第28讲 函数的单调性、极值与最值（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第二册）

本高中数学讲义聚焦函数的单调性、极值与最值核心知识点，系统梳理导数与单调性的关系、单调区间确定步骤及参数问题，衔接极值的概念、求极值步骤与参数求解，进而延伸至最值与极值、端点的关系及综合应用，构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 资料以模块划分整合理论与题型，例题及变式题选自各地最新模拟及期末试题，通过表格直观呈现导数与函数图象变化的关联培养几何直观，强调步骤性推理提升逻辑思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

第28讲 函数的单调性、极值与最值 【人教A版】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1】（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式1.3】（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·吉林长春·月考）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数单调性的应用——比较大小】 【例3】（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·广西河池·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ） A． B． C． D． 【题型4 函数单调性的应用——解不等式】 【例4】（24-25高二下·广东东莞·期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 模块二 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型5 利用导数求函数的极值（点）】 【例5】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【变式5.2】（24-25高二下·广东江门·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 【变式5.3】（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据极值（点）求参数】 【例6】（24-25高二下·海南海口·月考）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二下·湖南·月考）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 【变式6.2】（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模块三 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型7 利用导数求函数的最值】 【例7】（24-25高三上·山东济南·月考）函数在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·陕西榆林·期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7.2】（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【变式7.3】（24-25高三下·四川内江·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【题型8 已知函数最值求参数】 【例8】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【变式8.2】（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例9】（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【变式9.1】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【变式9.2】（24-25高二下·广东·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【变式9.3】（24-25高三上·福建·月考）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 一、单选题 1．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 4．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 7．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·重庆·期末）下列函数在定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·河南南阳·月考）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在定义域上有2个零点，则的取值范围为 B．当时，有最大值且最大值为 C．一定存在极值 D．若，且，则 三、填空题 12．（24-25高二下·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高二下·河北唐山·期末）设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二下·天津河东·月考）设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 17．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 18．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线的单调增区间； (3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； 19．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 函数的单调性、极值与最值 【人教A版】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1】（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解答过程】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 【变式1.1】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【解答过程】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【解题思路】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以， 则，， 所以切点为，切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式1.3】（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可 【解答过程】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【解答过程】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·吉林长春·月考）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导并根据其单调区间得出不等式，求得相应最小值可得结果. 【解答过程】由题意可知， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得，所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是． 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D. 【题型3 函数单调性的应用——比较大小】 【例3】（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过构造函数并利用导数判断函数单调性，结合单调性比较大小. 【解答过程】，，. 设，，则， 因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 设，，则，因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 故. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二下·广西河池·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过构造函数，利用函数的单调性来比较、、的大小. 【解答过程】设，对其求导，可得. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，函数单调递增； 当时，，，函数单调递减. 已知，，. 因为，且在上单调递增，在上单调递减，所以，. 又因为，，且在上单调递减，，所以，即. 综上可得，即. 、、的大小关系为. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数以及，利用导数求解单调性，即可比较以及. 【解答过程】由题得， 构造函数，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即，所以. 构造函数，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 综上，. 故选：B. 【题型4 函数单调性的应用——解不等式】 【例4】（24-25高二下·广东东莞·期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造，利用导数结合奇偶性判断其单调性，再将合理转化并分类讨论，求解的取值范围即可. 【解答过程】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，， 则，则函数为偶函数， 由偶函数性质可得函数在上单调递增，又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为，故D正确. 故选：D． 【变式4.1】（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解答过程】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【解答过程】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由可得，将所求不等式转化为，利用单调性可得答案. 【解答过程】令，则， 因为， 所以当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 因为，所以， 所以，故， 因为等价于，等价于， 所以，故，即不等式的解集是. 故选：B. 模块二 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型5 利用导数求函数的极值（点）】 【例5】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【解题思路】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【解答过程】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二下·广东江门·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 【答案】D 【解题思路】根据导函数图象求出函数的单调区间，然后根据极值点和极值的概念逐项判断即可. 【解答过程】由图可知时，，所以函数在上单调递增，故A错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增， 不是函数的极小值点，故B错误； 由B选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值， 故C错误；D正确． 故选：D. 【变式5.3】（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【解答过程】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 【题型6 根据极值（点）求参数】 【例6】（24-25高二下·海南海口·月考）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【解答过程】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二下·湖南·月考）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 【答案】A 【解题思路】求出导函数，由导数在极值点处的函数值为零可求或，检验后可得参数的值. 【解答过程】由题知在时取得极大值， ，解得或， 当时，， 由，在区间上单调递增； 由在区间上单调递减． 此时在时取得极大值，满足题意， 当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去． ． 故选：A. 【变式6.2】（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式6.3】（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数极值点和函数导数之间的关系，判断函数导数有两个零点时的参数范围，将两个极值点带入导函数，求得两个参数方程，根据换元法，构造新的函数，根据函数单调性，求出函数范围，判断结果. 【解答过程】由题意得，当函数有两个极值点时，即有两个不相等的根， 令，则， 可知当时，，在上单调递增，至多只有一个解，不符合题意； 当时，令，解得， 可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有两个零点，符合题意，即，解得时，有两个零点； 可得，即， 作商得，令，因为，即，所以，变形得， 可得，即，则， 令，， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以在上，所以在上单调递增， 因为，所以在上，即在上，则在上单调递增， 所以，可知， 当时，即，，因为，所以， 综上所述：； 故选：B. 模块三 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型7 利用导数求函数的最值】 【例7】（24-25高三上·山东济南·月考）函数在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，可得答案. 【解答过程】由，求导可得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二下·陕西榆林·期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】先利用导数确定函数的单调性，从而确定，然后再利用导数确定的最大值. 【解答过程】因为，所以的定义域为，， 当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意； 当时，令得，此时单调递减， 令得，此时单调递增， 所以当时，取得最小值，即， ， 令得，此时单调递增，令得，此时单调递减， 所以当时，取得最大值，即. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【解题思路】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【解答过程】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时， 在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 【变式7.3】（24-25高三下·四川内江·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【解题思路】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性； （2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值. 【解答过程】（1）由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 【题型8 已知函数最值求参数】 【例8】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围. 【解答过程】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】A 【解题思路】先求导，再分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可求出. 【解答过程】的定义域为， 当时，单调递增，无最大值，不合题意； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以 ，即， 又在上单调递增，， 所以． 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【解答过程】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 【变式8.3】（24-25高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意得． 当时，得或，当时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为， 即时，函数取得极小值，    当时，即， 解得或， 故要使函数在区间上存在最小值， 需有，解得， 即实数a的取值范围为 故选：A． 【题型9 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例9】（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B. 【变式9.1】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【解题思路】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【解答过程】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式9.2】（24-25高二下·广东·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)3 (2)⋅ 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【解答过程】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为. 【变式9.3】（24-25高三上·福建·月考）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 【解题思路】（1）对函数求导得出其单调性可求出极值； （2）解法一：依题意可得恒成立，构造函数求出其最小值可得结果； 解法二：依题意恒成立，可得，当时对函数进行验证即可； （3）当时由零点存在定理即可得存在使得，可得为的极小值点，构造函数即可求出的最大值为. 【解答过程】（1）当时，，则 令，解得 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）解法一：由， 若单调递增，必有恒成立； 令，有， 当时，由已知单调递增，但，不合题意 当时，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为，有 又由函数单调递减，且. 又由，故a的最大值为. 解法二：，依题意恒成立， 所以，故 因为，所以， 当时，， 设，则 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 所以满足题意，即的最大值为； （3）当时，易知单调递增. 易知， 所以存在使得，即，为的极小值点， 所以，其中， 设，则 整理得 因为，， 所以当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 一、单选题 1．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可求解. 【解答过程】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【解题思路】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【解答过程】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【解题思路】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【解答过程】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 4．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【解答过程】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 5．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解答过程】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解题思路】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证可求得的值. 【解答过程】因为，所以 ． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时， ， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1． 故选：D. 7．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【解答过程】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 8．（24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集． 【解答过程】根据题意，构造函数，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减. 因为，所以，故. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递增，所以. 当时，因为在上为奇函数，所以，满足. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递减，所以. 综上，的解集为. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·重庆·期末）下列函数在定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案． 【解答过程】对于A中，函数，可得 ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以A不符合题意, 对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合， 对于C中，,则，故单调递增；故C符合， 对于D，函数，可得，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以D不符合题意； 故选：BC． 10．（24-25高二下·河南南阳·月考）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【解题思路】借助导数可先得到函数的单调性，结合题意与函数单调性计算即可得解. 【解答过程】， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由函数在上有最小值， 则在上有最小值， 又，故有， 即，解得，故选项中BC符合、AD不符. 故选：BC. 11．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在定义域上有2个零点，则的取值范围为 B．当时，有最大值且最大值为 C．一定存在极值 D．若，且，则 【答案】AD 【解题思路】根据函数导数和函数单调性、零点、极值、最大值之间的关系，逐个判断各选项正误. 【解答过程】对于选项A：令，则在上有两个解， 令，令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，， 因为，且当时，且， 所以的取值范围为，所以A正确； 对于选项B：，令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，，所以B错误； 对于选项C：由B得，当时，存在极大值， 当时，易得恒成立，故在定义域内单调递增，无极值，所以C错误； 对于选项D：若，则在上单调递增，在上单调递减，因为，不妨设， 设， 则， 所以在上单调递增，所以， 又，所以，即，又，所以， 因为，且在上单调递减，所以，即，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二下·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解题思路】求定义域，求导，解不等式，求出单调递减区间. 【解答过程】的定义域为， ， 令得，故的单调递减区间为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】求出导函数，由题意必有两个相异实根，利用判别式法列不等式求解即可. 【解答过程】由求导得 ． 因为函数在上既有极大值也有极小值， 所以必有两个相异实根，即， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 14．（24-25高二下·河北唐山·期末）设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题意可设，判断其单调性，将化为，结合函数单调性，即可求得答案. 【解答过程】设，则，， 可知在R上单调递减， 由，得，即， 故，则，即使得成立的的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·天津河东·月考）设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间. 【解答过程】（1）因为，则，解得，故， 所以，所以， 此时，曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 16．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【解题思路】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【解答过程】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以 ，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又 ，所以． 即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 17．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. (2)最大值为，最小值为. 【解题思路】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答. 【解答过程】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 18．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线的单调增区间； (3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求导可得斜率，即可由点斜式求解切线方程； （2）求导，利用导数的正负即可求解； （3）根据单调性与导数的关系，将问题转化为在恒成立，即可求解. 【解答过程】（1）求导，得， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令， 求导，得，由，得， 所以的单调递增区间是. （3）设函数， 求导，得， 因为函数在区间上为单调递增函数， 所以在上恒成立， 即恒成立. 又因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以. 19．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的极小值点为，代入函数求解； （2）首先求出的范围，再通过构造对称函数证明，根据的范围即可证明。 【解答过程】（1），当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值， 由，解得或（舍去）. 故的值为。 （2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $