精品解析：安徽省六安市舒城县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

舒城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，2， B. 3，，1 C. ，2， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，熟记二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的定义，判断出二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为、2、 故选： 2. 已知抛物线，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴，， ∴当时，y有最小值，最小值为0， 当时，y有最大值，最大值为， ∴当时，， 故选：B． 3. 如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（ ） x 1 y A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；由题意知，函数值的绝对值越小，则自变量越接近对应一元二次方程的解，比较函数值的绝对值即可判断． 【详解】解：由表知，函数值的绝对值最小，对应的自变量值最接近一元二次方程的一个根， 故选：B． 4. 某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（1，0），顶点 B、C 在第一象限，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，∠BAD＝60°，将菱形 ABCD 沿 AB 翻折得到菱形ABCD ，点 D′恰好落在 x 轴上，若函数的图象经过点 C′，则 k 的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出菱形的棱长AD，再作轴于，由30°直角三角形性质求出，，即可得点坐标，再由反比例性质即可解决问题； 【详解】解：由题意：， 在中，，， ． ， 作轴于．则，， ， 点在上， ， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 6. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，即可判断a，c的符号，然后求出即可求解． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上， ∵根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，则． 故选：A． 7. 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ） A. 4.14米 B. 2.56米 C. 6.70米 D. 3.82米 【答案】A 【解析】 【分析】设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，根据黄金分割确定的长，继而确定车身长，对照选项判断即可． 【详解】解：如图，设整个车身长为，点C表示倒车镜位置， 根据题意，米， ∴米， ∴车长米， 故选A． 【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并正确计算是解题的关键． 8. 如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键． 过点D作交于点H，根据和可得，再由，根据相似三角形的性质列出方程即可求出． 【详解】解：过点D作交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则， 又∵， ∴，即， 解得：，即， 故选：B． 10. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2） 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）． 故选C． 【点睛】本题考查1．位似变换；2．坐标与图形性质． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图像所经过的象限． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ∴一次函数为， ∵， ， 图像经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 12. 对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____． 【答案】 ①. ﹣8 ②. m＜﹣3 【解析】 【分析】（1）根据函数的同值点的定义，代入函数解析式即可求得答案； （2）（a，a），（b，b）在直线y＝x上，令＝x，整理得，可得Δ＝＞0，解得m＜1，再设，由a＜1＜b，可得x＝1时，y＝3+m＜0，解得m＜﹣3，即可求解． 【详解】解：（1）∵点（2，2）是此函数的同值点， ∴抛物线经过（2，2）， 将（2，2）代入得2＝4+6+m， 解得m＝﹣8， 故答案为：﹣8． （2）∵（a，a），（b，b）在直线y＝x上， 令＝x， 整理得， ∵函数有两个相异的同值点， ∴Δ＝＞0， 解得m＜1， 设， ∵a＜1＜b， ∴x＝1时，y＝3+m＜0， 解得m＜﹣3， 综上可知，m＜﹣3， 故答案为：m＜﹣3． 【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化． 13. 某平面图的比例尺为：，若平面图上甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图上距离与实际距离的换算，根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离乘以比例尺的分母，再通过单位换算将厘米转换为千米； 【详解】解：比例尺为，表示图上1厘米代表实际距离厘米； ∵图上距离为3厘米，则实际距离为； ∵1千米 厘米， ∴实际距离为， 故答案为：90 14. 在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为，进而分别求得垂线段的长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴ ∴，， 如图所示，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为 ∵ ∴ 当在线段上时， ∴ 在中， ∵ 在中，； 当E在射线上时， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， 综上所述，点到对角线所在直线的距离为：或或 故答案为：或或． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 根据条件求二次函数的解析式 （1）抛物线过，，三点； （2）抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设一般式，用待定系数法求出解析式； （2）设顶点式，用待定系数法求出解析式； 本题考查求二次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式． 【小问1详解】 设出抛物线的解析式为， 将点，代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴交点的纵坐标为， ， 解得． 抛物线的解析式是， 即． 16. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，利用设k法是解题的关键． 由，得到，设  ，则，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 设  ，则，， ． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数（m是常数）． （1）若该函数是一次函数，求的值； （2）若该函数是二次函数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵是一次函数， 且， 解得． 【小问2详解】 解：函数（m是常数）是二次函数， ，且， 解得：，且， ． 18. 已知抛物线． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴； （2）直接写出抛物线与x轴的两个交点（点A在点B的左侧）及与y轴的交点C的坐标＿＿＿； （3）再给出坐标系中，画出函数的图像； （4）结合图像直接写出时，自变量x的取值范围是＿＿＿＿＿； （5）若方程有实数根，直接写出k的取值范围是＿＿＿． 【答案】（1），对称轴为直线 （2） （3） 如图， （4）或 （5） 【解析】 【分析】（1）首先利用配方法将含数关系式变形为的形式，然后可作出判断； （2）令得到关于x的方程，从而可求得点A和点B的坐标，然后令可得到y的值，从而可得到点C的坐标； （3）利用五点法画二次函数图像； （4）观察图像，图像在x轴下方的部分，即或； （5）方程有实数根，相当于抛物线和直线有交点，则． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令得：，解得：或， ∴A点的坐标为，B点坐标为， ∵时，， ∴C点坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由函数图像可知，当时，或， 故答案为：或； 【小问5详解】 解：∵二次函数有最大值，最大值是4， 方程有实数根，相当于抛物线和直线有交点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程，根据题意画出函数图像，利用数形结合求解是解答此题的关键． 19. 如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求点 P坐标； （2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M坐标． 【答案】（1）P（2，4）；（2）M坐标（3，0）或（9，0）. 【解析】 【分析】（1）先将点Q坐标代入y＝x，求出a的值，再代入y＝求出k的值，再将点P坐标代入反比例函数解析式即可． （2）延长PQ交x轴于A，连接QM，根据待定系数法求出直线PQ解析式，从而求得点A的坐标，设M（n，0）根据S△PQM=S△PAM-S△QAM 列出方程即可得M坐标． 【详解】解：（1）∵直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a）， ∴a＝×4＝2， a＝ ∴k＝8 ∴反比例函数y＝（x＞0） ∵点P（m，n）是反比例函数图象上一点， ∴mn＝8，且n＝2m，m＞0 ∴m＝2，n＝4 ∴P（2，4） （2）延长PQ交x轴于A，连接OM， 设直线PQ解析式y＝kx+b， ∴ 解得： ∴解析式y＝﹣x+6， ∵直线PQ交x轴于A， ∴A（6，0）， 设M（n，0）且△PMQ的面积为3 ∵S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM ∴3＝|6﹣n|×4﹣|6﹣n|×2， ∴n＝3或n＝9， ∴M坐标（3，0）或（9，0） 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，涉及到用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，本题的关键是根据S△PQM=S△PAM-S△QAM 可得方程，求得M坐标． 20. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 【答案】（1）6； （2）∵DE∥BC，EF∥CG， ∴， ∴AD•AG=AF•AB． 【解析】 【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC； （2）由平行可知 ，可得出结论． 【详解】解：（1）∵DE∥BC， ∴， 又，AE=3， ∴， 解得AC=9， ∴EC=AC-AE=9-3=6； （2） 略 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动几秒时，和相似？ 【答案】同时运动或者时两个三角形相似 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设同时运动时两个三角形相似， 根据题意得，，， 当，则，即， 解得； 当，则，即， 解得． 答：同时运动或者时两个三角形相似． 22. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G （1）求证：： （2）若正方形的边长为4，求的面积． 【答案】(1)证明：设正方形的边长为4， 为AD的中点， ，． ， ，， ，， ， 又， ； (2)20. 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF； （2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ， ， 的面积． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用． 23. 如图，分别位于反比例函数y＝，y＝ 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积． 【答案】（1）；（2）8． 【解析】 【详解】试题分析：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值； （2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解． 试题解析： (1)作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F， ∴AE∥BF，∴△AOE∽△BOF， ∴＝＝＝. 由点A在函数y＝的图象上， 设A的坐标是， ∴＝＝，＝＝， ∴OF＝3m，BF＝， 即B的坐标是. 又点B在y＝的图象上， ∴＝，解得k＝9， 则反比例函数y＝的表达式是y＝. (2)由(1)可知A，B， 又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C， ∴C的纵坐标是. 把y＝代入y＝得x＝9m， ∴C的坐标是， ∴AC＝9m－m＝8m. ∴S△ABC＝×8m×＝8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舒城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，2， B. 3，，1 C. ，2， D. ，， 2. 已知抛物线，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（ ） x 1 y A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 4. 某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（1，0），顶点 B、C 在第一象限，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，∠BAD＝60°，将菱形 ABCD 沿 AB 翻折得到菱形ABCD ，点 D′恰好落在 x 轴上，若函数的图象经过点 C′，则 k 的值（ ） A. B. C. D. 6. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ） A. 4.14米 B. 2.56米 C. 6.70米 D. 3.82米 8. 如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 9. 如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 12. 对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____． 13. 某平面图的比例尺为：，若平面图上甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为__________． 14. 在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是______． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 根据条件求二次函数的解析式 （1）抛物线过，，三点； （2）抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 16. 已知，，求的值． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数（m是常数）． （1）若该函数是一次函数，求的值； （2）若该函数是二次函数，求的值． 18. 已知抛物线． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴； （2）直接写出抛物线与x轴的两个交点（点A在点B的左侧）及与y轴的交点C的坐标＿＿＿； （3）再给出坐标系中，画出函数的图像； （4）结合图像直接写出时，自变量x的取值范围是＿＿＿＿＿； （5）若方程有实数根，直接写出k的取值范围是＿＿＿． 19. 如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求点 P坐标； （2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M坐标． 20. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动几秒时，和相似？ 22. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G （1）求证：： （2）若正方形的边长为4，求的面积． 23. 如图，分别位于反比例函数y＝，y＝ 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $