专题03 函数的性质与抽象函数6大热点题型突破（热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题03 函数的性质与抽象函数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：函数的性质及抽象函数是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是函数的单调性和奇偶性，以及它们与抽象函数相结合． 预测2026年：函数内容可能还会以考察函数的单调性奇偶性相互结合为主，同时还需重点关注函数与方程零点的关系． 热点题型： 题型01 函数解析式及值域问题 题型02 函数的单调性和奇偶性综合应用 题型03 抽象函数的应用 题型04 奇函数加常数模型 题型05 具体函数抽象化解不等式 题型06 函数的单调唯一性的应用 题型01 函数解析式及值域问题 解｜题｜策｜略 求函数解析式常见方法：换元法，待定系数法，解方程组法 求函数值域常见方法：换元法，图像法，利用单调性，反解法等 【精选例题】 【例1】已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在条件式中以替代，得，代入原条件式，再令，求得答案. 【详解】由，代替,得，， 令，得，解得.故选：B. 【例2】若函数（且）值域是，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出时，函数值域，可知要使函数值域是，则当时，的值域为的子集，求解即可. 【详解】当时，，所以，要使函数值域是， 则当时，的值域为的子集，所以，解得：.故选：A. 【例3】定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（　　） A．1.9 B．2.38 C．1.62 D．0.9 【答案】A 【分析】画出的图象，根据在区间上的值域以及求得正确答案. 【详解】，画出和的图象如下：令，解得或.由于，所以的图象如下图所示： 令，解得或（舍去）， 令，解得，依题意，在区间上的值域为，结合图象可知，若，存在负值，不符合题意.若，则，.若，则，.若，则.综上所述，的最大值为.故选：A 【例4】（多选题）已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（   ）． A． B．， C．的值域为 D．的解集为 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断A选项，利用消元法可得函数解析式即可判断B选项，利用均值不等式可得值域即可判断C选项，解不等式，结合偶函数可判断D选项. 【详解】A选项：取，则，所以，A选项错误；B选项：由当时，，则，解得，当时，，则，由函数为偶函数，所以当时，，B选项正确；C选项：当时，，又函数为偶函数，所以当，，即函数的值域为，C选项正确；D选项：当时。令，解得或，又因为函数为偶函数，则的解集为，D选项错误；故选：BC. 【例5】已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 【答案】C 【分析】将解析式去绝对值写成分段函数，画出图像，分段令解方程，结合图像求得实数的取值范围. 【详解】 ，图象如下：令，解得，令 ，解得， 由图象可知m的取值范围为．故答案为：． 【例6】设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为，对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集，由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得，当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​，综上，的取值范围为​或，即，故选：A. 【例7】定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数在的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性求出与的表达式，进而得到的表达式，再通过换元法将转化为二次函数，最后根据二次函数的性质求出的值. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且①，所以②；联立①②解得： ，；所以，所以； 令，因为，所以，则，该二次函数的对称轴为，分情况讨论在上的最小值：当，即时，函数在上单调递增，则，解得，不满足，舍去；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，因为，所以.故选：C. 【例8】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以，当时，， 显然当时，在上单调递增，此时函数没有最小值，不合题意；当时，函数，存在最小值，符合题意；当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值，则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为，故选：B 【例9】已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解. 【详解】当时，（1），在（1）中将替换为，则   （2），在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且，故选：B. 【例10】（多选题）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意整数，有 C．设函数，则的值域为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】结合所给新定义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A错误；对B：设，则，对任意整数，，则，故B正确；对C：由，且，则，即，故的值域为，故C正确；对D：由，则，则有，即，又，故，则，即，故，即的解集为，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练】 1．若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，对分类讨论，求解函数的最值，即可根据不等式的性质求解. 【详解】作出的大致图象如下：当时，令，则，若，则在区间的最小值为，最大值为，此时在区间的最大值一定大于，不符合题意，舍去，若，则在区间的最小值为，最大值为，要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足，此时，若时，在区间的最小值为，最大值为，要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足，此时，则，若，则在区间的最小值为，最大值为， 要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足，此时， 当时，在区间的最小值为，此时在区间的最小值一定大于0，不符合题意，舍去，综上可知：的范围为，故选：D 2．定义在R上的函数满足，但不恒等于x，则下列说法正确的是（   ） A．可以是R上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数 C．可以是奇函数 D．可以是周期函数 【答案】C 【分析】根据待定系数法计算得出函数判断A，C，应用偶函数的定义判断B，应用周期定义计算判断D. 【详解】因为定义在R上的函数满足，设，所以，所以，所以或，所以或，但不恒等于x，所以不是R上的单调递增函数，A错误；因为，所以，所以不可以是偶函数，B错误；当时，满足，是奇函数，C正确；若是周期函数，设的周期为非零实数，则，所以与矛盾，D选项错误.故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用待定系数法得出函数解析式. 3．已知函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，令可得，进而利用累加法及等比数列的前和公式求解即可. 【详解】由，则，则，将以上各式相加得 ，所以.故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将条件转化为，进而利用累加法及等比数列的前和公式求解即可. 4．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】令求出，再代入计算判断A，根据的取值特征判断B，求出函数的定义域，再分离常数，即可判断C，根据绝对值三角不等式求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：因为，令，解得，所以，故A正确； 对于B：因为，所以能够取到所有的正数，所以，即的值域为，故B正确；对于C：定义域为，又，因为且，所以且， 所以且，所以的值域为，故C错误； 对于D：因为，当且仅当，即时取等号，所以，即的值域为，故D正确.故选：ABD 5．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为：,得,再由在上是单增函数进行求解即可. 【详解】依题意，因为，得，所以函数的定义域为：，得， 得而 ，因为在上都是单增函数，所以在上是单增函数，故在上是单调递增函数，得，综上知，函数的值域为.故答案为: 6．定义：表示中的较大者.若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出与的大小关系，从而确定的表达式，再结合函数单调性确定实数的取值范围. 【详解】令，解得或，所以当时，；当时，；当时，.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，，因为函数在区间上的值域为，所以，满足题意；当时，为保证在上的值域仍为，需在上满足，即，故.综上，实数的取值范围是.故答案为：. 7．已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由的取值范围，结合题意，得的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立.由，得.若，则函数，显然不符合题意；若，则.由函数在区间上的最大值是5，得：当时，，即，即.所以，.所以，所以.检验：当，则，所以函数，此时函数在区间上的最大值是5，符合题意；当，因为，所以， 所以函数，当且仅当，即,或时，取得最大值5，符合题意.综上所述，的取值范围是. 故答案是：. 题型02 函数的单调性和奇偶性综合运用 解｜题｜策｜略 ①常见函数的奇偶性：（偶函数），（奇函数），（奇函数），（奇函数），（奇函数） 【精选例题】 【例1】已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【答案】A 【分析】先确定函数定义域，再结合函数奇偶性的定义判断其奇偶性，最后结合复合函数的单调性，即可判断其单调性. 【详解】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称，则，所以为奇函数；由，因为在上单调递增，为增函数， 所以为增函数.故选：A 【例2】已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性列出不等式并结合函数的定义域即可求解. 【详解】偶函数在单调递增，故等价于且，， 解得.故选：B 【例3】已知函数，若实数，满足，则的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用奇函数定义与导数计算可得为奇函数及在上单调递增，则可得，再利用二次函数性质计算即可得解. 【详解】由，有，又定义域为，故为奇函数，则，，当时，，则， 当时，，故在上单调递增，故，有，当且仅当，时取等，故的最大值是.故选：C. 【例4】已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变为，结合构造函数，即可判断的单调性，由此将不等式可化为，结合函数单调性，即可得答案. 【详解】由题意知对于任意，，，不妨设，则， 由得，即，结合得，即，设，则该函数在上单调递增，且，则即，即，故，解得，即不等式的解集为，故选：C． 【例5】已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的值域为 C．存在实数，使得 D．函数的图像关于直线对称 【答案】C 【分析】写出函数定义域，然后验证是否成立，即可判断A选项，令，得到函数，求导数，得到函数在上单调性，即可对数函数单调性求得值域，判断B选项；整理化简，由函数值域判断方程是否有解即可判断C选项；验证是否恒成立即可判断D选项. 【详解】∵，∴，∴，即函数的定义域为，，，所以函数是奇函数，A选项错误； 令，，,当时，，，即，，∴，∴，当时，，∴函数在上单调递增，即，∴函数，B选项错误；，∵，∴， ∵，∴有解，C选项正确； ，此时不恒成立，D选项错误.故选：C. 【例6】（多选题）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 【答案】AC 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断B选项； 由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以函数的图象关于对称，故A正确；对于B选项，由可得或，所以函数的定义域为，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数，所以函数的单调递减区间是，故B错误；对于C选项，由B知函数的定义域为，当或时，函数值域为，所以函数的值域是，故C正确；对于D选项，由可得，解得或，所以不等式的解集是，故D错误.故选：AC. 【例7】（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．，都有 D．若在上有最大值，则b的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据奇函数的性质以及单调性逐项分析即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，故A正确；当时，，所以，故B错误；，则， ，故C正确；作出函数的图象，如图所示.当时，，由图知在区间上有最大值，满足题意；当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意；当时，由图知在区间上有最大值，满足题意.综上b的取值范围为，故D正确.故选：ACD. 【例8】已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，由题意函数在单调递增，再利用分段函数的单调性，列出不等式组求解. 【详解】若，当时，都有，即，令，可得，所以函数在单调递增.又，∴，解得，则实数的取值范围为.故答案为：. 【例9】已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】设，分析可知函数在上为增函数，且为偶函数，则在上为减函数，且得，将所求不等式变形为，然后分、、三种情况分析，结合函数的单调性求解即可. 【详解】不妨设，由可得，不等式两边同除得，令，则，故函数在上为增函数，因为函数为上的奇函数，由题意可知，函数的定义域为，，故函数为偶函数，故函数在上为减函数，因为，则，由可得，当时，，即满足不等式，当时，则，由可得，所以，解得；当时，则，由可得，，解得；综上所述，不等式的解集是.故答案为：. 【例10】已知函数，对于恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为奇函数，且在上为增函数，将所求不等式化为，可得出在上恒成立，即对任意的恒成立，结合可求出的取值范围. 【详解】因为的定义域为，，故函数为奇函数，当时，，则在上为增函数，故该函数在上为增函数，因为函数在上连续，故函数是上的增函数.由可得，则恒成立.即对任意的恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B. 【例11】已知函数，且为偶函数，则实数的值为（    ） A．1 B． C．5 D．1或 【答案】A 【分析】根据为偶函数，得，已知求解析式，根据偶函数的定义域对称得实数的值，并检验奇偶性即可. 【详解】若为偶函数，则，又，所以， 则的定义域满足，解得且，因为偶函数定义域关于原点对称，所以，即，当时，，则，符合为偶函数，故.故选：A. 【变式训练】 1．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由，若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，若，解得函数定义域为，若为奇函数，必有，解得；又，解得，故选：C. 2．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，.若关于的方程在上有解，则实数的最大值为（   ） A．23 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】由为奇函数可得，且函数在上单调递减，可得到，再由关于的方程在上有解求解即可. 【详解】由题意可得，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，故在上单调递减，已知，可知，所以方程等价于，所以，令，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，所以在区间上的值域，所以实数的最大值为.故选：C. 3．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题可得为偶函数，在上单调递增， 在上单调递减，然后分类讨论与1的大小关系可解不等式. 【详解】令，则为偶函数，，则在上单调递增，在上单调递减，对于，易得.若，，结合，可得；若，，结合，可得.综上可得：不等式的解集是.故选：D 4．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数的性质，通过构造新函数判断其奇偶性与单调性，再利用函数性质将不等式进行转化，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】由题设，令， 故是奇函数，又令，则，又易知为增函数，故为增函数.，即，，则， 对任意均成立，即，而，当且仅当时等号成立，.故选：B. 5．定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断在上单调递增，结合奇函数，判断在上也单调递增，然后化简不等式变成，然后分情况讨论，根据函数的单调性和零点求出解集即可. 【详解】因为对不等的正实数满足，设，则，所以，即，所以在上单调递增，因为是在上的奇函数，所以在上也单调递增，又，所以.不等式，即.当时，，因为在上单调递增，，所以，解得.当时，，因为在上单调递增，，所以，解得.综上，不等式的解集为. 故选：C. 6．已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据判定函数是奇函数，然后利用奇函数和单调性定义得函数在上单调递增，令，则函数是上单调递增的奇函数，所求不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，令，即，即，所以函数是奇函数；由对任意，，当时，都有，得函数在上单调递增；由函数是奇函数，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增.在不等式两边都加上得：，即，令，因为函数也是奇函数，在上单调递增， 所以函数是奇函数，且在上单调递增.则不等式可转化为，所以，解得.故选：D. 7．（多选题）已知定义在R上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①，都有；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（   ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【答案】ABD 【分析】根据已知三个条件，可以画出函数的简图，利用简图易于判断A项错误，B，C两项则可以利用图像特征布列不等式（组）解决；D项中，根据图像可判断函数有最大值即可判断. 【详解】由①知函数是偶函数；由②知函数在上是减函数；由③知函数 经过点.综合①②③知，该函数图像关于轴对称，且在轴右侧为减函数，又经过点和，故可作出函数简图如图.对于选项A，显然，故A项正确；对于选项B，由可得：或，由（Ⅰ）可得： 由（Ⅱ）可得：综合得，，故B项正确； 对于选项C，因函数是偶函数，且在上是减函数，故由可得，故有，解得：或，即：，故C项错误；对于选项D，因函数在上是增函数，在上是减函数，函数又是定义在上的，故而图像必与轴相交，即函数有最大值，故D项正确.故选：ABD. 8．（多选题）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于AD，通过举例可以判断，对于BC，由函数奇偶性和单调性即可判断. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增，由奇函数性质可知在R上单调递增，偶函数在区间上单调递增，对于A，取，则，A错，由题意，且，所以，又，所以，所以 所以，所以，B正确， 因为，，所以，C正确，对于D，取，，故D错误，故选：BC 9．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．的值域是 B．对任意，且，都有 C．对任意，都有 D．若规定，其中，则 【答案】BD 【分析】A：求出函数的解析式，根据单调性求值域；B C：作出函数图像，根据凸函数性质判断，根据单调性判断； D：代入化简，然后求解． 【详解】A：由，则函数是奇函数，当时，， 当时，；当时，，所以，即函数的值域为，故A错误； B，C：，作出图像：根据图像可知，在，满足，，在，由对称性可得：满足，故C错误；若对任意，都有，则等价为函数为增函数，因为当时，则为减函数，为减函数，则为增函数，又因为是奇函数，所以在上为增函数，故B正确； D：规定，，，，，， 所以，所以，故D正确.故选：BD. 10．已知函数的定义域为，对定义域内任意实数，都有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题求出，，再根据判断函数的奇偶性，利用单调性的定义判断函数的单调性，进而解不等式. 【详解】令，则，得；令，则，得；令，则，所以．又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数．因为，又1，所以．因为，所以原不等式等价于． 当时，，因为当时，，所以，因为， 所以，所以，所以函数在上是增函数，又函数为偶函数，所以原不等式又等价于，即或-16，解得或， 所以不等式的解集为． 11．若定义在上的函数满足则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】当时可求得；当时，，由已知关系式可得到，由二次函数性质可得单调递增区间. 【详解】当时，，，所以在上单调递增；当时，，所以，所以，所以在上单调递增，综上所述：的单调递增区间为，故答案为：. 12．（多选题）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，当时，有成立 C．任意实数，当时，都有成立 D．若，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据奇函数定义计算可得满足题意，即A正确，将函数改写成分段函数形式得出其单调性可判断B错误；将表达式变形为并根据已有分析可得C正确，结合函数单调性以及奇偶性解不等式可得D正确. 【详解】对于A，若，则为奇函数，又，，所以可得，即；此时，显然为奇函数，满足题意，即A正确；对于B，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在上单调递增，所以函数在上严格单调递增，因此不存在实数，当时，有成立，即B错误；对于C，将变形可得， 结合B中分析可知函数在上严格单调递增，因此与同号，即C正确；对于D，令，则可知为奇函数且单调递增，不等式即可化为,即，可得，所以，解得，即实数的取值范围为，所以D正确.故选：ACD 13．（多选题）下列有关函数的论述中，正确的有（   ） A．函数在上单调递减且是偶函数，则 B．偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集为 C．函数，则不等式的解集为 D．函数对，，且，都有，则不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A，确定函数图象关于对称，即可判断；对于B，由等价于或，即可判断，对于C，确定函数单调性和奇偶性即可判断，对于D，由的单调性即可判断. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以，所以函数图象关于对称，又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以，正确，对于B，因为偶函数在区间上单调递减且，所以在区间上单调递增且，所以的解集为：，的解集为：，所以等价于或，解得或，所以的解集为，B错误；对于C，由，定义域为，，奇函数，当时，在单调递增， 所以在上单调递增，所以等价于，即，解得，即解集为，C正确，对于D，由，可得 所以在为增函数，则等价于，即，即，解得，即不等式的解集为，故D正确，故选：ACD 题型03 抽象函数的应用 解｜题｜策｜略 ①抽象函数常用解题策略为赋值法，通过赋值法可以求出函数值，判断函数周期性，奇偶性 ②抽象函数单调性通常可通过定义法，特殊函数进行判断 【精选例题】 【例1】已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】令结合建立方程求得判断A；结合奇函数性质判断B；令结合建立方程求得判断C；先求得，然后由及基本不等式求解即可判断D. 【详解】令，由得，即，所以，故A错误；令，由得，即，所以，故C错误；若定义在上的函数为奇函数，则，显然与矛盾，故B错误；令，由得，即，因为，则，因为，所以，则，所以，当且仅当即时等号成立，故D正确.故选：D 【例2】已知函数的定义域为，当时，任意不为的实数满足，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给条件判断函数的单调性和奇偶性，然后利用函数的单调性和奇偶性得出不等式，解不等式即可. 【详解】任意的实数满足，令，则，即，令，则，即，令，则，即，又函数的定义域为关于原点对称，所以函数为偶函数，当时，，令，则，所以，由，令，则，即，也即，所以函数在单调递增，由，则不等式等价于：， 由函数为偶函数，所以，且在单调递增，所以，其中且，即且，所以有，也即，解得：，又定义域为，且，所以不等式的解集为：，故选：D. 【例3】已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断①，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解②，代值逐步求解即可判断③④. 【详解】令，，，所以；令，，,则．令，得，故为偶函数．①错误，任取，，，则，则，故在上为减函数．由已知，可得，故，解得，且．②错误，若，则，③正确，若，则，，，所以，故④错误， 故选：C． 【例4】（多选题）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】根据函数关系式，令，即可判断A；令，结合的值化简已知等式即可判断B；赋为，为，结合已知等式即可得从而可判断C，D. 【详解】令，则，故A正确；令，则，所以，故B不正确；赋为，为，则，即，所以，若，则，与不符，所以， 于是，即为偶函数，故C不正确，D正确．故选：AD． 【例5】（多选题）已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（　　） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集是 D． 【答案】ACD 【分析】令，判断A；利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，判断B；利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断C；由题可得，求和判断D． 【详解】对于，令，得，即，正确；对于B，根据题意，，对任意，则，所以，即，所以在上单调递增，B错误； 对于，又，所以原不等式等价于，因为在上单调递增，所以，解得正确；对于D，根据，则，， ，D正确．故选：ACD． 【例6】（多选题）设是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法逐项分析，判断选项ABC，利用周期性求解选项D. 【详解】对于A：，因为，所以，A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，B正确；对于C：因为，所以，所以，所以，C正确；对于D：若，则，所以;若，则，所以，所以，D正确；故选：BCD. 【例7】（多选题）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ACD 【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；令，得到，可判定C正确；令，得到 分别令和，结合函数奇偶性的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，令，则有，两式相减可得，所以，所以A正确；对于B，令，有， 因为不是常函数，所以，所以B错误；对于C，令，有，所以，所以，所以C正确；对于D，两式相加，可得，令，则有，可得，所以是偶函数，因为，令，可得，整理得，又因为，令，可得，所以，当时，可得，即， 当时，由C知：，可得，因为是偶函数，可得，又因为，可得，即，所以，即，综上可得，函数满足，所以为奇函数； 因为奇函数与偶函数的乘积是奇函数，所以是奇函数，所以D正确．故选：ACD. 【例8】（多选题）已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．当时， C．在单调递减 D．当时， 【答案】ACD【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一分析选项即可.【详解】对于A，令，则， 令，则，再令，则，即A正确；对于B，令，则有，即时，，结合奇函数性质知时，，即B错误；对于C，取，令，则，由上知时，，则，所以，则在单调递减，故C正确； 对于D，取，则有，若，显然，故D正确；故选：ACD 【例9】（多选题）已知函数满足：①的定义域为；②对，都有；③时，．则以下说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】对于，取即可求得判断A项；先后赋值和即可判断B项；先利用条件证明对于，恒有，再利用函数的单调性定义，可证得在上单调递增排除C项；利用条件和单调性，放缩即可证得结论判断D. 【详解】对于A，在中，取，则，因为时，，则，故，即A正确；对于B，在中，取，则，再取，则，故B正确；对于C，任取，则，，在中，取，可得，即，即对于，恒有.任取，且，则，，因，则，故在上单调递增，故C错误；对于D，由可得，由上知在上单调递增，可得，则，故，即D正确.故选：ABD 【例10】（多选题）已知函数的定义域为，满足，且，则下列结论正确的为（   ） A． B．是偶函数 C．，使得 D．若，则 【答案】ABD 【分析】令、，结合已知及奇偶性的定义判断A、B，令及A结论得判断C，根据已知及，依次代入，易得判断D. 【详解】令，则，又，所以，A对；令，则恒成立，所以函数为偶函数，B对；令，则，所以不存在，使得，C错；由，由C分析有，当时，当时，当时，，依次类推，当时，D对.故选：ABD. 【变式训练】 1．（多选题）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ACD【分析】对于A和B：对赋值即可判断AB的正误；对于C：结合A及已知条件得又时，，可得当时，易得； 对于D：结合C用作商法比较的大小，进而用定义可证明函数的单调性. 【详解】对于A：令得又，，故A正确；对于B：令得 ，令得，令得，故B不正确；对于C：由A知，当时，，令则又时，，，所以，又所以当时，所以，故C正确；对于D：结合AC知，设因为所以，又，所以，所以故在上单调递减.故D正确. 故选：ACD 2．（多选题）设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（   ） A． B．为增函数 C． D．关于的不等式，的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求出判断A，根据函数单调性的定义及函数性质证明单调性判断B，令后，再利用赋值法求出即可判断C，根据C化简不等式后，换元解不等式，再由函数单调性求解即可判断D. 【详解】令，可得，得，再令，可得，解得，故A正确；设，因为，所以，令，则，因为，所以，因为当时，，所以，即，所以为减函数，故B错误； 令可得，令可得，由，可得，所以，故C正确；由C，可化为，令，则不等式可化为，解得，即，因为为减函数，，所以由，可得，即，解得，故D正确.故选：ACD 3．（多选题）已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（   ） A． B． C．方程有3个实数根 D．若，则或 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到判断B，利用赋值法求解零点个数判断C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D即可. 【详解】对于A：令,则，所以，故A正确；对于B：令，，所以，令，所以，所以，所以为奇函数，故B错误；对于C：令，所以，所以，当时，所以，则，当时，，所以，，又，所以为奇函数，且定义域为，所以，又，所以方程有3个实数根，故C正确；对于D：由，，又，若，则，当时，所以，则，满足题意，当时，，所以，，不满足题意，当时，，，又为奇函数，所以，满足题意，当时，，由为奇函数，所以，不满足题意，所以，若，则或，故D正确，故选：ACD. 4．（多选题）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值，令即可得结果；对于B：先求得，再结合题意即可判断；对于C：根据奇函数的定义分析判断即可；对于D：根据奇偶性和单调性可得，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为对任意，满足，对于选项A：令，可得，即，故A正确；对于选项B：因为，且，可得，即，又因为函数在上单调，所以函数在上单调递增，故B错误；对于选项C：设，令，可得，即，可得，所以函数是奇函数，故C正确；对于选项D：因为，即，可得，又因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增，可得，且，整理可得，因为在内单调递增，则在内单调递减，可得，则，所以实数的取值范围是，故D正确；故选：ACD. 5．（多选题）已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，.则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】借助赋值法，令，代入计算可得A；结合函数单调性定义，取，计算出与的关系可得B；借助赋值法，令计算可得C；结合偶函数性质及所给条件可得D. 【详解】方法一：对于A，由条件③当，时，，令，，得：，又由条件②得，，故A正确；对于B，取，且， 则，，，，，，即，在上单调递增，B不正确；对于C，，，不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得是偶函数，，∴解集为，C正确；对于D，由时，，，且是偶函数，故的值域为，D正确.故选：ACD. 6．已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】D 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，，代入已知等式得，可得，结合得，， 再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式，，两式相加易得，所以有，即， 有，即，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，，所以，所以，故D正确. 故选：D. 7．（多选题）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】CD 【分析】对A，令，得或，令，得，结合，求得；对B，令，结合，利用偶函数定义判断；对C，令，得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的一个周期为4，从而计算可判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得或，令，，又，若，则，显然不成立，故，故A错误； 对于B，令，得，即，又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误；对于C，由选项A知，，所以，令，得，即，所以函数的图象关于成中心对称，故C正确；对于D，因为为偶函数，所以，又由C选项得，所以，即，所以，故函数的一个周期为4，因为，，，，所以，所以，故D正确.故选：CD. 8．（多选题）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（    ） A． B． C．在区间上的最大值是6 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对A，令求值判断；对B，将分解赋值代入已知关系式求解；对C，判断的单调性，结合赋值求解最值；对D，将不等式转化为，利用单调性求解. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确；对于B：，B正确； 对于C：，且，则，因为，所以，所以，所以，即，所以在单调递减，在上最大值为，因为，且，所以，C错误；对于D：由得， 因为，所以，因为是减函数，所以，解得，所以不等式的解集为.D正确；故选：ABD. 题型04 奇函数加常数模型 解｜题｜策｜略 ①若奇函数+常数模型，则常数 ②若奇函数+常数模型，则 【精选例题】 【例1】已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据解析式可得，然后可得答案. 【详解】设，则， 从而，即，故． 因为，所以． 故选：B 【例2】已知函数（），，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ∴令，则为奇函数 ∴ ∵ ∴，即，故选C 【例3】已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】设，再利用函数的奇偶性求解即可 【详解】设， 则， 故，即， 所以. 故， 因为，所以. 故选：C 【例4】已知函数，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，由解析式可得，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 所以 故选:C. 【例5】已知函数，满足为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令，由，得定义域为， ，即函数是奇函数， 而， 当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由， 得，即， 所以，则，即，又， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：B. 【例6】已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值. 【详解】函数，则 ，因此函数的图象关于点对称， 函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增， 则，而，所以. 故选：B 【例7】函数在上的最大值与最小值之和为（    ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得，可知函数图象关于点中心对称，即可得解. 【详解】， 故， 则的图象关于点中心对称， 故在上的最大值与最小值之和为6. 故选：A 【例8】若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（    ） A．－506 B．506 C．2022 D．2024 【答案】B 【分析】先对函数变形得，令，可判断出为奇函数，则的最大值为，最小值为，从而得，再由M＋N＝2024，可求出的值. 【详解】函数， 令， 因为， 所以为奇函数， 又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024， 所以的最大值为，最小值为， 所以，则t＝506． 故选：B 【变式训练】 1．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质求函数值. 【详解】设，函数定义域为， 由，则函数为奇函数， ，故， . 故选：A 2．已知函数，若、，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，可得出，由此可得出结果. 【详解】，，则，， 因为 ， 因为，则， 因此，. 故选：B. 3．已知函数，若，，，则（    ） A．     B．2     C．     D．4 【答案】B 【分析】计算出，再根据，由此可得出结果. 【详解】，，则恒成立， 又因为 ， 因为，则， 因此，. 故选：B 4．已知函数，若，则（ ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【分析】构建可以判断其为奇函数，根据题意结合奇函数定义求解． 【详解】构建在R上为奇函数，则 即，则 故选：A． 5．已知，设，最大值为，最小值为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行化简，然后证明关于成中心对称，从而得到最大值和最小值也关于成中心对称，得到，得到答案. 【详解】 定义域，关于原点对称， 所以 所以函数的图像关于点成中心对称， 所以函数的最大值和最小值也关于成中心对称， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的对称性的判断和应用，属于简单题. 6．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵， ∴ ∴函数关于点对称 ∵的最大值和最小值分别为和 ∴ 故选B. 7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（    ） A．－10 B．10 C．5 D．－5 【答案】A 【分析】构造新函数，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值． 【详解】设，则 ∴，是奇函数，因此， 又，， ∴，． 故选：A． 8．已知函数，其中a，b，c为常数，若，则c＝（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，然后由列方程可求出. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴，即，解得． 故选：C 题型05 具体函数抽象化解不等式 解｜题｜策｜略 看到复杂函数解抽象不等式问题，我们要去研究函数的奇偶性和单调性问题，再解不等式 【精选例题】 【例1】已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求. 【详解】令，则， 因为，， ∴为奇函数， 又因为， 由， 则为的减函数， ∵，则， ∴， ，   ∴，解得. 故选：B. 【例2】已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原函数构造成奇函数部分与常数项，即，其中为奇函数，求导证明在上单调递增.利用奇函数性质将不等式转化成，再利用函数单调性转化为代数不等式，从而求解. 【详解】令，，，即为奇函数. 求导得：，根据均值不等式，且，故，当且仅当时，.故在上单调递增. 原不等式改写为，根据奇函数性质， 因为单调递增，所以，即 解不等式得： 故选：A. 【例3】已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 【例4】已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先讨论的单调性，再通过单调性找出的大小关系. 【详解】当时，，在单调递增，且，当时，在单调递增，且，故在R上单调递增. ，解得或. 故选：B 【变式训练】 1．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合条件得到：，然后根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先证明，可得，构造函数可得是奇函数，根据复合函数的性质可判断在上单调递增，所解不等式等价于，可得，即可求解. 【详解】 即，所以， 设，则， 可得是奇函数. 因为和都是增函数，所以为增函数， 因为单调递增，所以在上单调递增， 所以函数，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由可得， 即，所以，整理得：， 解得： ， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是计算出，构造函数是上的奇函数且是增函数，原不等式等价于，根据奇偶性和单调性脱掉即可求解. 3．已知函数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围. 【详解】由于，所以的定义域为， 所以， ， ， 所以是奇函数， 由于在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由得， 即， 所以， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根据或来确定函数的奇偶性.求解含有函数符号的不等式时，可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解. 4．已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，判断其单调性与奇偶性；从而得出单调性与对称性，将所求不等式化为，根据函数单调性，即可求出结果. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 根据指数函数与幂函数的单调性可得，是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 又，所以是奇函数，其图象关于原点对称； 又， 即的图象可由向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到， 所以是定义域为的增函数， 且其图像关于点对称，即有，即 ． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数的单调性与对称性，进而即可求解不等式. 5．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可判断为奇函数，且在上为增函数，所以不等式化为，利用单调性即可求解. 【详解】由题意可知，的定义域为， ，为奇函数， ，且在上为减函数， 由复合函数的单调性可知在上为增函数. ，， ，. 故选：. 题型06 函数的单调唯一性及应用 解｜题｜策｜略 遇到已知函数为单调函数，则定义域内每一个有唯一的值与它对应，当函数值为定值时，可以设对应的自变量为定值 【精选例题】 【例1】已知函数是连续的偶函数，且当时，是严格的单调函数，，则满足的所有之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知函数是连续的偶函数，且当时，是严格单调，所以或.设，分两种情况解方程 得到.由得，所以. 【详解】已知函数是连续的偶函数，且当时，是严格的单调函数， 所以或. 设，则方程分两种情况： ：整理得， 解得，设2个根分别为，则，. ：整理得， 解得，设2个根分别为，则，. 所以. 因为，所以， 所以. 故选：D． 【例2】若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】利用函数在上是单调函数可知为常数，利用换元可得到关于的方程，可解出的值，从而求解. 【详解】对任意，都有，且函数在上是单调函数， 为常数， 设，则， ， 与在上单调递增， 有唯一解，解得， ，. 故选：D. 【例3】定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数单调递增，设，代入计算得到，解得，计算得到答案. 【详解】，故函数在上单调递增， ，故存在唯一值满足条件， 即，， 当时满足，又函数在上单调递增，故是唯一解， ，. 故选：C. 【例4】已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求得的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增， ，题意，所以. 对于方程，即， 两边除以得， 函数，在上单调递增， ，所以有唯一零点在区间， 所以方程有唯一解. 故选：B 【点睛】思路点睛： 设定函数并分析单调性：首先设定函数（换元法），并根据定义域和题目条件，分析函数的单调性. 利用零点存在性定理判断解的个数：结合函数的单调性和零点存在性定理，判断方程解的个数，从而得出最终结论. 【变式训练】 1．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于 A．3 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】令，可得，，由函数的性质可知，函数在上单调递增，，，，，故选 点睛：本题主要考查了函数的基本性质及运算和函数的解析式及其应用的知识点．正确把握函数的性质，利用换元法是解题的关键．首先，根据题目中已知的函数关系式可以先求出的值，然后结合函数的单调性可以求出，进而求得答案． 2．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答. 【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有， 则存在唯一正实数使得，且，即，于是得， 而函数在上单调递增，且当时，，因此，， 方程， 于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数， 在同一坐标系内作出函数与的图象如图， 观察图象知，函数与的图象有3个公共点， 所以方程的解的个数为3. 故选：A 【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 3．定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得为定值，且，进而求得，将问题化为求的解的范围，利用对应函数的单调性，结合各项区间端点出函数值大小确定解的范围. 【详解】由题设为定值，且， 所以，则，易知，故， 由，则，显然在第一象限有一个交点， 又在上分别单调递增，单调递减， 由，，，故方程解在上. 故选：C 4．已知单调函数满足，则函数零点所在区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据列式代入化简可得，再结合零点存在性定理求解零点区间即可 【详解】设，则，即； 令，则，易得为增函数，且，所以， 所以，则函数为增函数，又，，，即函数的零点所在区间为； 故选：B． 5．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，列出关于的方程，进而求得的值，得到的解析式，再用零点存在定理判断即可. 【详解】因为函数在上是单调函数，， 设，所以， 所以， 因为与在上单调递增，所以有唯一解，解得， 所以， 又，， 故的零点所在的区间为. 故选：B. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．已知．若，则（    ） A．k B．－k C．1－k D．2－k 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性即可得出结论. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：D 2．(25-26高三上·山东青岛城阳区·期中)已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，取可得，再利用赋值法计算即得. 【详解】由函数满足， 取，则， 因此， ，所以. 故选：B 3．(25-26高三上·辽宁大连滨城联盟·期中)已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 【答案】B 【分析】由对数的性质求出函数的定义域，再根据解析式得，并应用求导法则得，即可求值. 【详解】由或，则函数的定义域为， 又， 所以，则， 综上，. 故选：B 4．已知叫作双曲余弦函数，叫作双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可化简得，结合可得要证只需证，再结合为在上单调递增且，则令，然后可分别讨论、、三种情况讨论即可求解. 【详解】由，化简可得，即， 因为，当且仅当时取等号，所以恒成立， 所以在上恒成立， 又因为在上单调递增，所以， 令在上恒成立， 当时，满足题意； 当时，此时只需，解得， 当时，此时只需，解得， 综上可得实数的取值范围是，故C正确. 故选：C. 5．(25-26高三上·上海北中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（     ）. A． B． C．函数是奇函数 D． 【答案】A 【分析】对于A：由题给出的信息可直接判断；对于B,C,D，可运用特殊值法，取进行判断即可. 【详解】对于A：由题可知，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，因为函数是奇函数，故的对称中心是，则，A正确； 对于B：不妨取是奇函数，满足题意，且，此时为偶函数，也满足题意，但是，故B错误； 对于C：同B，不妨取，但不是奇函数，故C错误； 对于D：同B，不妨取，则，故D错误. 故选：A. 6．(25-26高三上·江苏南通通州区·期中)已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是奇函数化简，再应用单调性列式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 且时，，则， 所以，且可化为， 根据解析式及二次函数的性质知，在上单调递增，且在上是连续的奇函数， 所以在上单调递增，则，所以， 所以解集为：. 故选：B. 7．(25-26高三上·陕西西安高新第一中学·)已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令后计算即可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解． 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 8．(25-26高三上·河北秦皇岛、承德部分学校·期中)已知是的三条边且．设函数，则下列结论中错误的是（    ） A．存在正数，使得，，不能作为一个三角形的三条边长 B．存在，，，能作为一个直角三角形的三条边长 C．当是钝角三角形时，函数有零点 D．存在，使得 【答案】D 【分析】利用特例方法，可判定A、B正确；由是钝角三角形，得到角为钝角，利用余弦定理，得到，结合函数零点的存在性定理，可判定C正确；化简函数为，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，可判定D错误. 【详解】对于A，取，当时，可得，满足， 此时不能作为一个三角形的三条边长，所以A正确． 对于B，取，当时，可得， 满足，此时能作为一个直角三角形的三条边长，所以B正确． 对于C，若是钝角三角形，且，则角为最大角，且角为钝角． 由余弦定理得，即， 又由，可得， 因为，且函数在上连续， 由函数零点存在性定理知，存在，使得， 所以当是钝角三角形时，函数有零点，所以C正确． 对于D，由， 若，则，对任意的，； 若，则且， 令，因为函数，在上均单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为，， 所以对任意的，，则，所以D错误． 故选：D． 9．已知函数，且，其中，则下列结论错误的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C． D． 【答案】C 【分析】对于A，由求解即可；对于B，由奇函数的定义判断即可；对于C、D，化简可得：由，，分别求出，即可判断. 【详解】因为函数，所以满足，即，解得， 即的定义域为，故A正确； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 由， ， 得，，所以，故C错误，D正确. 故选：C. 10．(25-26高三上·河南信阳高级中学新校（贤岭校区）·月考)已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记，易证为奇函数且在上单调递增，由此即可解不等式. 【详解】设，则， 因为， 所以函数为奇函数， 当时，易知单调递增，单调递增， 所以当时，函数单调递增， 又函数为奇函数，所以函数在上单调递增， 所以等价于 所以 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题 11．(25-26高三上·河北唐山十校·期中)已知幂函数，则（   ） A． B．曲线关于y轴对称 C．已知，对恒成立，则 D．方程无实根 【答案】CD 【分析】根据幂函数定义判断A，化简后根据幂函数性质判断B，利用函数单调性转化后，构造函数利用导数求最值即可判断C，转化为，构造函数可知方程无解判断D. 【详解】由幂函数， 可知，即，，故A错误； ，不是偶函数，故B错误； 由，当时，由知幂函数单调递增， 所以由对恒成立，可得， 即恒成立， 令，当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以时，，故，故C正确； 由方程，即，因为，所以 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以，即无解，所以无解，故D正确. 故选：CD 12．已知函数，则（   ） A． B． C．对任意实数， D．对任意实数， 【答案】AC 【分析】化简函数，由函数解析式得到函数的单调性，从而判断AB选项，由函数解析式计算，，判断CD选项. 【详解】因为函数，所以在上单调递增， 因为，所以，， 所以， . 故选：AC． 13．(25-26高三上·海南部分学校·月考)（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象为中心对称图形 B．有且仅有1个零点 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【分析】令，则，进而根据为奇函数，并结合图象平移即可判断A；利用导数研究函数的单调性，进而根据零点存在性定理判断B；根据函数的单调性并结合得，进而解不等式即可判断C；将问题转化为，进而根据的奇偶性与单调性求解即可判断D. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以为奇函数，图象关于点对称， ， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 因为，所以 所以函数在上单调递减， 对于A，因为图象为函数图象向上平移3个单位得到， 所以的图象关于点对称，即的图象为中心对称图形，故A正确； 对于B，因为图象可由函数的图象向上平移3个单位得到， 则函数在上单调递减， 又，，有且仅有1个零点，故正确； 对于C，因为，所以， 因函数在上单调递减，则得，即，解得：， 所以，当，实数的取值范围为，故C正确； 对于D，由得， 因为为奇函数，所以， 因函数在上单调递减，则，解得，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造函数，得，进而利用结合单调性，奇偶性依次讨论各选项即可. 14．(25-26高三上·安徽皖豫名校联盟·月考)已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】分别赋值可求出，判断AB，利用换元法求出的解析式，根据奇偶函数定义判断CD. 【详解】令，代入可得，解得或； 若，代入，可得，即， 而，矛盾，故， 令，则，即， 由可知，故A正确； 令，，代入，可得，即，故B正确； 再令，则，即， 令，则，所以，即， 令，则，所以不是偶函数，故C错误； 令，则定义域为，且，所以为奇函数，故D正确. 故选：ABD 15．(25-26高三上·河北邢台·月考)已知函数满足，，当时，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．存在，使得恒成立 【答案】AC 【分析】令代入原式，求出的值，即可判断A；令代入原式，求出的值，即可判断B；令，将原式化为，设， 令，证明，即可判断C；利用在上的单调性，即可判断D. 【详解】已知函数满足， 令，可得， 即，解得，故A正确； 令，可得， 因为，又由A可知，所以， 可得，故B错误； 将原式移项变形可得， 令，则上式可化为. 当时，，即. 设，则，. 令， 则有， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 即，即， 所以在上单调递增，故C正确； 由选项C可知在上单调递增，且当时，， 所以不存在，使得恒成立，故D错误. 故选：AC 16．(25-26高三上·山东烟台·期中)已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 【答案】BC 【分析】根据对数函数、二次函数的性质研究的区间单调性及对称性、值域判断A、B、D，令，结合判别式求参数范围判断C. 【详解】由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 三、填空题 17．(25-26高三上·广东深圳第二高级中学·月考)函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】利用指数、对数的运算性质对化简变形可得，再构造函数判断奇偶性，进而得. 【详解】 令，定义域关于原点对称， 于是，故为奇函数， 所以在区间上的最大值与最小值之和为， 故函数在区间上的最大值与最小值之和为. 所以. 故答案为： 18．(25-26高三上·天津第二南开学校·开学考)已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由函数解析式明确其定义域，探究发现，从而将待求不等式化成，再根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由，可得，即函数的定义域为， 由，且， 则， 因函数在上递增且为正数，而函数在上递增， 故函数在上为增函数，又与均为增函数， 故函数在上为增函数， 由不等式，等价于，即， 可得，解得. 故答案为：. 19．已知函数是偶函数，，若函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由是偶函数，求出；令，将函数与的图像有且只有一个公共点，转化为方程（*）有且只有一个正根，对讨论求解. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 整理得，即对一切恒成立，所以． 又函数与的图像有且只有一个公共点． 即方程有且只有一个实根． 化简得，方程有且只有一个实根． 令，则方程（*）有且只有一个正根． （1）当时，解得，不合题意； （2）当时， ①时，方程（*）存在唯一一个实根，此时或． 当时，解得，不合题意； 当时，解得，满足题意． ③时，或， 方程（*）存在两根，则须一个正根与一个负根，即，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 20．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 【答案】 【分析】利用导数与函数单调性的关系得到，进而分析得在恒成立，从而利用一次函数的性质列式即可得解. 【详解】因为， 所以， 令，，在上恒成立， 所以，即在恒成立， 则，即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，熟练掌握导数的运算法则与对数函数的性质，从而得解. 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的性质与抽象函数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：函数的性质及抽象函数是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是函数的单调性和奇偶性，以及它们与抽象函数相结合． 预测2026年：函数内容可能还会以考察函数的单调性奇偶性相互结合为主，同时还需重点关注函数与方程零点的关系． 热点题型： 题型01 函数解析式及值域问题 题型02 函数的单调性和奇偶性综合应用 题型03 抽象函数的应用 题型04 奇函数加常数模型 题型05 具体函数抽象化解不等式 题型06 函数的单调唯一性的应用 题型01 函数解析式及值域问题 解｜题｜策｜略 求函数解析式常见方法：换元法，待定系数法，解方程组法 求函数值域常见方法：换元法，图像法，利用单调性，反解法等 【精选例题】 【例1】已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】若函数（且）值域是，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例3】定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（　　） A．1.9 B．2.38 C．1.62 D．0.9 【例4】（多选题）已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（   ）． A． B．， C．的值域为 D．的解集为 【例5】已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 【例6】设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例7】定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数在的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【例8】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例9】已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【例10】（多选题）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意整数，有 C．设函数，则的值域为 D．的解集为 【变式训练】 1．若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．定义在R上的函数满足，但不恒等于x，则下列说法正确的是（   ） A．可以是R上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数 C．可以是奇函数 D．可以是周期函数 3．已知函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 5．函数的值域为 . 6．定义：表示中的较大者.若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是 ． 7．已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 ． 题型02 函数的单调性和奇偶性综合运用 解｜题｜策｜略 ①常见函数的奇偶性：（偶函数），（奇函数），（奇函数），（奇函数），（奇函数） 【精选例题】 【例1】已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【例2】已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数，若实数，满足，则的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【例4】已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例5】已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的值域为 C．存在实数，使得 D．函数的图像关于直线对称 【例6】（多选题）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 【例7】（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．，都有 D．若在上有最大值，则b的取值范围是 【例8】已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为 . 【例9】已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 . 【例10】已知函数，对于恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例11】已知函数，且为偶函数，则实数的值为（    ） A．1 B． C．5 D．1或 【变式训练】 1．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，.若关于的方程在上有解，则实数的最大值为（   ） A．23 B．7 C． D． 3．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知定义在R上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①，都有；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（   ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 8．（多选题）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．的值域是 B．对任意，且，都有 C．对任意，都有 D．若规定，其中，则 10．已知函数的定义域为，对定义域内任意实数，都有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 11．若定义在上的函数满足则的单调递增区间为 . 12．（多选题）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，当时，有成立 C．任意实数，当时，都有成立 D．若，则实数的取值范围为 13．（多选题）下列有关函数的论述中，正确的有（   ） A．函数在上单调递减且是偶函数，则 B．偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集为 C．函数，则不等式的解集为 D．函数对，，且，都有，则不等式的解集为 题型03 抽象函数的应用 解｜题｜策｜略 ①抽象函数常用解题策略为赋值法，通过赋值法可以求出函数值，判断函数周期性，奇偶性 ②抽象函数单调性通常可通过定义法，特殊函数进行判断 【精选例题】 【例1】已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【例2】已知函数的定义域为，当时，任意不为的实数满足，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【例4】（多选题）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【例5】（多选题）已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（　　） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集是 D． 【例6】（多选题）设是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例7】（多选题）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 【例8】（多选题）已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．当时， C．在单调递减 D．当时， 【例9】（多选题）已知函数满足：①的定义域为；②对，都有；③时，．则以下说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，且，则 【例10】（多选题）已知函数的定义域为，满足，且，则下列结论正确的为（   ） A． B．是偶函数 C．，使得 D．若，则 【变式训练】 1．（多选题）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D．在上单调递减 2．（多选题）设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（   ） A． B．为增函数 C． D．关于的不等式，的解集为 3．（多选题）已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（   ） A． B． C．方程有3个实数根 D．若，则或 4．（多选题）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 5．（多选题）已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，.则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D．的值域为 6．已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 7．（多选题）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 8．（多选题）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（    ） A． B． C．在区间上的最大值是6 D．不等式的解集为 题型04 奇函数加常数模型 解｜题｜策｜略 ①若奇函数+常数模型，则常数 ②若奇函数+常数模型，则 【精选例题】 【例1】已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【例2】已知函数（），，则 A． B． C． D． 【例3】已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【例4】已知函数，则（    ） A． B． C．4 D．2 【例5】已知函数，满足为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【例6】已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例7】函数在上的最大值与最小值之和为（    ） A．6 B．3 C．8 D．4 【例8】若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（    ） A．－506 B．506 C．2022 D．2024 【变式训练】 1．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若、，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，，，则（    ） A．     B．2     C．     D．4 4．已知函数，若，则（ ） A．4 B．5 C．7 D． 5．已知，设，最大值为，最小值为，那么（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（    ） A．－10 B．10 C．5 D．－5 8．已知函数，其中a，b，c为常数，若，则c＝（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 题型05 具体函数抽象化解不等式 解｜题｜策｜略 看到复杂函数解抽象不等式问题，我们要去研究函数的奇偶性和单调性问题，再解不等式 【精选例题】 【例1】已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3】已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【例4】已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06 函数的单调唯一性及应用 解｜题｜策｜略 遇到已知函数为单调函数，则定义域内每一个有唯一的值与它对应，当函数值为定值时，可以设对应的自变量为定值 【精选例题】 【例1】已知函数是连续的偶函数，且当时，是严格的单调函数，，则满足的所有之积为（    ） A． B． C． D． 【例2】若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【例3】定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（    ） A．0 B． C． D． 【例4】已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于 A．3 B．9 C．10 D．11 2．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知单调函数满足，则函数零点所在区间为（  ） A． B． C． D． 5．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．已知．若，则（    ） A．k B．－k C．1－k D．2－k 2．(25-26高三上·山东青岛城阳区·期中)已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．(25-26高三上·辽宁大连滨城联盟·期中)已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 4．已知叫作双曲余弦函数，叫作双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·上海北中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（     ）. A． B． C．函数是奇函数 D． 6．(25-26高三上·江苏南通通州区·期中)已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高三上·陕西西安高新第一中学·)已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 8．(25-26高三上·河北秦皇岛、承德部分学校·期中)已知是的三条边且．设函数，则下列结论中错误的是（    ） A．存在正数，使得，，不能作为一个三角形的三条边长 B．存在，，，能作为一个直角三角形的三条边长 C．当是钝角三角形时，函数有零点 D．存在，使得 9．已知函数，且，其中，则下列结论错误的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C． D． 10．(25-26高三上·河南信阳高级中学新校（贤岭校区）·月考)已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 11．(25-26高三上·河北唐山十校·期中)已知幂函数，则（   ） A． B．曲线关于y轴对称 C．已知，对恒成立，则 D．方程无实根 12．已知函数，则（   ） A． B． C．对任意实数， D．对任意实数， 13．(25-26高三上·海南部分学校·月考)（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象为中心对称图形 B．有且仅有1个零点 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 14．(25-26高三上·安徽皖豫名校联盟·月考)已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 15．(25-26高三上·河北邢台·月考)已知函数满足，，当时，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．存在，使得恒成立 16．(25-26高三上·山东烟台·期中)已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 三、填空题 17．(25-26高三上·广东深圳第二高级中学·月考)函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 18．(25-26高三上·天津第二南开学校·开学考)已知函数，则不等式的解集为 ． 19．已知函数是偶函数，，若函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 ． 20．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $