精品解析：河北省9+1联盟2025-2026学年高三上学期12月期中数学试题

2026届高三年级上学期中调研考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算即可. 【详解】由题可得：， 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数值域求出集合，即可求两集合的并集. 【详解】由， 则， 故选：A. 3. 已知双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于，则C 的焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，结合题意可得，进而可求焦距的取值范围. 【详解】由双曲线可知渐近线方程为， 若双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于， 则，即， 可得C 的焦距为， 所以C 的焦距的取值范围是. 故选：D. 4. 已知平面向量均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合模长关系可得，结合题意可得，进而可求模长. 【详解】因为，且， 则， 即，可得， 又因为，则 则， 所以. 故选：C. 5. 若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数图象的对称中心为，由题意可知函数图象相邻对称中心间的距离为，则存在，使得，解出的表达式，即可得出结果. 【详解】对于函数，由可得， 所以函数图象的对称中心为， 又因为函数图象的对称中心也为， 故函数图象的对称中心为， 对于正弦型函数，由可得， 故函数图象的对称中心为， 故函数图象相邻对称中心间的距离为， 易知函数图象相邻对称中心间的距离为， 且原点为函数、的一个公共对称中心， 因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心， 故存在，使得，解得，C选项合乎要求. 故选：C. 6. 若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数过点，求出点关于直线对称点，进而求得，设函数图象上的点关于点的对称点为，点在函数的图象上，代入求解即可. 【详解】函数过点， 而点关于直线对称的点为， 因为函数的图象关于直线对称， 所以点在函数的图象上， 则，即，则， 设函数图象上的点关于点的对称点为， 所以，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，所以. 故选：B 7. 从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据所在象限以及进行分析，由此确定正确答案. 【详解】依题意，是第一象限，是第二象限，是第三象限，是第四象限， 对于函数，当是第一、二象限角时，； 当是第三、四象限角时，； 对于函数，当是第一、四象限角时，； 当是第二、三象限时，. 要使， 则需①且，或②且； 所以当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 共有种不同取法. 故选：B 8. 已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先说明与、与不重合，作出截面，设，根据台体的体积公式求出，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离. 【详解】如图，设平面与线段交于点，连接， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以， 则，所以， 当与重合时，截面为，，不合题意； 同理，与重合时，也不合题意； 如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，则，，，， 故，，， 所以三棱台的体积， 所以，化简整理得，解得， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离. 故选：D. 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知2019—2024年中国台球相关企业年注册量（单位:万家）依次为0.64，0.87，2.01，3.16，4.15，5.54，则下列结论正确的是（ ） A. 这6个数据的极差为5.09 B. 这6个数据的中位数为2.585 C. 这6个数据的平均数大于2 D. 从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2024年 【答案】BC 【解析】 【分析】利用极差的定义可判断A，利用中位数的定义可判断B，利用平均数的定义可判断C，分别计算2020到2024年的年注册量增长率可判断D. 【详解】对于A，这6个数据的极差为，故A错误； 对于B，，所以这6个数据的中位数为2.585，故B正确； 对于C，这6个数据的平均数为，故C正确； 对于D，2020到2024年的年注册量增长率依次为 ，，，，， 所以从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2021年，故D错误. 故选：BC. 10. 已知关于x的不等式 的解集为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，可能成立 D. 当中有4个元素时，a的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二次函数的性质、一元二次不等式、因式分解等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A： 当时，对于二次函数，则有， 化简得，解得或， 因为，所以，A正确； 对于B： 因为，所以满足不等式成立，则有. 因为，所以解得或，B错误； 对于C： 当时，不等式，即的解集 ，此时由于，一定有，C错误； 对于D： 中有4个元素，则，当时，得， 所以这4个元素是，所以，得； 当时，得，所以这4个元素是， 所以，得. 综上，当中有4个元素时，的取值范围是. 故选：AD. 11. 已知点是抛物线C 上与原点不重合的任意一点，直线是在点处的切线，，为垂足，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当的斜率为2时，点 到轴的距离为1 B. 若与轴分别交于点，则为的中点 C. 曲线与直线没有公共点 D. 曲线上的点到点 距离的平方的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用直线斜率已知，设出直线为，由于直线与抛物线相切，联立后使得即可找到交点的坐标，即可求得P 到y轴的距离；B.由于在抛物线上，设出，直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用相切，求解与的关系，代回直线方程，求出点坐标，利用中点坐标公式判断为的中点;C.根据直线方程为，由于，进而求出OQ的方程，与联立可得，令，由于无解，则没有公共点；D.的方程，是上的点，表示出 利用函数求出最值即可； 【详解】A.设直线为， 将直线与抛物线联立，可得，与抛物线相切， 所以，则，代入此时联立后的方程为 ，所以，所以P 到y轴的距离为，A选项错误. B.由题可知直线的斜率存在且不为,设，直线的方程为 ，联立直线与抛物线方程： 可得：，与抛物线相切，故，解得：，即，则直线的方程为，令，，故，令，，故，因为，所以为的中点，B选项正确； C.由B可知直线的方程，化简可得：，可知的斜率为，所以的斜率为，OQ的方程为，与相交于Q， 所以联立直线与，将代入可得， 化简可得曲线的方程为，令，得，该方程无解，故曲线与直线没有公共点，选项正确； D.，化简为可知， 所以的方程可化为，根据，可知，则， 设是上的点，则，设，则 当，即时取等号，所以的最小值为，D选项正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数________. ①；②恰有两个零点；③. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据导数的运算法则、零点的定义及特殊函数值写出一个满足题目的函数即可. 【详解】若，则，满足性质①； 令，解得， 则函数恰有两个零点2，，满足性质②； 而，满足性质③. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列为等差数列以及题中所给条件得到，因为，可以得到的最大值在处取得，求解即可. 【详解】因为为等差数列，且，，所以 ，解得，因为，所以，因为，所以，所以的最大值在处取得， ，所以若，则一元二次方程开口向上，无最大值，不符合题意，若，则一元二次函数的图像开口向下，最大值在对称轴处取得，，所以，解得. 故答案为：. 14. 若 对任意的恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解. 方法二：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解. 【详解】 【方法一】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 ，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得， 所以的取值范围是. 【方法二】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司想了解员工对薪资的满意度情况，对该公司的100名员工进行薪资满意度调查，调查结果如表所示： 入职年限 对薪资满意度情况 合计 满意 不满意 入职年限不少于2年 20 20 40 入职年限少于2年 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该公司员工对薪资的满意度是否与入职年限有关； （2）从样本中对薪资满意的员工中随机抽取2人，求这2人的入职年限都少于2年的概率. 附 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式求出，利用临界值表进行判定； （2）将组合数思想与古典概型相结合即可得结果. 【小问1详解】 零假设为：该公司员工对薪资的满意度与入职年限无关． 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即公司员工对薪资的满意度与入职年限有关，此推断犯错误的概率不大于0.1； 【小问2详解】 对薪资满意的员工共60人，其中不少于2年：20人，少于2年：40人， 抽取2人均为少于2年概率：. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得，从而可得； （2）由等面积法，利用三角形面积公式化简可得，再由基本不等式可得结果. 【小问1详解】 ， ， ， 化简可得，； 【小问2详解】 C的平分线与交于点D，， ， ， 化简可得，即， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值是. 17. 已知函数. （1）当时，求方程的解； （2）若，证明： 【答案】（1）； （2） ，，， 设，需要证明， ，， 当时，，则，故在上是单调递减函数； 当时，，则，故在上是单调递增函数； 则在处取最小值， 现在只需证明， 设，则，，， 在上是单调递增函数，， ，， ，， ，， ，， ，， ，得证. 【解析】 【分析】（1）由得到，构造函数，利用导数法求出的单调性，得到在处取最大值，从而得到的解； （2）由得到，构造函数，需要证明，利用导数法求出的单调性，从而得到在处取最小值，只需证明，构造函数，通过求导判断的单调性，得到，从而得到，由得到，从而得到，即，得证. 【小问1详解】 ，，又， ， 设，， 当时，，，则， 故在上是单调递增函数； 当时，，，则， 故在上是单调递减函数； 则在处取得最大值， ，故只有一个零点， 所以的解为； 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 （1）求C 的离心率. （2）若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 【答案】（1） （2）（i），（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用点差法可得，进而得，求得椭圆的离心率； （2）由题可先求得椭圆的方程，（i）设，代入椭圆方程，由求得的范围，结合两平行线间距离公式求得答案；（ii）由（1）点差法结论可得弦的中点始终在直线上，由，得直线与的交点始终在直线上，得证. 【小问1详解】 设，，的中点，则，， 由，两式相减整理得，即， ，解得， 所以椭圆离心率. 【小问2详解】 在中，令，得，故， 由的中点为，故， 直线方程为，即， 所以椭圆的方程为. （i）由，设， 代入椭圆方程并整理得， 由，得，且， 直线与的距离， 结合的范围，得，， ， （ii）设的中点，直线与的交点为， 由（1）知，即，所以， 即弦的中点始终在直线上， 又，所以直线的方程为. 因为，所以直线与的交点始终在直线上， 即直线与的交点在定直线上. 19. 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. （1）求证：四边形是矩形； （2）若 求二面角 的正弦值； （3）记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，在利用线面垂直的性质证明，最后利用三棱柱的性质证明四边形是矩形； （2）首先以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.然后分别求平面与平面的法向量，最后利用二面角的夹角公式进行求解即可. （3）首先根据三棱锥的体积公式确定数列是等比数列，并求其通项公式，再利用裂项相消法求和，并结合放缩法即可得证. 【小问1详解】 如图，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面. 因为平面，所以， 因为，所以， 又四边形是平行四边形，所以四边形是矩形. 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：. 设二面角的平面角的大小为， 则， 所以， 即二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由题可得：， 因为为线段的中点，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 所以， 所以， 由于，所以，因此得证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级上学期中调研考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于，则C 的焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5 5. 若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知2019—2024年中国台球相关企业年注册量（单位:万家）依次为0.64，0.87，2.01，3.16，4.15，5.54，则下列结论正确的是（ ） A. 这6个数据的极差为5.09 B. 这6个数据的中位数为2.585 C. 这6个数据的平均数大于2 D. 从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2024年 10. 已知关于x的不等式 的解集为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，可能成立 D. 当中有4个元素时，a的取值范围是 11. 已知点是抛物线C 上与原点不重合的任意一点，直线是在点处的切线，，为垂足，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当的斜率为2时，点 到轴的距离为1 B. 若与轴分别交于点，则为的中点 C. 曲线与直线没有公共点 D. 曲线上的点到点 距离的平方的最小值为 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数________. ①；②恰有两个零点；③. 13. 已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 14. 若 对任意的恒成立，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司想了解员工对薪资的满意度情况，对该公司的100名员工进行薪资满意度调查，调查结果如表所示： 入职年限 对薪资满意度情况 合计 满意 不满意 入职年限不少于2年 20 20 40 入职年限少于2年 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该公司员工对薪资的满意度是否与入职年限有关； （2）从样本中对薪资满意的员工中随机抽取2人，求这2人的入职年限都少于2年的概率. 附 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 17. 已知函数. （1）当时，求方程的解； （2）若，证明： 18. 已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 （1）求C 的离心率. （2）若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 19. 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. （1）求证：四边形是矩形； （2）若 求二面角 的正弦值； （3）记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $