专题01 集合及其运算（期末复习讲义，5大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期人教版A版

专题01 集合及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1.1 元素与集合的关系 能判断元素与集合的从属关系，并根据关系求解参数。 常与集合互异性结合考查，基础题型，易因忽略检验而出错。 1.2 集合的表示法 能根据问题选择列举法或描述法表示集合，并实现两种表示法之间的转化。 描述法理解易错，需注意代表元素的含义与取值范围。 1.3 集合的三大特性 能利用确定性、互异性、无序性判断集合的合法性，并求解相关参数问题。 小题中常设“互异性”陷阱，忽略易导致多解或错解。 1.4 集合间的关系 能判断集合间的包含与相等关系，会求子集、真子集个数，理解空集的特殊地位。 空集是常考易漏点，分类讨论时常因忽略空集导致失分。 1.5 集合的交、并、补运算 能进行集合的混合运算，并运用数轴或Venn图解决含参不等式集合的运算问题。 高频考点，数轴分析参数范围是常见题型，也是学生的主要难点。 知识点01 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 属于 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 不属于 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N N*或（N＋） Z Q R C 知识点02 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] ______ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的 真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解. 知识点03 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 或属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   A∪B 交 集 由所有属于集合A 且属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     A∩B 补 集 由全集U中 不属于 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     知识点04 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B = B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B = B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 知识点05 德摩根公式 知识点06 容斥定理之集合中元素个数 题型一 元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 注意：结合互异性解题 【典例1】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 【典例2】（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，即可根据求解. 【详解】因为，所以， 故选：C 【变式1】（24-25高一上·山东济南·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合A，再应用元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为集合，则，所以A错误，B正确； 空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解绝对值不等式求集合，再由包含关系判断各项元素与集合的关系即可. 【详解】由题设，则或， 由，显然有、、、， 所以A、B、D错，C对. 故选：C 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 题型二 集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】列举集合含有两个元素的子集，可得结果. 【详解】因为集合含有两个元素的子集有：，，共3个， 所以集合有3中情况. 故选：C 【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【分析】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【详解】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B 【典例3】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 【典例4】（24-25高一上·广东汕头·期末）设集合． (1)若，求． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出时集合以及，然后求它们的并集；（2）根据分情况讨论集合的情况来确定的取值范围. 【详解】（1）对于不等式，解得或. 那么. 当时，集合. . （2）当时，满足. 此时，解这个不等式得. 当时，即. 因为，所以.解得. 综上，的取值范围是. 【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 个． 【答案】16 【分析】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数. 【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 【变式2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再由并集计算可得结果； （2）根据集合的包含关系解不等式可得的取值范围． 【详解】（1）因为，所以 又因， 所以 （2）因为，所以有， 解得， 所以的取值范围为． 【变式4】（24-25高一上·海南·期末）设，关于的不等式的解集为. (1)求； (2)设集合，其中，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集； （2）由先求，再利用，建立不等式，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）不等式，即. 因为，所以， 所以由，可得， 即. （2）因为，所以，所以， 由（1）得， 要使，则需， 整理得，解得， 又， 所以的取值范围为. 题型三 集合间的基本运算 【典例1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式，再利用交集定义求解即可. 【详解】由可得，即，即得， 则. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查集合的补集运算. 【详解】由，则． 故选：D. 【典例3】（24-25高一上·山东潍坊·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出指数函数值域化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用并集的定义求解. 【详解】当时，，即， 函数有意义，则，即， 所以. 故选：B 【典例4】（24-25高一上·北京顺义·期末）已知全集，集合. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出，结合并集概念计算；（2）求出，结合交集概念和得到取值范围. 【详解】（1）由，解得或， 可得或， 若，则，所以或. （2）由（1）知可得或， 所以， 又因为，若， 则实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合集合的补集和并集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，则 所以 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，根据分式不等式的等价条件可得集合，又可得集合，然后求交集即可. 【详解】根据题意，所以， 又，所以， 则. 故选：C. 【变式3】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 【变式4】（24-25高一上·广西玉林·期末）已知全集，集合，集合． (1)当时，求； (2)当时，若，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入集合B中，求出集合B,再利用集合的交并补即可求得结果. （2）由，可得，，再利用集合的包含关系即可求得结果. 【详解】（1）由题意得，解得，                     所以， 当时，，                         所以                         ，或                             （2）由，可得，．                             由（1）知， 当时， 由可得，，解得． 题型四 Venn图及容斥原理的应用 【典例1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D． 【典例2】（24-25高一上·江西赣州·月考）（多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据图验证B，C，D选项，再解出集合，利用交集补集定义判断A选项. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误； 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC. 【典例3】（24-25高一上·广东佛山·期末）（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD.    【点睛】方法点睛：本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合venn图即可求解； 【详解】 由图可知，，不是空集， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·期末）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性求集合B，再结合Venn图运算求解即可. 【详解】因为，且 图中阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 题型五 集合新定义 【典例1】（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【详解】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 【典例2】（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【分析】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 【典例3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”，且，求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】(1)集合是“封闭集”， 集合不是“封闭集”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【详解】（1）集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； （2）因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； （3）因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即 命题得证． 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 【变式1】（24-25高一上·湖南益阳·期末）如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据任意的，都有且，即可求解. 【详解】若，，则满足且， 取时，且，则且，即， 若令，则，此时取，经检验符合要求， 故答案为：（答案不唯一）. 【变式2】（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故； （2）取，此时，符合； （3）当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 【变式3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，. (2)存在，，或，，，，或，. 【分析】（1）根据交集及并集得出集合； （2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合. 【详解】（1）因为，解得，又，所以， 所以，. （2）（ⅰ）因为， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 综上，. （ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N， 因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则 ①若，，则M，N均不合题意； ②若，，其中m，n，p，q是奇数， 则，即. 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，， 且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； ③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解； ④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得（舍），或（舍）； 所以此时，或，， 同理，或，，也满足题意. 综上，存在，，或， ，，或，. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算得解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 2．（24-25高一上·广东广州·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的混合运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故选：C. 3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 4．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交、补集间的运算，直接求解即可. 【详解】由题知，， 所以. 故选：A 5．（24-25高一上·山西·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求出集合，再由可得答案. 【详解】由，得，即． 因为，由，得，所以． 故选：A. 二、多选题 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 7．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质列不等式，集合的包含关系列方程可求结论. 【详解】因为，， 所以且且， 所以且且且， 因为， 所以或， 所以或或（舍去）， 故选：BD. 三、填空题 8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知集合，集合，则的子集个数是 . 【答案】 【分析】化简集合，，根据交集定义求，再求其子集个数. 【详解】集合为由所有正奇数组成的集合，即， 集合， 所以， 所以集合的子集有，，，， 故的子集共有4个． 故答案为：. 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【详解】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高一上·陕西·期末）设全集为，集合，，其中． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合的补集和并集运算求解； （2）根据题意可得，分和讨论求解. 【详解】（1）当时，， 或，又， ． （2），， 当，即，即时，符合题意； 当，即时，，无解． 实数的取值范围是． 11．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解； （2）根据，得到，由求解. 【详解】（1）当时，集合，集合或， 所以； （2）由，得， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用列举法表示A，解出B，根据交集概念计算即可. 【详解】解：集合， 又， 则. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数性质求值域，由对数函数性质求定义域确定集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设， 对于，有，可得， 所以或， 故. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 二、填空题 6．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知集合，若，则实数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】先利用对数单调性解不等式化简集合B，然后根据集合的包含关系列出集合的区间端点满足的不等式，再求解求的最小值即可. 【详解】， 又，且，所以，所以实数a的最小值是2. 故答案为：2 7．（24-25高一上·上海·期末）已知集合对任意恒成立，，则 ． 【答案】． 【分析】用分段函数解决绝对值不等式恒成立问题，再解分式不等式，即可求得两个集合，再求交集即可. 【详解】设，. 则，所以， 故，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为7，所以，即. 由，得，即， 因为恒成立， 所以，解得或，即， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由可知，.易知；应用定义证明，可得或，分别讨论满足的条件即可 【详解】易知若，则，所以，，因此，若，则只需考虑 设，若，则 整理得，，即 所以，或 （1）当时，，所以成立； （2）当时，若，则方程无根，或方程的根也是的根. ①方程无根，则； ②若方程有两根，则， 显然，这两根不是的根，所以； ③若方程有且只有一个根，则，， 显然，是的一个根，此时，成立； 又因为集合，所以，方程有根， 所以，，所以，； 综上可得，. 故答案为： 三、解答题 9．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或3或5. 【分析】（1）求出，再求； （2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案. 【详解】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 10．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知集合. (1)求； (2)记关于x的不等式.的解集为M，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1),; (2) 【分析】（1）化简两个集合，再根据并集和补集得定义运算； （2）求解一元二次不等式得出，再结合数轴即可得出. 【详解】（1）或， 则，， 则； （2），得， 得，即， 因，则且，得， 则实数m的取值范围为. 11．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数的定义域为集合A，集合． (1)求集合； (2)设集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的定义域化简集合，解指数不等式化简集合，再利用并集的定义求解. （2）由（1）及交集的结果，结合集合的包含关系求解. 【详解】（1）由函数有意义，得，解得，则， 解不等式，得，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，即，满足，因此； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 12．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【详解】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而                      下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 二、解答题 10．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1.1 元素与集合的关系 能判断元素与集合的从属关系，并根据关系求解参数。 常与集合互异性结合考查，基础题型，易因忽略检验而出错。 1.2 集合的表示法 能根据问题选择列举法或描述法表示集合，并实现两种表示法之间的转化。 描述法理解易错，需注意代表元素的含义与取值范围。 1.3 集合的三大特性 能利用确定性、互异性、无序性判断集合的合法性，并求解相关参数问题。 小题中常设“互异性”陷阱，忽略易导致多解或错解。 1.4 集合间的关系 能判断集合间的包含与相等关系，会求子集、真子集个数，理解空集的特殊地位。 空集是常考易漏点，分类讨论时常因忽略空集导致失分。 1.5 集合的交、并、补运算 能进行集合的混合运算，并运用数轴或Venn图解决含参不等式集合的运算问题。 高频考点，数轴分析参数范围是常见题型，也是学生的主要难点。 知识点01 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 知识点02 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] _____ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑_____的情况，否则会造成漏解. 知识点03 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     补 集 由全集U中 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     知识点04 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 知识点05 德摩根公式 知识点06 容斥定理之集合中元素个数 题型一 元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 注意：结合互异性解题 【典例1】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 【变式1】（24-25高一上·山东济南·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 题型二 集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【典例3】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【典例4】（24-25高一上·广东汕头·期末）设集合． (1)若，求． (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 个． 【变式2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【变式4】（24-25高一上·海南·期末）设，关于的不等式的解集为. (1)求； (2)设集合，其中，若，求实数的取值范围. 题型三 集合间的基本运算 【典例1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·山东潍坊·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25高一上·北京顺义·期末）已知全集，集合. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·广西玉林·期末）已知全集，集合，集合． (1)当时，求； (2)当时，若，求实数k的取值范围． 题型四 Venn图及容斥原理的应用 【典例1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·江西赣州·月考）（多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·广东佛山·期末）（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·期末）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 题型五 集合新定义 【典例1】（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【典例2】（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【典例3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”，且，求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：． 【变式1】（24-25高一上·湖南益阳·期末）如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合 . 【变式2】（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知集合，集合，则的子集个数是 . 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 四、解答题 10．（24-25高一上·陕西·期末）设全集为，集合，，其中． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 11．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海普陀·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 二、填空题 6．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知集合，若，则实数a的最小值是 ． 7．（24-25高一上·上海·期末）已知集合对任意恒成立，，则 ． 8．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是 . 三、解答题 9．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 10．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知集合. (1)求； (2)记关于x的不等式.的解集为M，若，求实数m的取值范围. 11．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数的定义域为集合A，集合． (1)求集合； (2)设集合，若，求实数m的取值范围． 12．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 10．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $