专题06 指数函数与对数函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题06 指数函数与对数函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识清单2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识清单3 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识清单4 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【知识清单5 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【知识清单6 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识清单7 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【知识清单8 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识清单9 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识清单10 函数的零点】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【知识清单11 二分法】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【知识清单12 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 题型1 分数指数幂与根式的互化 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 . 5．（24-25高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 指数幂的化简、求值 6．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 9．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 10．（24-25高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 题型3 指数式与对数式的互化 11．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 13．（24-25高一上·江西吉安·期末）设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 14．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 15．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 题型4 对数的运算 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 19．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 20．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 题型5 指数（型）函数的图象问题 21．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   22．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   23．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型6 指数（型）函数的单调性问题 26．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 30．（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 题型7 指数型复合函数及其应用 31．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数 且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·陕西商洛·期末）已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. (1)求，的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的值域. 35．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型8 指对幂比较大小 36．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·广东揭阳·期末）若，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 40．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 题型9 对数（型）函数的单调性问题 41．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 44．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 45．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数且. (1)若，求函数的定义域及值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 题型10 对数型复合函数及其应用 46．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 47．（24-25高一上·福建泉州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 49．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 50．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 题型11 指数函数与对数函数综合 51．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 55．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数为偶函数． (1)求m的值； (2)若，判断在上的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围 题型12 函数的零点问题 56．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 58．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 60．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 题型13 二分法 61．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 63．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 65．（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 题型14 函数模型的应用 66．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 67．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 68．（24-25高一上·广东深圳·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ） A．600 B．700 C．800 D．900 69．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 70．（24-25高一上·安徽亳州·期末）新能源汽车续航能力备受客户的关注．某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验，每行驶30公里，测量一次蓄电池的电量，得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为，设，随里程数（一个里程数等于30公里）的变化数据如下： 里程数 0 1 2 3 4 5 6 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型： ①； ②； ③． (1)请根据表中数据，选择符合实际情况的函数模型，并利用前三组数据求出的解析式； (2)经验表明，为了确保行车安全，当蓄电池的剩余电量为时，就应该开始寻找充电站，避免车辆电量过低导致无法行驶，求本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了多少公里． 参考数据：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 指数函数与对数函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识清单2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识清单3 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识清单4 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【知识清单5 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【知识清单6 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识清单7 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【知识清单8 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识清单9 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识清单10 函数的零点】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【知识清单11 二分法】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【知识清单12 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 题型1 分数指数幂与根式的互化 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【解答过程】因为，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误. 【解答过程】A：，对； B：，错； C、D：由对数的运算性质有、，错. 故选：A. 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 . 【答案】 【解题思路】，结合指数幂运算法则进行求解. 【解答过程】，. 故答案为：. 5．（24-25高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据根式与指数式的互化即可得解. （2）（3）（4）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解. 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型2 指数幂的化简、求值 6．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【解答过程】， 故选：A. 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数幂的性质判断ABC，根据计算判断D. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：C. 8．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【解题思路】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 9．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 【答案】 【解题思路】由指数幂的运算化简即可； 【解答过程】原式. 故答案为：. 10．（24-25高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【解题思路】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【解答过程】（1） =； （2） . 题型3 指数式与对数式的互化 11．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数式和对数式的互化可得结果. 【解答过程】因为，所以，. 故选：A. 12．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【解题思路】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【解答过程】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D. 13．（24-25高一上·江西吉安·期末）设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解题思路】令，利用指数和对数的关系可得，即，解关于的一元二次方程即可求解. 【解答过程】令， 则，，，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以， 故选：D. 14．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【解题思路】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【解答过程】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 15．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【解答过程】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 题型4 对数的运算 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【解答过程】因为， 故选：B. 17．（24-25高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】利用对数的运算性质可直接求得答案. 【解答过程】 ， 故选：D. 18．（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【答案】B 【解题思路】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级. 【解答过程】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为， 俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为. 对于日本东北部海域的9级地震有； 对于俄罗斯东南部的地震有. 因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即. 两边同时取对数可得，根据对数运算法则，. 又因为， 已知，所以. 将，，代入可得： ， 解得. 俄罗斯东南部地震震级大约是级. 故选：B. 19．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【解题思路】由对数的运算性质即可得解. 【解答过程】. 故答案为：. 20．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解题思路】（1）借助对数运算法则与指数运算法则计算即可得； （2）借助指数运算法则计算即可得； （3）借助对数运算法则及换底公式计算即可得. 【解答过程】（1）； （2）； （3） . 题型5 指数（型）函数的图象问题 21．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可． 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数为奇函数，故C错误； 又∵，故D错误； 当时，，故B错误,A正确. 故选：A． 22．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【解答过程】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 23．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【解答过程】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 24．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【解答过程】的定义域为， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以B选项错误. ，所以C选项错误. 的增长速度比的增长速度慢， 所以时，，所以D选项错误. 故选：A. 25．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 题型6 指数（型）函数的单调性问题 26．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 27．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复合函数的单调性求解判断. 【解答过程】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 28．（24-25高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【解答过程】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A. 29．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【解题思路】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【解答过程】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 30．（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 【答案】(1)1； (2)单调递增，证明见解析； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【解答过程】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型7 指数型复合函数及其应用 31．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【解答过程】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 32．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，由，可得，即，利用单调性解不等式即可. 【解答过程】设函数，则， 所以，显然定义域关于原点对称，所以是奇函数. 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数. 等价于， 即. 因为是奇函数，所以. 因为是上的增函数，所以，即，解得或. 故选：. 33．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数 且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可. 【解答过程】令，此时，而， ，故函数在其定义域内不单调递减， 函数的值域不可能为；即①，②错误， 因为，的定义域关于原点对称， 故，即， 得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确， 当时，，故函数的图象过定点，即④正确. 综上，其中正确结论的个数是，故B正确. 故选：B. 34．（24-25高一上·陕西商洛·期末）已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. (1)求，的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的值域. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用函数的奇偶性求参数值即可； （2）根据奇偶性的定义判定证明； （3）由，结合指数函数、分式型函数的性质求值域. 【解答过程】（1）由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 故恒成立，所以， 因为，即， 所以恒成立，所以. （2）由（1）知， 所以的定义域为， 因为， 所以为奇函数. （3）， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的值域为. 35．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【解题思路】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 题型8 指对幂比较大小 36．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【解答过程】∵， ， ， ∴. 故选：B. 37．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性，求出的取值范围即可比较大小. 【解答过程】因，，， 故. 故选：B. 38．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论. 【解答过程】因为，所以，可得； 则，即， 又，即， 易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知， 即可得； 因此可得. 故选：D. 39．（24-25高一上·广东揭阳·期末）若，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 【答案】 【解题思路】根据指对数的单调性即可求解. 【解答过程】,,又， 故，故， 故答案为：. 40．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 【答案】 【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，分别判断出三个数的范围，在由指数化成根式比较的大小，可得答案. 【解答过程】因为， 又， 而，则，则， 所以，. 故答案为：. 题型9 对数（型）函数的单调性问题 41．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【解答过程】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 42．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构建，根据对数函数性质可知函数在区间上单调递增，且在内恒成立，列式求解即可. 【解答过程】构建，其图象开口向上，对称轴为， 因为函数在区间上单调递增，且在定义域内单调递增， 则函数在区间上单调递增，且在内恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 43．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【解题思路】利用复合函数的单调性可得出结论. 【解答过程】对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在区间上是增函数. 故选：D. 44．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 45．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数且. (1)若，求函数的定义域及值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【解题思路】（1）当时，可得函数的解析式，进而求出函数的定义域，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可求得函数的值域； （2）分、两种情况讨论，利用复合函数的单调性列出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 又函数为增函数，所以， 故当时，函数的定义域为，值域为. （2）当时，函数为减函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，该不等式组无解； 当时，函数为增函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型10 对数型复合函数及其应用 46．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【解答过程】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C. 47．（24-25高一上·福建泉州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【解答过程】∵函数在上单调递增， ∴当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即， ∴， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即函数的值域为， ∵，∴此时函数的值域为，即， 综上所述：. 故选：C. 48．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【解题思路】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【解答过程】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D. 49．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【解答过程】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 50．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【解题思路】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【解答过程】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 题型11 指数函数与对数函数综合 51．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【解答过程】由已知当时，需， 令，则函数在上为减函数， 所以， 又函数在定义域上为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是， 最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 52．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题目条件构造，即可通过函数单调性获解. 【解答过程】根据题意，设，若函数满足对任意， 有，则，即 则函数在上为增函数， 又由，则， ， 则有，解可得：且，即不等式的解集为. 故选：D. 53．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，证明函数在上单调递减，根据单调性列不等式即可求解. 【解答过程】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 54．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 55．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数为偶函数． (1)求m的值； (2)若，判断在上的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) ． 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求m的值； （2）利用定义法，结合指数函数的单调性即可证明单调性； （3）利用参变分离得到，且在区间上恒成立，换元，构造函数，利用单调性求出函数的最小值，即可求解a的取值范围． 【解答过程】（1）定义域为R，， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， （2）已知函数， 由于函数在上单调递增， 由第问可得，因此， 不妨设，，且， 则 ， 因为，所以， 又因为，， 因此，所以，故， 所以函数在上单调递增. （3）由题得，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为，所以， 所以在区间上恒成立， 令， 则， 令， 因为在单调递增且， 所以函数在上单调递减，故，， 对任意的恒成立，且，， 实数a的取值范围是． 题型12 函数的零点问题 56．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【解答过程】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 57．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】B 【解题思路】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【解答过程】由得， 在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 记，因此时，， 函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数， 即函数与函数的交点个数， 令，它在上是减函数，，，，，当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点， 所以的零点个数为3. 故选：B． 58．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【解答过程】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 59．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为：. 60．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【解题思路】（1）根据零点存在性判断方法进行判断即可. （2）确定的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的零点个数问题，在数形结合，分类讨论函数零点的个数. 【解答过程】（1）由题意得，， 因为的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在内至少有一个零点． （2）由题意得． 令，得． 令，函数， 则的零点个数等于的图象与直线的公共点个数． 的大致图象如图所示． 当时，的图象与直线的公共点个数为0，即函数的零点个数为0． 当或时，的图象与直线的公共点个数为1，即函数的零点个数为1． 当时，的图象与直线的公共点个数为2，即函数的零点个数为2． 题型13 二分法 61．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【解答过程】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B. 62．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【解题思路】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【解答过程】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C. 63．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 64．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【解题思路】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【解答过程】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 65．（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 【答案】2.75 【解题思路】计算出，，，结合二分法得到答案. 【解答过程】， ，， 故由零点存在性定理知，内存在零点，下一步需计算. 故答案为：2.75. 题型14 函数模型的应用 66．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 67．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得，即，再分析求解即可. 【解答过程】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 68．（24-25高一上·广东深圳·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ） A．600 B．700 C．800 D．900 【答案】D 【解题思路】将 代入式子，求出，再利用指数式与对数式的互化即可求解. 【解答过程】当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300， 所以，解得， 即， 当时，则，即，解得， 所以. 故选：D. 69．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 【答案】 【解题思路】利用对数的运算性质结合关系求即可. 【解答过程】由题设， 所以， 所以. 故答案为：. 70．（24-25高一上·安徽亳州·期末）新能源汽车续航能力备受客户的关注．某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验，每行驶30公里，测量一次蓄电池的电量，得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为，设，随里程数（一个里程数等于30公里）的变化数据如下： 里程数 0 1 2 3 4 5 6 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型： ①； ②； ③． (1)请根据表中数据，选择符合实际情况的函数模型，并利用前三组数据求出的解析式； (2)经验表明，为了确保行车安全，当蓄电池的剩余电量为时，就应该开始寻找充电站，避免车辆电量过低导致无法行驶，求本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了多少公里． 参考数据：． 【答案】(1)选③， (2)（公里） 【解题思路】（1）分析表中数据，可得应选择③函数模型，根据待定系数法求参数即可； （2）根据（1）中的模型，令求解即可. 【解答过程】（1）由表中数据可知，为单调减函数，则②不符合题意， 当自变量增加量为1时，的减少量越来越小，则①不符合题意，故选③． 由表中数据得，，解得，故． （2）由题意可知，，则， 两边取对数得，， 所以本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了（公里）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $