5.3函数的单调性 讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数的单调性核心知识点，系统梳理增函数、减函数的定义（任意x₁<x₂比较函数值大小），单调区间的含义，用定义证明的五步步骤（取值、作差、变形、定号、结论）及复合函数单调性的“同增异减”法则，为后续函数性质学习搭建递进式支架。 资料通过“知识点盘点”填空强化概念抽象（数学眼光），“分知识点精练”结合y=x、y=x²等实例训练推理（数学思维），“重难点梳理”明确作差变形策略（数学语言）。课中助力教师突出重点，课后学生可通过练习与解析查漏补缺，提升学习效果。

5.3 函数的单调性 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解增函数、减函数的概念，能用定义判断函数在某区间上的单调性； 理解单调区间的含义，能结合图象写出函数的单调区间； 掌握用定义证明函数单调性的步骤（取值—作差—变形—定号—结论）； 了解复合函数单调性的判断（同增异减）。 【重难点梳理】 类别 内容要点 突破策略 重点 单调性定义、单调区间 紧扣“任意 x1<x2，比 f(x1) 与 f(x2)” 重点 用定义证明单调性的步骤 作差后因式分解或配方再定号 难点 作差后的变形与定号 化为积或完全平方式判断符号 难点 复合函数单调性 “同增异减”，分别看内外层 一、教材知识点盘点 1. 增函数与减函数 设函数 f(x) 的定义域为 I，对于 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁<x₂： 若都有 f(x₁) ___【1】___ f(x₂)，则称 f(x) 在区间 D 上是增函数； 若都有 f(x₁) ___【2】___ f(x₂)，则称 f(x) 在区间 D 上是减函数。 2. 单调区间 如果函数 y=f(x) 在区间 D 上___【3】___或___【4】___，那么 D 叫做函数的___【5】___。 3. 单调性证明步骤 用定义证明单调性的五个步骤：①___【6】___；②___【7】___；③___【8】___；④___【9】___；⑤___【10】___。 4. 复合函数的单调性 对于复合函数 y=f(g(x))：当外层函数与内层函数单调性___【11】___时，复合函数为增函数；当二者单调性___【12】___时，复合函数为减函数（简称“同增异减”）。 二、随堂练习 1. 结合图象说出 y=x、y=-x、y=x² 在相关区间上的单调性。 2. 用定义证明 f(x)=2x+1 在 R 上是增函数。 3. 函数 y= 在 (0,+∞) 上单调______；在 (-∞,0) 上单调______。 4. 写出 y=x² 的单调区间：递减区间______，递增区间______。 5. 已知 f(x) 在 [0,+∞) 上递增且 f(1)=2，比较 f(0.5) 与 f(1) 的大小。 三、分知识点精练 知识点1：单调性概念 1. 函数 f(x)=2x 在 R 上（　） A. 递增 B. 递减 C. 先增后减 D. 常函数 2. 函数 f(x)=-3x+1 在 R 上是______函数（填“增”或“减”）。 3. 下列函数在区间 (0,+∞) 上递增的是（　） A. y= B. y=-x C. y=x+1 D. y=-2x 4. 函数 y=x² 在 (-∞,0) 上______，在 (0,+∞) 上______。 知识点2：单调区间（结合图象） 5. 函数 y=x²-2x 的递减区间是______，递增区间是______。 6. 作出 y=-(x-1)² 的示意图，并写出它的单调区间。 7. 关于函数 y= 的单调性，下列说法正确的是（　） A. 在 R 上递减 B. 在 (0,+∞) 上递减 C. 在 (-∞,0)∪(0,+∞) 上递减 D. 在 (-∞,0) 与 (0,+∞) 上分别递减 8. 若 f(x) 在 [0,2] 上递增，且 f(0)=1，f(2)=5，则 f(1) 的取值范围是______。 知识点3：用定义证明单调性 9. 用定义证明 f(x)=3x-2 在 R 上递增。 10. 用定义证明 f(x)=x² 在 (0,+∞) 上递增。 11. 用定义证明 f(x)= 在 (0,+∞) 上递减。 12. 判断 f(x)=-x² 在 (0,+∞) 上的单调性，并用定义证明。 知识点4：复合函数单调性 13. 函数 y=√(x-1) 的单调递增区间是______。 14. 函数 y= 在 (-1,+∞) 上单调______（填“增”或“减”）。 15. 已知 y=f(u) 在 R 上递增，u=g(x) 在 R 上递增，则复合函数 y=f(g(x)) 在 R 上______（填“增”或“减”）。 16. 函数 y=(x-2)² 在 (-∞,2) 上______，在 (2,+∞) 上______。 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 <（小于）　　解析：增函数满足：若 x₁<x₂，则 f(x₁)<f(x₂)。 【2】 >（大于）　　解析：减函数满足：若 x₁<x₂，则 f(x₁)>f(x₂)。 【3】 单调递增　　解析：在区间 D 上递增，则 D 为递增区间。 【4】 单调递减　　解析：在区间 D 上递减，则 D 为递减区间。 【5】 单调区间　　解析：函数的递增或递减区间统称单调区间。 【6】 取值　　解析：定义法五步：取值、作差、变形、定号、结论。 【7】 作差　　解析：同上。 【8】 变形　　解析：同上（常化为积或商）。 【9】 定号　　解析：同上（判断 f(x₁)-f(x₂) 的正负）。 【10】 结论　　解析：同上（得出单调性结论）。 【11】 相同（同增或同减）　　解析：复合函数“同增异减”：内外层单调性相同时为增函数。 【12】 相反（一增一减）　　解析：内外层单调性相反时为减函数。 四、答案与解析 随堂练习： 1. y=x 在 R 上递增；y=-x 在 R 上递减；y=x² 在 (-∞,0] 递减、[0,+∞) 递增。 2. 解：任取 x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=(2x₂+1)-(2x₁+1)=2(x₂-x₁)>0，故 f(x₂)>f(x₁)，递增。 3. 递减；递减。 4. 递减区间 (-∞,0]，递增区间 [0,+∞)。 5. f(0.5)<f(1)（因 0.5<1 且递增）。 分知识点精练： 1. A　解析：斜率 2>0，递增。 2. 减　解析：斜率 -3<0。 3. C　解析：A、B、D 均递减。 4. 递减；递增。 5. (-∞,1]；[1,+∞)　解析：y=x²-2x=(x-1)²-1，对称轴 x=1。 6. 开口向下，顶点 (1,0)；递增区间 (-∞,1]，递减区间 [1,+∞)。 7. D　解析：y= 在 (-∞,0) 与 (0,+∞) 上分别递减，不能并在一个区间上称“递减”。 8. [1,5]　解析：由递增性 f(0)≤f(1)≤f(2)。 9. 解：任取 x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=3(x₂-x₁)>0，故递增。 10. 解：任取 0<x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=x₂²-x₁²=(x₂-x₁)(x₁+x₂)。因 x₂>x₁>0，故 x₂-x₁>0 且 x₁+x₂>0，所以 f(x₂)-f(x₁)>0，递增。 11. 解：任取 0<x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=。因 0<x₁<x₂，故 x₁-x₂<0，x₁x₂>0，于是 f(x₂)-f(x₁)<0，即 f(x₂)<f(x₁)，所以 f(x)=1/x 在 (0,+∞) 上递减。 12. 解：递减。任取 0<x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=-(x₂²-x₁²)=-(x₂-x₁)(x₁+x₂)<0，故 f(x₂)<f(x₁)，递减。 13. [1,+∞)　解析：内层 x-1 在 [1,+∞) 由 0 增到 +∞，外层 √u 递增。 14. 减　解析：可看作 与 u=x+1 复合，二者单调性相反。 15. 增　解析：同增异减。 16. 递减；递增　解析：y=(x-2)² 对称轴 x=2，左减右增。 学科网（北京）股份有限公司 $