专题01 函数的概念与表示方法（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

专题01 函数的概念与表示方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同一函数的判断 1 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 2 题型三、求函数的值域 3 题型四、分段函数的图像与求值 5 题型五、求函数的解析式 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同一函数的判断 1.（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4.下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与. ②与. ③与. ④与. A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 5.函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6.若函数的定义域是，则函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 8.函数的定义域为，则的定义域为 . 题型三、求函数的值域 9．函数的值域是 . 10．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．0 11．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型四、分段函数的图像与求值 13．作出分段函数的图象． 14．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   15．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 16．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 题型五、求函数的解析式 17．已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 18．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，若，则实数a的值为（ ） A．5 B．10 C．11 D．2 20．已知，则函数f(x)的解析式为___________. 1．下列各组函数表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 4．已知二次函数满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数若，则的值为（    ） A．1 B．或2 C．1或2 D．2 6．已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A． B． C．0 D． 7．已知函数，则 . 8．已知，则解析式为 ，定义域为 . 9．已知函数满足，则的解析式为 ． 10．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 11．求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 12．根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知 (3)已知是二次函数，且满足 13．已知函数. (1)写出的分段函数形式的解析式； (2)画出函数的图象； (3)当时，求实数的取值范围. 14．已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的概念与表示方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同一函数的判断 1 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 2 题型三、求函数的值域 3 题型四、分段函数的图像与求值 5 题型五、求函数的解析式 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同一函数的判断 1.（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为， 函数中，，解得，的定义域为，A不是； 对于B，，且与的定义域都为，B是； 对于C，当时，；当时，；又当时，， 因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是. 故选：BC 2.（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】对于选项A：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同， 所以它们是同一个函数； 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数； 对于选项C：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同， 所以它们是同一个函数； 对于选项D：函数的定义域为或，函数的定义域为， 它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故选：AC 3.（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 4.下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与. ②与. ③与. ④与. A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【详解】①中，函数的定义域为，函数的定义域为， 但与的对应关系不一致，所以①不是同一函数. ②中，函数与的定义域都是， 但与的对应关系不一致，所以②不是同一函数. ③中，函数与的定义域都是， 且与的对应关系一致，所以③是同一函数. ④中，函数与的定义域和对应关系都一致， 所以④是同一函数.故选：C. 题型二、求函数的定义域（含抽象函数） 5.函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用函数有意义列出不等式组求解即得． 【详解】 要使得函数有意义，必须满足， 解得：或， 故选：D． 6.若函数的定义域是，则函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据已知可得函数的定义域需满足 解得，即函数的定义域是． 7.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故选：D 8.函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【详解】由于函数的定义域为，则， 所以函数的定义域为， 则函数中， 所以，即的定义域为.故答案为： 题型三、求函数的值域 9．函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用配方法求出函数值域即可. 【详解】显然，，则当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 10．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】C 【分析】根据一次函数单调性，分类讨论，解出即可 【详解】当时，由题意得，则； 当时，，则； 综上，. 故选：C. 11．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 12．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，结合换元法和二次函数性质即可求解. 【详解】设．则．∵，∴． 则． ∵图象的对称轴为直线．当时，取得最大值1； 当时，取得最小值，函数的值域是， 故选：B． 题型四、分段函数的图像与求值 13．作出分段函数的图象． 【答案】答案见解析 【分析】 先化简函数解析式，再根据解析式画函数的图象即可 【详解】 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即 作出图象如下： 14．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】 因为，可得函数的大致图像如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像. 故选：C 15．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B 16．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 题型五、求函数的解析式 17．已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 18．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令为，则，然后与联立可求出 【详解】令为，则， 与联立可解得，． 故选：D． 19．已知函数，若，则实数a的值为（ ） A．5 B．10 C．11 D．2 【答案】C 【分析】 由换元法求得函数的解析式，代入即可得解. 【详解】 令，则， 所以，即， 所以，解得. 故选：C. 20．已知，则函数f(x)的解析式为___________. 【答案】 【分析】 以代替得出，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析式． 【详解】 ∵，① ∴，② ①×3﹣②×5，得： ﹣16f(x)=﹣10x﹣2， ∴ 故答案为： 1．下列各组函数表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A，的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B，，两者定义域和对应法则均相同，故两个函数是同一个函数，故正确； 对C，定义域为的定义域为，不是同一函数，故C错误； 对D，的定义域为，的定义域为，二者的定义域不同，不是同一函数，故错误. 故选：B 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为， 故选：D. 3．已知函数则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】因为函数， 所以． 故选：A 4．已知二次函数满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法可求得函数的解析式. 【详解】令，则，所以， 故. 故选：A. 5．已知函数若，则的值为（    ） A．1 B．或2 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】分，和三种情况求解即可. 【详解】当时，由，得，解得，不满足，舍去； 当时，由，得，解得或（舍去）； 当时，由，得，解得，不满足，舍去； 综上所述：的值为2. 故选：D 6．已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据函数和的解析式，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数和， 因为，所以， 所以. 故选：B. 7．已知函数，则 . 【答案】3 【分析】由分段函数解析式即可直接求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以. 故答案为：3 8．已知，则解析式为 ，定义域为 . 【答案】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】， 令故， 故，， 故答案为：； 9．已知函数满足，则的解析式为 ． 【答案】. 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为， 所以，所以， 则的解析式为. 故答案为：. 10．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 11．求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 12．根据下列条件，求的解析式. (1)已知 (2)已知 (3)已知是二次函数，且满足 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用换元求解，令，然后表示出，代入化简即可； （2）利用方程组法求解，再构造一个关于的方程，然后解方程组可求得结果； （3）利用待定系数法求解，令，然后由已知条件列方程组求解. 【详解】（1）令，则，， 所以由， 得， 所以； （2）由， 得， 所以， 所以， 解得； （3）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 13．已知函数. (1)写出的分段函数形式的解析式； (2)画出函数的图象； (3)当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接对函数化简即可； （2）分别画出和的图象，从而可得的图象； （3）分和两种情况解不等式即可. 【详解】（1）， （2）的图象如图所示， （3）当时，由，得，，得， 当时，由，得，，得， 综上，实数的取值范围为. 14．已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）分别令，可得答案； （2）猜测，利用函数性质能进行证明； （3）由，分组求和可得答案. 【详解】（1）因为，所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知， 所以原式， . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $