精品解析：河南省许昌市禹州市2025--2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

YZS2025-2026学年上学期期中阶段性质量检测 九年级数学 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 3. 已知实数是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与轴的交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，交于点．当旋转角时，点的对应点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系.在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时， C. 当时，有最大值 D. 当时， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是___________．（写出一个即可） 12. 如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 13. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的横坐标为___________． 14. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为___________． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在网格点上，它们的坐标分别为，，． （1）在网格中画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）在网格中画出绕点逆时针旋转后的图形． 19. 如图，是的直径，弦于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 21. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的地物线形框架结构上增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图①是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为，． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在，间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，，立柱的另一端点，在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以，点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到，点或，点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加的两根立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）求增加的两根立柱的长度． 22. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，请直接写出的取值范围． 23. 如图1，在中，，，为边的中点，点为边上一点，连接．将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段． （1）线段的长为____________； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）当点到的距离是点到的距离的2倍时，请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ YZS2025-2026学年上学期期中阶段性质量检测 九年级数学 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 已知是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 3. 已知实数是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，由题意得：，，根据即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 抛物线与轴的交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求抛物线与y轴的交点坐标，将代入解析式计算y值即可． 【详解】解：将代入，得： ∴ 交点坐标为 ， 故选： C． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，先把化为顶点式，然后根据二次函数平移规律“左加右减”即可得出答案． 【详解】解：∵原抛物线可化为， ∴向左平移2个单位，得． 故选B． 6. 如图，是的直径，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点． 先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的运用，掌握圆周角定理，内接四边形的性质是解题的关键．根据平角的性质可得的度数，根据圆内接四边形的性质可得的度数，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ． 故选：B． 8. 如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 9. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，交于点．当旋转角时，点的对应点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何—旋转问题．解题关键在于掌握旋转前、后的图形全等．根据旋转可得，，再结合旋转角以及三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，，， ， ， ，， ， 故选D． 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系.在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时， C. 当时，有最大值 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，结合图象可知，当时，随的增大而减小，即A选项正确，不符合题意； B．当时，由图象知，对应的值有两个，即B选项错误，符合题意； C．由A知，当时，有最大值，则C选项正确，不符合题意； D．由函数图象可知：当时，，即D选项正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根与判别式的关系，当判别式大于等于零时，方程有两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，即， 解得， ∴的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 13. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的横坐标为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的对称轴公式求出对称轴，再根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，由已知交点坐标求另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的对称轴为． 由于图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 故答案为：3． 14. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，找出正确的圆心是解决本题的关键． 连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为， ∴，，， 在中，， 解得， 圆形工件的半径为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知：，根据勾股定理可以求得的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得的值． 【详解】解：作于点G，如图所示， ∵，，点D是的中点， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D运动点时，此时， 同理可得，，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键 （1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴或， 解得 ，； 【小问2详解】 解： 其中，， ∴ ∴， ∴，． 17. 如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 【答案】最小数为10，最大数为18 【解析】 【分析】本题考查了用一元二次方程的实际应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键. 设最小数为，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设最小数为，则最大数为 根据题意， 可列方程， 解方程，得，不合题意，（舍去） 所以． 答：最小数为10，最大数为18． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在网格点上，它们的坐标分别为，，． （1）在网格中画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）在网格中画出绕点逆时针旋转后的图形． 【答案】（1）如图所示，即为所求， 点的坐标为 （2） 如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】此题主要考查了作图——旋转变换，中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点A、C绕点B按逆时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，是的直径，弦于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵与都是所对的圆周角， ， ． （2） 【解析】 【分析】题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键： （1）由平行线的性质，得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可得证； （2）连接，证明为等边三角形， 得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ． ， ． ， 为等边三角形， ， 20. 如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 即． 又点在上， 为的切线； （2）的半径为3． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理． （1）连接，根据等边对等角得到，，，则，可得，则，即，即可证明为的切线； （2）设，根据勾股定理求出，进而得到，根据求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，设，， 在中，． ， ， ， ， ∴， ∴． 即的半径为3． 21. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的地物线形框架结构上增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图①是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为，． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在，间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，，立柱的另一端点，在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以，点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到，点或，点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加的两根立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）求增加的两根立柱的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出点的坐标为，点的坐标为，进而代入二次函数计算即可． 【小问1详解】 解：∵底部跨度为，且， ， ∴点坐标为． 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 将点，的坐标分别代入， 得，， ∴增加的两根立柱的长度为． 22. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）顶点坐标为， 函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）从表格中选择两个坐标，用待定系数法求解即可； （2）根据顶点公式求得顶点坐标，通过（1）中函数解析式，利用描点法画出函数图象即可； （3）分类讨论，在对称轴左侧或在对称轴右侧，结合图象，找出函数最大值与最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点和代入二次函数得， 解得 因此，二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴， 令得， 则顶点坐标为 【小问3详解】 解：由（2）可知，二次函数顶点坐标为，且开口向下， 由于时，二次函数的最大值与最小值的差为9， 当时，随的增大而增大， 令时，函数最大值为， 令时，函数最小值为， 则， 解得， 此时无解； 当时，最大值为， 令时，， 令时，， 若， 解得， 此时，的取值范围为， 若， 解得或， 此时，最小值为 则 解得或 此时无解， 综上所述，的取值范围为． 23. 如图1，在中，，，为边的中点，点为边上一点，连接．将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段． （1）线段的长为____________； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）当点到的距离是点到的距离的2倍时，请你直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：根据题意得，、 ， 在和中 、 ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用勾股定理计算求解即可； （2）根据题意可得和，进而证得，根据全等三角形的性质证得、，据此证明即可； （3）分类讨论，当在的左侧时，根据题意，作于点、于点，过点作于点，过点作于点，可得，根据含的直角三角形的性质可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得，根据勾股定理求出的长，从而求得的长； 当在的左侧时，根据题意，作于点、于点，过点作于点，过点作于点，可得，同理求出长度即可． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当在的左侧时， 根据题意，作于点、于点，过点作于点，过点作于点，如图： 四边形为矩形 、 ，为边的中点 、 、 ； 当在的右侧时， 根据题意，作于点、于点，过点作于点，过点作于点，如图： 四边形为矩形 同理可得， 、 同理可得 ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $