精品解析：内蒙古自治区赤峰第四中学2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题

赤峰第四中学2025-2026学年第一学期月考试题高一数学 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 若函数（且）的图像恒过定点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ 　） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “”是“”成立的充分条件 C. 命题，则 D. “”是“"必要条件 11. 已知函数，下列说法正确是（ ） A. 函数是奇函数 B. 关于的不等式的解集为 C. 函数在上是增函数 D. 函数的图象的对称中心是 第II卷（非选择题92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：（1）已知正数a，b满足，则最小值为__________. （2）__________. 13. 的值域是______ 14. 已知函数是R上的奇函数，函数在上是减函数，，则不等式的解集______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）当时，求； （2）是的充分条件，求a的取值范围. 16. 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题： （1）写出两城市的人口总数y(万人)与经过年数x(年)的函数关系式； （2）计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)； （3）对两城市人口增长情况作出分析. 参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430. 17. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 18. 已知定义域是函数（a）是奇函数. （1）求a值； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）设，若关于t的不等式有解，求实数k的取值范围 19. 已知函数()为偶函数. （1）求的值; （2）若函数,，是否存在实数使得的最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2025-2026学年第一学期月考试题高一数学 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中阴影部分表示求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示， ，则. 故选：A 2. 已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值 【详解】令，由图象过(2,) ∴，可得 故 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题 3. 若函数（且）的图像恒过定点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据真数为1求解定点可得，进而可得 【详解】函数过定点， 由图象所过的定点，知：，解得，且， 所以. 故选：A 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到递增区间. 【详解】的图象如下： 显然的单调递增区间为. 故选：D 6. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性与奇偶性判断即可. 【详解】因为在上单调递减，故错误； 对于函数，，为偶函数，故错误； 设，则， 因为， 所以为奇函数. 易知在单调递增，单调递增， 所以在上单调递增，故正确； 因为，定义域为，所以是非奇非偶函数，故错误. 故选：. 7. 若函数是上减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键. 8. 定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 根据＜0，得到在上递减，然后由，得到， 将不等式转化求解. 【详解】因为定义在上的函数满足：＜0， 所以在上递减， 因， 所以， 因为不等式， 所以， 所以， 所以， 即， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A；利用作差法比较出大小可判断B；举出反例可判断CD. 【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 故选：AB. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “”是“”成立的充分条件 C. 命题，则 D. “”是“"的必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】将分式不等式转化为求解，判断A;根据充分条件以及必要条件的概念可判断;根据全称命题的否定可判断C. 【详解】对于A，不等式即， 即， 则不等式的解集是，A正确； 对于B, 当时，一定有成立， 故“”是“”成立的充分条件，故B正确； 对于C，命题，则，故C错误； 对于D, 当时，不一定成立，当时，一定成立， 故“”是“"的必要条件，D正确， 故选： 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 关于的不等式的解集为 C. 函数在上是增函数 D. 函数的图象的对称中心是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：根据奇偶性的定义判断即可； C选项：根据已知函数的单调性即可得到得单调性； D选项：根据，即可得到是的对称中心； B选项：利用对称性和单调性解不等式即可. 【详解】A选项：的定义域为R，关于原点对称，，同时，所以不是奇函数也不是偶函数，故A错； C选项：因为函数，在R上单调递增，所以在R上单调递增，故C正确； D选项：，所以是的对称中心，故D正确； B选项：原不等式可整理为，即，则，解得，故B正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：（1）已知正数a，b满足，则的最小值为__________. （2）__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）考查基本不等式中“1”的妙用方法，按步骤进行计算即可； （2）根据指数与对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）. 故答案为：；. 13. 的值域是______ 【答案】 【解析】 【分析】首先求的范围，再根据指数函数的性质，求函数的值域. 【详解】，， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 14. 已知函数是R上的奇函数，函数在上是减函数，，则不等式的解集______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数，得=0，结合函数单调性和奇偶性，分别求出f（x）>0和f（x）<0时x的取值范围，进而求解. 【详解】根据题意，函数是R上的奇函数，且，则， 又由函数在上是减函数， 则在区间上，，在区间上，， 又由函数为奇函数，则在区间上，，在区间上，， 不等式或， 则 ， 即不等式的解集为； 故填：． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）当时，求； （2）是的充分条件，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数定义域求得集合，代入求得集合，由集合的交集运算得结果； （2）由题意可知，讨论集合若为空集以及集合不为空集两种情况，建立不等式组，求得a的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得有意义，则且， 解得，即， 当时，，故； 【小问2详解】 由题意可知， 则①时，，解得. ②时，，解得，， 综上，a的取值范围为. 16. 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题： （1）写出两城市的人口总数y(万人)与经过年数x(年)的函数关系式； （2）计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)； （3）对两城市人口增长情况作出分析. 参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430. 【答案】（1）甲城市人口总数，乙城市人口总数； （2）见解析 （3）甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式，一个是指数型，一个是线性；（2）列出表格，分别求出10年、20年、30年后两城市的人口总数；（3）指数型增长与线性增长速度的差异性比较. 【小问1详解】 1年后甲城市人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后甲城市人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3年后甲城市人口总数为100×(1＋1.2%)3； …； x年后甲城市人口总数为＝100×(1＋1.2%)x. x年后乙城市人口总数为＝100＋1.3x. 【小问2详解】 10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示. 10年后 20年后 30年后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 126 139 【小问3详解】甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异. 17. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 18. 已知定义域是的函数（a）是奇函数. （1）求a的值； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）设，若关于t的不等式有解，求实数k的取值范围 【答案】（1） （2）在上为增函数，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用求解，并用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用单调性和奇偶性解不等式，再利用参变分离求参. 【小问1详解】 由为定义在上奇函数，可知，即，解得, 则，则， 定义域关于原点对称，则是奇函数； 故. 【小问2详解】 在上为增函数，证明如下： 对于任意实数，不妨设， 则， 因为在上递增，且，所以， 所以，所以，故在上为增函数； 【小问3详解】 由，得， 因在上为增函数，则， 即， 因，则， 在上单调递减，在上单调递增， 且，则， 因关于t的不等式在上有解，则即可， 故实数k的取值范围为. 19. 已知函数()为偶函数. （1）求的值; （2）若函数,，是否存在实数使得的最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】（1）（2）存在使得最小值为0. 【解析】 【分析】（1）根据函数是偶函数，得，代入整理得，即对一切恒成立，即可求解的值； （2）由（1）知，，令，则，分类求得函数的单调性和最小值，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，函数是偶函数可得， 所以 ， 即，即对一切恒成立，解得 . （2）由（1）知，，令，则， ①当时，在单调递增，∴，不符； ②当时，图像对称轴，则在单调递增， ∴，∴（舍）； ③当时，图像对称轴， （i）当，即时，，∴，∴； （ii）当，即时，，∴，∴（舍） 综上，存在使得最小值为0. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性与最值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的应用，以及利用换元法，合理分类讨论得出函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $