专题08 数列（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

专题08 数列（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识清单2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【知识清单3 等差数列的概念】 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【知识清单4 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【知识清单5 等比数列的概念】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【知识清单6 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【知识清单7 数列求和的几种常用方法】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： . 2．分组（并项）求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【常用结论】 1．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【知识清单8 数学归纳法】 1．数学归纳法的概念与步骤 (1)数学归纳法的概念 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立. (2)数学归纳法的步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 2．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题（例如数列、恒等式、整除等问题） 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【解答过程】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【解答过程】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解题思路】先求，再利用与关系求出，再检验是否符合即可求解. 【解答过程】当时，， 当时，， 当时，， 经检验，不符合上式， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据累加法求解即可； （2）根据通项公式，结合等差数列的求和公式求解即可. 【解答过程】（1）由，则 ，，…，又， 累加可得. （2）由（1），则，故 . 题型2 数列的单调性问题 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【解答过程】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C. 7．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列的公比q大于0，前n项和为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据数列的单调性判断两命题之间的逻辑推理关系，即得答案. 【解答过程】若取，，那么，则数列为单调递增数列， 此时，则数列为单调递减数列， 所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”， 若取，，则， 显然数列是单调递增数列， 此时，数列是单调递减数列， 所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”， 综上“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用求出数列的通项公式，再通过恒成立求的取值范围. 【解答过程】由得， 两式相减得，即， 又，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列 则恒成立， 即恒成立， 即恒成立，又， 所以. 故选：B. 9．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】 【解题思路】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【解答过程】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·四川南充·期末）已知数列的前项和公式为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中的最小项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据时求解即可； （2）由题意，进而可得的增减性，进而可得最小项. 【解答过程】（1）当时， ， 当时，，满足上式， 所以； （2） 当时，，即，所以； 当时，，即； 当时，，即，所以； 所以列中最小的项为． 题型3 等差数列的判定与证明 11．（24-25高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【解答过程】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B. 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【解答过程】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 13．（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的定义，判断出是等差数列则也是等差数列，而也是等差数列不一定是等差数列，可得答案. 【解答过程】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 14．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据和的关系即可解答. （2）根据等差数列的定义即可判断. 【解答过程】（1）数列的前n项和， 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 15．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【解答过程】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 题型4 等差数列的通项公式 16．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，用公式求出，得到的通项公式 【解答过程】设等差数列的公差为, 因为， 所以, 解得, 则. 故选：B. 17．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【解答过程】因为，所以, 解得,所以等差数列为正数等差数列，所以 故选：B. 18．（24-25高二上·重庆·期末）在等差数列中，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解题思路】根据等差数列通项公式的基本量运算求得公差，再由通项公式得项． 【解答过程】设公差为，则由得，解得， 所以， 故选：B． 19．（24-25高二上·重庆·期末）已知等差数列中，前项和为，这项中的偶数项之和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】 【解题思路】利用等差数列前项和公式及等差数列性质条件可转化为，，解方程求，再结合等差数列通项公式求，由此可求通项公式. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为等差数列中，前项和为， 所以，故， 因为等差数列中前项中的偶数项之和为， 所以，故， 所以，解得， 所以，又， 所以，， 所以，， 所以 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 题型5 等差数列的前n项和及其最值 21．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，列式求出首项及公差，再求出前20项的和. 【解答过程】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B. 22．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 由 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 23．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）设等差数列的前项和为，且，则（   ） A．240 B．180 C．120 D．60 【答案】C 【解题思路】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】记等差数列的公差为，由得， 故. 故选：C. 24．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 【答案】24 【解题思路】由等差数列下标和的性质，以及前项求和公式，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以． 故答案为：24． 25．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式和前10项的和； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的定义和公式，求公差和通项，再代入求和公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用等差和等比前项和公式，即可求解. 【解答过程】（1）已知等差数列中，，可得公差为2， 即，则，， ； （2） 设， 则 . 题型6 等比数列的判定与证明 26．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【解答过程】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 27．（24-25高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断. 【解答过程】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， ，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为， ，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列， 故选：C. 28．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 【答案】A 【解题思路】利用求出的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可. 【解答过程】由得当时，， 两式相减得，即， 又当时，， 所以数列即不是等比数列也不是等差数列，CD错误； 所以， 当时， 所以当时，，符合， 所以， 又时，所以为等比数列，A正确，B错误. 故选：A. 29．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【解答过程】（1）由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； （2）对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 30．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【解答过程】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 题型7 等比数列的通项公式 31．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【解答过程】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 32．（24-25高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据与的关系式，求得，进而得到数列是等比数列，再用公式计算即可. 【解答过程】因为，所以当时，.两式相减，得，. 因为，且当时，，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 故选：C. 33．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用求出为首项为6，公比为3的等比数列，从而求出通项公式. 【解答过程】①中，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，，即， 故为首项为6，公比为3的等比数列， 故. 故选：B. 34．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解题思路】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 35．（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【解答过程】（1）∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴ . 题型8 等比数列的前n项和 36．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（   ） A．189 B．93 C．63 D．33 【答案】A 【解题思路】应用等比数列的前n项和公式计算求解. 【解答过程】因为为等比数列，且， 则. 故选：A. 37．（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【解答过程】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故，， 故选：C. 38．（24-25高二上·海南·期末）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．121 C．168 D．186 【答案】B 【解题思路】由条件结合等比数列性质求出，再列方程求出数列的公比，利用等比数列求和公式可求. 【解答过程】设等比数列的公比为，因为数列为正项等比数列，所以， 因为，又，所以， 因为，所以或， 若，则，解得，， 所以， 若，则，解得，， 所以， 综上. 故选：B. 39．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【解题思路】设数列的公比为，先证明，再结合等比数列求和公式化简条件，求和，再求结论. 【解答过程】设数列的公比为， 若，则，，， 又，所以，，与矛盾， 所以，， 因为，所以， 所以可化为， 所以， 所以， 所以， 所以或或（舍去）， 若，又，可得，此时，矛盾， 当时，， 故若，，此时， 若，，此时， 故答案为：. 40．（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由题意得 所以，解得（舍去），   所以． （2）由于，， 则． 题型9 数列求和 41．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【解答过程】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 42．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D 【解题思路】先求出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可. 【解答过程】数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以数列的前5项之和为 . 故选：D. 43．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解答过程】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 44．（24-25高二上·天津河西·期末）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为 . 【答案】 【解题思路】首先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，得出通项公式，进而得到数列的通项，然后利用裂项相消法求出前 100 项和. 【解答过程】因为，，可得： 解得,，所以 因为， 设数列的前 100 项和为 , 则：. 故答案为：. 45．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【解答过程】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 题型10 数列与不等式综合 46．（24-25高二上·广西百色·期末）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用求出，再对给定不等式分离参数，构造数列并由单调性求出最大项即可. 【解答过程】数列中，，当时，，即， 当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，，依题意，对任意正整数n恒成立， 令，由，得，即数列单调递减， 则，于是，所以实数的取值范围是. 故选：D. 47．（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，两边同时减构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求得最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 由恒成立，得恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以. 故选：B. 48．（24-25高二上·黑龙江·期末）在等比数列中，，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据，，成等差数列列方程，即可解得公比，即可得通项公式，进而得，然后分是奇数或是偶数讨论，利用数列的单调性求最值即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，依题意，，即， 又，则，化简得，因为， 所以，解得，所以. 因此，. 当为偶数时，由，得，又， 所以对任意的偶数都成立， 因为单调递减，所以当时有最大值， 故； 当为奇数时，由，得，又， 所以对任意的奇数都成立， 因为单调递增，且当时，，故， 综上所述，. 故选：B. 49．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为，且满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，结合裂项相消法可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，则，即且， 所以，数列是等比数列，且其首项和公比都为. （2）由（1）可知，，则，所以，， 所以，. 50．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【解答过程】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 题型11 数学归纳法 51．（24-25高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解题思路】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【解答过程】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D. 52．（24-25高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【解答过程】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 53．（24-25高二上·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【解题思路】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【解答过程】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 54．（24-25高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立. 【解答过程】①当时，能被整除，所以当时结论成立. ②假设当时，能被整除， 那么当时， ， 由假设可知能被整除，即能被整除， 所以当时结论也成立. 综上，能被整除. 55．（24-25高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 【答案】证明见解析 【解题思路】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可. 【解答过程】当时，，结论成立； 假设①当时，， ②则当时， ，结论成立； 综合由①②知，对于任意正整数都有：. 题型12 数列新定义问题 56．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先由直线过定点求出的值，再根据等和数列性质求解即可. 【解答过程】由直线变形得： ，当时， 所以直线过定点，即， 由数列为“等和”数列且（为常数）， 所以， 所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2， 所以 ， 故选：D. 57．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可. 【解答过程】解析：按照规律有，，，，，，，，， A、C错；， 则，B对； ， D错． 故选：B. 58．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【解题思路】根据可分数列的定义即可验证结论. 【解答过程】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组， 能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项， 平均分为2个组后不可能构成等比数列，所以数列是不可分数列，故②错误； 对于③，由于从数列中删去两项后， ，项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列， 所以数列是可分数列，故③正确. 故选：C. 59．（24-25高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 【答案】(1) (2)不存在符合要求的实数，理由见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用“超1数列”的定义得，且，即可求得结果. （2）先假设存在实数，使得对恒成立， 等价于对恒成立.推出矛盾即可证明. （3）由正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况讨论，利用“超1数列”的定义证明数列是“超1数列” 【解答过程】（1）由题知，，且， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）不存在， 理由如下：由题知，对恒成立， 所以数列是等差数列，且，公差为， 所以. 假设存在实数，使得对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立. 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在符合要求的实数. （3）由题意，设数列的公比为且，则. 因为， 所以在数列中，为最小项. 所以在数列中，为最小项. 因为为“超1数列”， 所以只需，即， 又，所以. 又不是“超1数列”，且为最小项， 所以，即. 又，所以， 又，所以或4. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 综上所述，数列是“超1数列”. 60．（24-25高二上·云南昆明·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． (1)已知数列1，，2m是“数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据题意得到，且，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案. （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得，且，解得， 所以实数m的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“数列”． 综上所述，当时，，数列为“数列”； 当时，，数列不是“数列”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数列（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识清单2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【知识清单3 等差数列的概念】 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【知识清单4 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【知识清单5 等比数列的概念】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【知识清单6 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【知识清单7 数列求和的几种常用方法】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： . 2．分组（并项）求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【常用结论】 1．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【知识清单8 数学归纳法】 1．数学归纳法的概念与步骤 (1)数学归纳法的概念 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立. (2)数学归纳法的步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 2．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题（例如数列、恒等式、整除等问题） 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 5．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 题型2 数列的单调性问题 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列的公比q大于0，前n项和为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 10．（24-25高二上·四川南充·期末）已知数列的前项和公式为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中的最小项． 题型3 等差数列的判定与证明 11．（24-25高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 13．（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 15．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 题型4 等差数列的通项公式 16．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 18．（24-25高二上·重庆·期末）在等差数列中，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 19．（24-25高二上·重庆·期末）已知等差数列中，前项和为，这项中的偶数项之和为，且，则数列的通项公式 . 20．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 题型5 等差数列的前n项和及其最值 21．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 22．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）设等差数列的前项和为，且，则（   ） A．240 B．180 C．120 D．60 24．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 25．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式和前10项的和； (2)若数列满足，求数列的前项和． 题型6 等比数列的判定与证明 26．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（24-25高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 29．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 30．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 题型7 等比数列的通项公式 31．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 35．（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 题型8 等比数列的前n项和 36．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（   ） A．189 B．93 C．63 D．33 37．（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·海南·期末）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．121 C．168 D．186 39．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 40．（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型9 数列求和 41．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 43．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·天津河西·期末）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为 . 45．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 题型10 数列与不等式综合 46．（24-25高二上·广西百色·期末）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·黑龙江·期末）在等比数列中，，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为，且满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 50．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 题型11 数学归纳法 51．（24-25高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 52．（24-25高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 54．（24-25高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 55．（24-25高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 题型12 数列新定义问题 56．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 59．（24-25高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 60．（24-25高二上·云南昆明·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． (1)已知数列1，，2m是“数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $