．（5分）已知 ，“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由“且”可推出“”， 由“”不能推出“且”，由此可确定选项. 【解答过程】由“且”可得到“”， 由“”可得同正或同负，不能得到“且”， 故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（5分）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】赋值法可判断AD；利用不等式性质可判断B，作差法比较数的大小判断C. 【解答过程】对于A，，但，故A错误； 对于B，由，可得，不等式两边同乘以， 得，即，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，故C正确； 对于D，，当时，，故D错误. 故选：C. 4．（5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数相等的充要条件逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于A，，对应法则不同，故A错误； 对于B，的定义域分别为，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域分别为，定义域不同，故C错误； 对于D，的定义域均为，且，即对应法则相同，故D正确. 故选：D. 5．（5分）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据，化为，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 因为，，所以，， 所以，所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值是. 故选：B. 6．（5分）某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 【答案】B 【解题思路】先利用，求得，再解不等式，即可得结论. 【解答过程】因为， 又第50天时，病情暴发系数为0.5. 所 以，所以， 所以，解得，所以， 由，可得，所以， 所以，，所以， 所以，解得， 所以从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为天. 故选：B. 7．（5分）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【解答过程】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 8．（5分）已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解． 【解答过程】因为是定义在上的函数，的图象关于点对称， 所以为奇函数，， 因为，即，所以， 构造函数，则有，所以在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 变形， 则有，即， 所以，解得：或， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的是（    ） A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p：“，”的否定为“，”所以A正确； 对于B中，由且，可得“，即充分性成立； 反正：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立， 所以且是的充分而不必要条件，所以B正确； 对于C中，由，可得且， 所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 对于D中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD. 10．（6分）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 【答案】BCD 【解题思路】对于A，由对称轴可判断；对于B，由图象与轴交于，两点即可判断；对于C，由韦达定理得到，，代入即可解不等式；对于D，将函数式设成，取，由判别式判断. 【解答过程】对于A，因为函数的对称轴为，所以，整理得.故A正确； 对于B，因为二次函数图象与轴交于，两点， 所以，故B错误； 对于C，因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为， 所以和是方程的两根， 所以，， 所以，， 所以可化为， 由于，所以，解得.故C错误； 对于D，由C可设，， 当时，方程即为， 所以， 由于，此时方程有两个不等实数根，故D错误. 故选：BCD. 11．（6分）已知定义在R上的函数同时满足：①偶函数；②当时，；③当，时，，则（   ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】AC 【解题思路】由条件③令，再结合条件②可得A正确；由偶函数的性质再结合条件②③可得B错误；由单调性的定义再结合条件②和③可得C正确；不等式等价于，再结合单调性和奇偶性可得D错误； 【解答过程】A：由当，时，，可令， 可得，又由条件②当时，，即， 所以，故A正确； B：由条件①偶函数，所以， 由条件③，令可得， 又由条件②当时，，即，所以，故B错误； C：取，且， 则， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增，故C正确； D：因为， 所以不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得为偶函数， 所以，即解集为，故D错误； 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，，则 .（用数字作答） 【答案】45 【解题思路】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【解答过程】由，可得， 又，则. 故答案为：45. 13．（5分）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解题思路】利用配凑法，结合基本不等式计算可得，解分式不等式即可. 【解答过程】由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立 ∵恒成立，∴， ∴，∴或. 故答案为：或. 14．（5分）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 . ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 【答案】②③ 【解题思路】对于①，令，，即可判断；对于②，两个正整数的差可能是负整数，即可判断；对于③，任取，，则，，，，结合新定义即可判断；对于④，令，，结合新定义即可判断. 【解答过程】对于①，因为，，但是， 所以不是闭集合，故①错误； 对于②，对于正整数集，因为,， 但是，所以正整数集不是闭集合，故②正确； 对于③，任取，，则，，，， 则，，， 所以，，， 所以是闭集合，故③正确； 对于④，由③可得是闭集合，是闭集合， 所以或，则有，， 但，则不是闭集合，故④错误. 故答案为：②③. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）化简求值： (1)求值：. (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质计算可得结果. 【解答过程】（1） ； （2）因为，两边平方得，所以， 因为，所以，所以， 所以， 又， 所以. 16．（15分）已知集合，全集R． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出，再根据补集和交集的概念求出答案； （2）为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）当时，，或， 又， 故或 ； （2）“”是“”的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解集为， 若，则或， 解得， 综上，实数的取值范围是. 17．（15分）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 【答案】(1) (2)当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 【解题思路】（1）分、两种情况讨论，根据年利润总收入另外投本固定投本，可得出关于的函数关系式； （2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论. 【解答过程】（1）解：依题意，若年产量不足台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润； 若年产量不小于台，另外投本，固定投本万， 总收入万元，故利润. 故. （2）解：当，时，， 此时，当时，； 当，时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，故时，利润取得最大值，， 综上可知，当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 18．（17分）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为R上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用赋值思想来求，利用定义法来证明函数单调性； （2）利用奇函数恒等式来证明奇函数； （3）利用恒等式变形，把原不等式化为两个函数值的大小比较，再结合单调性转化为自变量的大小比较，从而求解不等式. 【解答过程】（1）因为对任意实数x，y都成立， 所以当时，上式可化为：，可得， 任取则上式又可化为：， 则有：， 当假设则根据当时，.，有， 即，所以有， 则可以证明函数为上的增函数； （2）要证明函数为奇函数，只需要证明， 即证明， 由于，假设， 则有，又因为， 所以，即原问题得证； （3）由可得：， 即， 再由，，可得： ， ， ， 所以不等式可变为， 再由函数为R上的增函数， 所以，解得：. 19．（17分）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. (1)函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“美好函数”，求的值； (3)已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【解题思路】（1）求出函数的最值，即可判断； （2）首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得到方程，解得即可； （3）结合函数单调性的定义及对勾函数的性质得到函数的单调性，再对分类讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【解答过程】（1）因为，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 则， 所以不是在上的“美好函数”； （2）因为，， 则在上单调递减，所以，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以，解得. （3）函数的定义域为， ，所以为奇函数， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递减的证明如下： 设， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递减. 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得或（舍去），所以， 即在上为“美好函数”； 当时在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最小值为，最大值不可能为，故不符合题意； 当，即时在上单调递减， 则，， 所以，解得（舍去）或，所以， 即在上为“美好函数”； 当时，即时，在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意； 综上可得或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $