精品解析：贵州省毕节市织金县思源实验学校共同体2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

织金县思源实验学校教育集团2025年秋季学蝴中评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 2. 在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（   ） A. 30个 B. 80个 C. 90个 D. 120个 3. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 5. “十一”期间，小胡和小刘两家准备从黄果树大瀑布、织金洞、龙宫中选择一景点游玩，他们通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 7. 某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的对角线相交于点O，（两直角边长均大于的长度）绕点O旋转的过程中，与正方形重叠部分的面积（　　） A. 由小变大 B. 由大变小 C. 始终不变 D. 先由大变小，然后又由小变大 9. 如图，正方形的边长为15，，BG＝DH＝9，连接，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 10. 定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 11. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 12. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题有4个小题，每小题4分，共16分） 13. 对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为__________． 14. 若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________． 15. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 16. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___． 三、解答题（本大题有9个小题，共98分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，荡气回肠，将长安城中的浪漫具象化．激发出无数中华儿女满满的自豪感，掀起了古诗词文化的新热潮．为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，每班选2名参赛学生，某班有1名男生和3名女生报名参加． （1）若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛．则选取的恰好是男生的概率为__________； （2）若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 20. 威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为150kg，6月份销售量为216kg，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款火腿销售量的月增长率； （2）若该款火腿的进价为120元/kg，经在市场中测算，当售价为160元/kg时，月销售量为200kg，若在此基础上售价每上涨1元/kg，则月销售量将减少2kg，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润＝售价－进价） 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形． （2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长． 22. 如图，在中，，，点是外一点连接，，将沿折叠使点落在边上的点处，连接，若． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，，若，求四边形的面积． 23. 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”，例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（、b、，其中a，b，c为正整数）请直接写出a，b，c所满足的关系式______；判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出最小的“喜鹊数” ； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与．②若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 24. 在边长为6的菱形中，动点M从点A出发，沿着折线的路线向终点C运动，连接交于点N，连接． （1）如图甲，当点M在边上运动时， ①求证；； ②若，求证：． （2）如图乙，若，记点M所经过的路程为x，求当为等腰三角形时x的值． 25. 操作与证明： 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论； 结论：DM、MN的关系是：　 　； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 织金县思源实验学校教育集团2025年秋季学蝴中评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形与正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形与正方形的性质． 要熟练掌握菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答． 【详解】解：A．正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故本选项不符合题意； B．正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； C．正方形和菱形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意； D．正方形和菱形都是四条边相等，故本选项不符合题意； 故选B． 2. 在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（   ） A. 30个 B. 80个 C. 90个 D. 120个 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解 【详解】∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45% ∴红球所占的比例为100%−15%−45%=40% 设盒子中共有红球x个,则×100%=40% 解得：x=80 故选B 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是找到等量关系列出式子 3. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简．根据根与系数的关系得到，可知，然后化简代入求值是解题的关键． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ， 故选：B 4. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】直接把已知数据代入进而得出 的值，再解方程求出答案． 【详解】解：∵小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是， ∴， 解得：， 故原方程中， ∴原方程为， 则， 则原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：A． 【点睛】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键． 5. “十一”期间，小胡和小刘两家准备从黄果树大瀑布、织金洞、龙宫中选择一景点游玩，他们通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：用A、B、C表示：黄果树大瀑布、织金洞、龙宫；画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，则两家抽到同一景点的有3种情况， ∴则两家抽到同一景点的概率是：． 故选：A． 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先是有个主干，设长出枝干有枝，每个枝干又长出枝干枝，则第二次长出的数量是，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，主干是，设长出的枝干有枝， ∴，即，解方程得，，（舍去）， ∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解枝干长出的数量关系是解题的关键． 8. 如图，正方形的对角线相交于点O，（两直角边长均大于的长度）绕点O旋转的过程中，与正方形重叠部分的面积（　　） A. 由小变大 B. 由大变小 C. 始终不变 D. 先由大变小，然后又由小变大 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，从而，，即可说明重叠面积始终不变． 【详解】解：正方形中，，，，， ， ， 在与中，， ， ， ， 则重叠部分的面积始终不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，利用面积的等量代换是解题关键． 9. 如图，正方形的边长为15，，BG＝DH＝9，连接，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角，以及运用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 延长交于点E，先利用勾股定理的逆定理证，，再证和全等得，进而可得，，由此可得和全等，进而得，，，据此得，，然后在中由勾股定理可求出的长． 【详解】解：延长交于点E，如图： ∵四边形为正方形，边长为15， ，， ，，， ，， ， 即为直角三角形，则， 同理：， 在和中， ， ， ，， ，， ， 又，， ，， ， 在和中， ， ，，， ， 同理：， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：D． 10. 定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将变形为，再利用“同族二次方程”定义列出关系式，得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定代数式的最小值．理解“同族二次方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 即， ∵与是“同族二次方程”， ∴与是“同族二次方程”， ∴，， 解得：，， 则 ， 当时，取最大值2024， 故选A． 11. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴ ∵对称， ∴， ∴ ∵对称， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示， 当三点重合时，， ∴ 即 ∴四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，， ∴， 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形， 当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形 ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质和，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明①；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明③； 根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可证明④． 【详解】解：四边形是矩形，O为的中点， ， 为等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故①正确； , ， ， ， ，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 故③正确； ， 无法证明， 故②错误； ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 故正确的为①③④，为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题4分，共16分） 13. 对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】解：由，得， 即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题． 14. 若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有的结果有3种，再找出最后一只摘到B的结果数为2，由概率公式即可得出答案． 【详解】解：依题意，画树状图如图： 共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个， ∴最后一只摘到B的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．画出树状图是解题的关键． 15. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得:, 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 16. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题有9个小题，共98分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，选择合适的解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接运用公式法求解即可； （2）先整理方程，然后再运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， 整理，得， 因式分解，得，即． ∴或， ∴，． 18. 李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，荡气回肠，将长安城中的浪漫具象化．激发出无数中华儿女满满的自豪感，掀起了古诗词文化的新热潮．为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，每班选2名参赛学生，某班有1名男生和3名女生报名参加． （1）若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛．则选取的恰好是男生的概率为__________； （2）若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4名学生，其中有1名是男生，且每名学生被选取的概率相同， ∴从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛，选取的恰好是男生的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设3名女生分别用A、B、C表示，1名男生用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果数有种， ∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 20. 威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为150kg，6月份销售量为216kg，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款火腿销售量的月增长率； （2）若该款火腿的进价为120元/kg，经在市场中测算，当售价为160元/kg时，月销售量为200kg，若在此基础上售价每上涨1元/kg，则月销售量将减少2kg，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）该款火销售量的长率为 （2）该款火的实际价应定为每千克190元 【解析】 【分析】（1）设该款火腿销售量的月增长率为x，根据题意，列方程求解即可； （2）设该款火腿的实际售价应定为y元，根据题意，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款火腿销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答该款火销售量的长率为． 【小问2详解】 解：设该款火腿的实际售价应定为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得． 答：该款火的实际价应定为190元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形． （2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】 （1）证明：四边形是菱形， ， 在中，是的中点， ， ， ， OG∥EF 四边形是平行四边形， EF⊥AB， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角，可得,又是的中点，，则，可得，即可得，进而可得，进而可得四边形是矩形； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得，根据勾股定理在中求得，根据四边形是矩形进而求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）,是的中点， 在中,是的中点， EF⊥AB， 在中， 四边形是菱形， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握特殊四边形的性质和判定是解题的关键． 22. 如图，在中，，，点是外一点连接，，将沿折叠使点落在边上的点处，连接，若． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，连接，设交于点， 由折叠的性质得： ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设交于点，证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再求出，则，然后由三角形面积关系得四边形的面积，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2， 由（1）可知，四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 四边形的面积 ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23. 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”，例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（、b、，其中a，b，c为正整数）请直接写出a，b，c所满足的关系式______；判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出最小的“喜鹊数” ； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与．②若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】（1），不是，121 （2） （3）121，242，363，484 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． （1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵是喜鹊数， ∴，即； ∵，，， ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵，， ∴最小的“喜鹊数”是121， 故答案为：，不是，121； 【小问2详解】 解：∵是方程①的一个根，是方程②的一个根， ∴，， 将，两边同除以得：， 将m，看成是方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 24. 在边长为6的菱形中，动点M从点A出发，沿着折线的路线向终点C运动，连接交于点N，连接． （1）如图甲，当点M在边上运动时， ①求证；； ②若，求证：． （2）如图乙，若，记点M所经过的路程为x，求当为等腰三角形时x的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）或或 【解析】 【分析】本题注意考查了菱形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）①由菱形的性质可得是公共边，再根据即可证明结论； ②连接，根据菱形的性质得到垂直平分，所以，然后利用三角形的外角的性质得到，从而证明结论；  （2）分三种情况，分别根据正方形的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：①如图甲， ∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴． ②如图甲，连接． ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ， ， ， ∴，， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴菱形是正方形． ， 分三种情况： ①当，则，此时，点M恰好与点B重合，得； ②若，则，此时，点M恰好与点C重合，得； ③若，如图乙，则， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或12或时，为等腰三角形． 25. 操作与证明： 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论； 结论：DM、MN的关系是：　 　； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 （1）证明：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°， ∵△EFC是等腰直角三角形， ∴CE＝CF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形； （2）DM＝MN，DM⊥MN； （3）成立， 证明：如图，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°， 又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB， ∵在Rt△ADF中，M是AF的中点， ∴DM=AF， ∵M是AF的中点，N是EF的中点， ∴MN=AE，MN∥AE， ∴MN＝DM， ∵∠ADF＝90°，AM＝MF， ∴MD＝MA＝MF， ∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB， ∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG， ∴∠DOG＝∠ECG＝90°， ∵NM∥AE， ∴∠DOG＝∠DMN＝90°， ∴MN⊥DM，MN＝DM． 【解析】 【分析】（1）先证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形； （2）利用三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN，再证明∠DMN=∠DAB=90°，即可解决问题； （3）连接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）证明方法类似，可证明DM=MN，再证明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN， 证明：∵在Rt△ADF中， M是AF的中点， ∴DM=AF， ∵M是AF的中点，N是EF的中点， ∴MN=AE，MN∥AE， ∵AE＝AF， ∴MN＝DM， ∵∠ADF＝90°，AM＝MF， ∴MD＝MA＝MF， ∴∠MAD＝∠ADM， ∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°， ∵MN∥AE， ∴∠NMF＝∠EAF， ∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°， ∴DM⊥MN， ∴MN＝DM，MN⊥DM， 故答案为MN＝DM，MN⊥DM； （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质定理，找准角与角之间的关系是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $