第五章 一元函数的导数及其应用（单元测试·冲刺卷）数学人教A版2019选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 4．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 8．设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，则（   ） A． B． C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为1 10．已知函数则下列结论正确的有（   ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．恰有两个零点 D．当，若，则 11．已知关于的不等式恰有两个不同的整数解，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 13．已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为 ． 14．已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，总存在互异，使得，求实数的取值范围. 16．（15分）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 17．（15分）某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上. (1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？ (2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？ 18．（17分）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19．（17分）设函数. (1)当时，讨论的单调区间； (2)已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·冲刺卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A B D C A B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BC BCD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）， 由，解得或；由，解得； 3分 故的单调递增区间为，，单调递减区间为. 6分 （2）由（1）可得的极小值为，的极大值为， 9分 令， 因为若，总存在互异， 使得， 所以在上满足， 故，故. 13分 16．【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 2分 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 4分 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. 7分 （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 10分 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 13分 将代入得. 所以，点的坐标为． 15分 17．【详解】（1）如图，以，所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，    2分 并由条件可知，点， 设直线的方程， 当时，，当时，， 即，， , 5分 当时，即时，等号成立， 所以面积的最大值为平方米； 此时直线的方程为，即，， 此时 7分 （2）由（1）可知，， ， 9分 设，， ，， 令，则， 当时，，函数在区间单调递减， 当时，，函数在区间单调递增， 13分 所以当时，函数取得最小值， 所以当，，此时最短. 15分 18．【详解】（1）因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 3分 故函数的极小值点为，得； 5分 （2）在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 7分 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； 9分 （3）当时，，则， 令，则， 令，则， 11分 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 14分 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 17分 19．【详解】（1）当时，，则， 当时，， 当时，， 2分 所以的单调增区间为， 单调减区间为. 4分 （2）（i），由，解得， ， 记，，， 记，则，， 7分 因为恒成立，故， 则，解得， 所以的取值范围是. 10分 （ii）当时，等号成立； 下面证明当时，， 当时，有，故，此时，符合题意； 现考虑当时，成立，等价于证明， 不妨先证明，设，则， 故在上单调递增，于是，故， 于是，而， 故， 故当时，成立； 13分 于是当时，成立； 取，当时，， 设， 且， 故是奇函数， 所以是偶函数，于是当时，成立， 综上，，即成立. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 【详解】由切线斜率，则，解得：或(舍去)， 因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：， 故选：A. 2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 3．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 4．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数， 则， 可得，即， 则，， 可得，解得. 故选：B. 5．近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 6．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C 7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图象可知，是奇函数， 对于A，由题意得， 则是奇函数，符合题意，故A正确， 对于B，， 则是奇函数，令，则， 当时，在上单调递减， 则，与图象不符，故B错误， 对于C，由题意得，， 则， 可得不是奇函数，故C错误， 对于D，由题意得， ， 则 可得不是奇函数，故D错误. 故选：A. 8．设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，由，得或， 所以在上递增，在和上递减， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，则的大致图象如图所示，    令，则， 所以方程有两个不相等的实根，，， 所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，则（   ） A． B． C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为1 【答案】BC 【详解】对于A，利用复合函数的求导法则，由，所以A错误； 对于B，因为，当时，，所以B正确； 由在上的平均变化率为，所以C正确； 因为，当时，，所以D错误. 故选：BC. 10．已知函数则下列结论正确的有（   ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．恰有两个零点 D．当，若，则 【答案】BCD 【详解】当时，， 令，解得或，则函数在和上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减. 当时，，则函数在上单调递增. 综上易知：函数在和上单调递增，在上单调递减. 由函数在上单调递增，则不是函数的极值点，故A错误； 由函数在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，故B正确； 当时，令，解得或， 当时，令，解得（舍去）， 则函数恰有两个零点为与，故C正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，， 所以当时，若，则，故D正确. 故选：BCD. 11．已知关于的不等式恰有两个不同的整数解，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】BC 【详解】由，得. 设，，则. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，且时，， 故的大致图象如图所示. 因为直线过定点，，. 因为关于的不等式恰有两个不同的整数解， 所以，即. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】设直线与曲线的切点横坐标为， 由，得，解得 所以切点坐标为，代入直线方程得到. 设直线与曲线的切点横坐标为， 则， 且，联立得， 所以，即. 所以， 故答案为： 13．已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】原命题等价于， 当时，， 故在上单调递增，即， 则，即在上恒成立，即， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则函数在的最大值为， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 14．已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设曲线切点为，即， 由， 所以与曲线相切的直线的方程：， 因为切线过， 所以， 设 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 显然当，，当，， 且，函数的图象如下图所示： 因此要想过点可作3条与曲线相切的直线， 只需直线与函数的图象有三个不同的交点， 即， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，总存在互异，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1）， 由，解得或；由，解得； 3分 故的单调递增区间为，，单调递减区间为. 6分 （2）由（1）可得的极小值为，的极大值为， 9分 令， 因为若，总存在互异， 使得， 所以在上满足， 故，故. 13分 16．（15分）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 2分 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 4分 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. 7分 （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 10分 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 13分 将代入得. 所以，点的坐标为． 15分 17．（15分）某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？ (2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？ 【详解】（1）如图，以，所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，    2分 并由条件可知，点， 设直线的方程， 当时，，当时，， 即，， , 5分 当时，即时，等号成立， 所以面积的最大值为平方米； 此时直线的方程为，即，， 此时 7分 （2）由（1）可知，， ， 9分 设，， ，， 令，则， 当时，，函数在区间单调递减， 当时，，函数在区间单调递增， 13分 所以当时，函数取得最小值， 所以当，，此时最短. 15分 18．（17分）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 3分 故函数的极小值点为，得； 5分 （2）在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 7分 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； 9分 （3）当时，，则， 令，则， 令，则， 11分 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 14分 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 17分 19．（17分）设函数. (1)当时，讨论的单调区间； (2)已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 当时，， 2分 所以的单调增区间为， 单调减区间为. 4分 （2）（i），由，解得， ， 记，，， 记，则，， 7分 因为恒成立，故， 则，解得， 所以的取值范围是. 10分 （ii）当时，等号成立； 下面证明当时，， 当时，有，故，此时，符合题意； 现考虑当时，成立，等价于证明， 不妨先证明，设，则， 故在上单调递增，于是，故， 于是，而， 故， 故当时，成立； 13分 于是当时，成立； 取，当时，， 设， 且， 故是奇函数， 所以是偶函数，于是当时，成立， 综上，，即成立. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 4．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 8．设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，则（   ） A． B． C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为1 10．已知函数则下列结论正确的有（   ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．恰有两个零点 D．当，若，则 11．已知关于的不等式恰有两个不同的整数解，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 13．已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为 ． 14．已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，总存在互异，使得，求实数的取值范围. 16．（15分）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 17．（15分）某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上. (1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？ (2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？ 18．（17分）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19．（17分）设函数. (1)当时，讨论的单调区间； (2)已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共4页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $