第8课 角 期末总复习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

该初中数学讲义通过表格梳理与知识框架构建角的系统复习体系，涵盖角的度量、比较、平分线、余补角及导角模型五大知识点，以层级递进呈现定义、性质与应用，突出角平分线、导角模型等重难点，明晰知识内在逻辑联系。 讲义精选各地期末真题设计例题与分层练习，融入分类讨论、方程思想等方法，如钟面角计算、方向角应用培养几何直观与推理意识，基础题与综合题结合适配不同学生，助力教师实施精准教学提升复习效率。

六年级数学期末总复习讲义 第8课 角 知识点梳理 知识点01——角及其度量 知识点02——角的比较和应用 知识点03——画角的和差与角的平分线 知识点04——余角和补角 知识点05——导角模型 知识点01 角及其度量 1.角的概念 （1）定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角也可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. （2）角的表示方法： 用三个大写字母表示： 如 ∠AＣB（顶点字母必须在中间）; 用一个大写字母表示： 如 ∠Ｃ（当顶点处只有一个角时）; 用一个数字表示： 如 ∠1（在角内部靠近顶点处标上数字）; 用一个希腊字母表示： 如 ∠α（在角内部靠近顶点处标上希腊字母）. （3）平角、周角、直角及特殊角的画法 一条射线OA（始边）绕着它的端点O旋转到终点位置OB（终边）. ①平角： 当OA与OB呈一条直线时，所成的角叫平角； ②周角：当OA与OB重合时，所成的角叫周角； ③直角：当OA与OB所成的角是平角的一半时，所成的角叫直角. 2.角的度量 1周角=360o ,1平角=180o ,1直角=90o， 1°=60′ 1′=60″ 3.度分秒的四则运算 在进行度分秒的加减法运算时，需要分别将度、分和秒相加减，如果某一位满60需进位.当某一位不够减时，需要从高一位借1(即60).如： 乘除法运算通常也需要注意将度分秒转换为十进制数进行计算. 例题讲解 题型1:角的概念 例1（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 题型2：用三角板画特殊角 例2（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：依题意，一副三角板中的角度有、、、， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不能画出的角度，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 题型3：角的度量 例3（1）（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握，． 根据度分秒的减法，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． （2）（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，根据换算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． （3）（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 课后练习 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）与表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 5．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 6．（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 7．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知，则的补角表示为 ． 8．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 9．（24-25六年级上·上海·假期作业）已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24六年级下·上海宝山·期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 知识点02 角的比较与应用 1.角的大小比较 ①度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小. ②叠合法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置. 2.方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向. 例如：“北偏东30°”表示以正北方向为起始边，向东旋转30°. 注意： ①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后. ②偏转角度不超过90°. 3.钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为360度. 每小时，时针转动30度(),而分针每分钟转动6度() 例题讲解 题型1：角的比较和运算 例4（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 题型2：方位角 例55．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 题型3：钟面角 例6（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 课后练习 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）小明早上7：00去上学，上学时时针和分针的夹角（小于平角的角）是 ． 5.（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，点表示人民广场，点表示真如镇，那么射线表示的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 7．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 知识点03 画角的和差与角平分线 1.角的和与差 图1图2 如图1，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作 ∠AOC = ∠AOB+∠BOC 如图1，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作 ∠AOB =∠AOC-∠BOC 2.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. ∵ OB是∠AOC的平分线， ∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC，或 ∠AOC = 2∠AOB = 2∠BOC. 3. 角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一. 如图2,若∠AOB=∠BOC=∠COD,则∠AOD=3∠AOB.∠AOB=∠AOC 例题讲解 题型1：角的和差 例8（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 题型2：角的平分线 例8（23-24六年级下·上海徐汇·期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 【答案】13或45 【分析】本题主要考查的是余角的定义、角平分线的定义．先求得的度数，然后依据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，与互余， ． 如图1所示：， 平分， ． 如图2所示： ， 平分， ． 故答案为：13或45． 题型3：角的倍分 例9（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 例10（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，，则的度数是 ． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如图，，，则 ． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 5．（24-25六年级上·上海·期末）如图，若，则 ． 6． （24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 7．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 8．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 知识点04 余角和补角 1.余角和补角的定义 互余： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余.其中一个角是另一个角的余角. 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠1 与 ∠2 互余. 互补： 如果 两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补.其中一个角是另一个角的补角. 几何语言： ∵ ∠α+∠β=180°，∴ ∠α 与 ∠β 互补. 注意： 2. 余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等. 同角（等角）的补角相等. 例题讲解 题型1求一个角的余角或补角（用方程思想） 例11（24-25七年级上·四川泸州·期末）一个角的补角是它的4倍，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义，解题关键是熟练掌握补角的定义．设这个角为，再根据题意列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 由题意得：， ， ， ∴这个角的度数是， 故选：C． 题型2余角或补角的性质 例12（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 题型3分类讨论思想的运用 例13（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（2021·陕西宝鸡·一模）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 7．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，使得一条直角边在射线上．另一边在直线的上方，将直角三角板绕着点以/秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，的度数为_______，的度数为_______； (2)当直角三角板旋转到图②的位置时．恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中．是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在．请求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．          (1)，则_____． (2)写出图1中相等的角； (3)若变大，如何变化，说明原因； (4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角． 10．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 知识点05 导角模型 1.导角模型 单角平分线 双角平分线求和型 双角平分线求差型 普通型 垂直型 普通型 垂直型 OB平分∠AOC ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC,OF平分∠BOC，A,O,C三点共线 ∠EOF =∠AOC=90o OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOC=90o ∠EOF =∠AOC=45o 联系 两半角的和等于原角和的一半，两半角的差等于原角差的一半 例题讲解 题型1：一条角平分线 例14．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2：两条角平分线 例15内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)______； (2)____________； (3)______+____________； (4)若，则______． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键． （1）由角的和差计算即可得出答案； （2）根据题意，由角平分线的定义解答即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据进而得出答案； （4）由（3）得出与的关系解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 故答案为：； （4）解：由（3）可知，， 若， 则． 故答案为：． 题型3：分类讨论思想的运用 例16如图，钟表上显示的时间是时分． (1)时针与分针的夹角为 ． (2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分． ①若在内部，且，则 ． ②若在外部，且，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了钟表角度的计算和角平分线的定义，首先需要计算时针与分针的夹角，其次根据角平分线的定义，计算不同情况下的度数． （1）根据时针每小时转过的角度计算即可得； （2）①当射线在内部时，由平分可知，，由平分可知，，即可得； ②分为两种情况分析： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数． 【详解】（1）时针每小时转过的角度为， 时针与分针的夹角为． （2）①如图1所示，当射线在内部时 平分，平分， ，， ； ②分两种情况： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或．      课后练习 1．（24-25六年级上·上海·期末）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 2．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 4．（23-24六年级下·上海·期末）如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 6．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 7．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3) 如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 8．（24-25六年级上·上海·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 9．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） （24-25六年级上·上海·期末）老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学期末总复习讲义 第8课 角 知识点梳理 知识点01——角及其度量 知识点02——角的比较和应用 知识点03——画角的和差与角的平分线 知识点04——余角和补角 知识点05——导角模型 知识点01 角及其度量 1.角的概念 （1）定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角也可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. （2）角的表示方法： 用三个大写字母表示： 如 ∠AＣB（顶点字母必须在中间）; 用一个大写字母表示： 如 ∠Ｃ（当顶点处只有一个角时）; 用一个数字表示： 如 ∠1（在角内部靠近顶点处标上数字）; 用一个希腊字母表示： 如 ∠α（在角内部靠近顶点处标上希腊字母）. （3）平角、周角、直角及特殊角的画法 一条射线OA（始边）绕着它的端点O旋转到终点位置OB（终边）. ①平角： 当OA与OB呈一条直线时，所成的角叫平角； ②周角：当OA与OB重合时，所成的角叫周角； ③直角：当OA与OB所成的角是平角的一半时，所成的角叫直角. 2.角的度量 1周角=360o ,1平角=180o ,1直角=90o， 1°=60′ 1′=60″ 3.度分秒的四则运算 在进行度分秒的加减法运算时，需要分别将度、分和秒相加减，如果某一位满60需进位.当某一位不够减时，需要从高一位借1(即60).如： 45°30′+15°45′=60°75′=61°15′ 45°20'15”-10°30'45”=34°49'30”(注意借位) 乘除法运算通常也需要注意将度分秒转换为十进制数进行计算. 例题讲解 题型1:角的概念 例1（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 题型2：用三角板画特殊角 例2（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：依题意，一副三角板中的角度有、、、， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不能画出的角度，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 题型3：角的度量 例3（1）（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握，． 根据度分秒的减法，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． （2）（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，根据换算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． （3）（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 课后练习 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）与表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由共一个端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，角的大小与角的两边张开的程度有关；根据角的概念、表示及大小逐一进行判断即可． 【详解】（1）角的大小与角的两边张开的程度有关，与角的两边长短无关，故说法错误； （2）与表示同一个角，此说法正确； （3）角的两边是两条射线，射线是向一端无限延伸的，故此说法错误； （4）此说法正确； 所以错误的有2个 故选：B． 【点睛】本题考查了角的概念、角的大小、角的表示等知识，掌握这些知识是关键． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角和为． 【详解】解：， 即的补角的度数为． 故答案为：． 6．（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】先将度分进行单位统一，当分不够减时，从度借化为，再进行分和度的分别相减．本题主要考查了度分秒的减法运算，熟练掌握度分秒之间的进制（）并灵活进行单位转换是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知，则的补角表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求补角，角度值的转化，正确的计算是解题的关键．先统一单位为度，然后根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的补角表示为， 故答案为：． 8．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，利用度分秒的转换关系进行计算即可，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海·假期作业）已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的概念，理解钝角的定义，掌握不等式的性质是得出答案的关键．根据钝角的定义，钝角都大于且小于计算． 【详解】解： ，是两个钝角（钝角都大于且小于）， ，． 所以一定大于且小于； 则一定大于且小于， 故正确． 故选：B． 10．（23-24六年级下·上海宝山·期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵一副三角板中的角度有、、、， ∴A、不能画出的角度，故选项A符合题意， B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 知识点02 角的比较与应用 1.角的大小比较 ①度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小. ②叠合法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置. 2.方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向. 例如：“北偏东30°”表示以正北方向为起始边，向东旋转30°. 注意： ①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后. ②偏转角度不超过90°. 3.钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为360度. 每小时，时针转动30度(),而分针每分钟转动6度() 例题讲解 题型1：角的比较和运算 例4（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 题型2：方位角 例55．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 题型3：钟面角 例6（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 课后练习 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）如图，点为内部一点，连接，关于角的描述错误的是（   ） A．与表示同一个角 B． C．表示 D．小于 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，结合图形并根据角的概念即可求出答案．解题的关键是正确理解角的表示方法． 【详解】解：A．与表示同一个角，故此选项不符合题意； B．如图，，故此选项不符合题意； C．表示，故此选项不符合题意； D．如图，，则大于，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 【详解】解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）小明早上7：00去上学，上学时时针和分针的夹角（小于平角的角）是 ． 【答案】/度 【分析】钟表在7点时，分针正好指着数字“12”，时针指在数字“7”，此时时针和分针所形成的较小的角占5个大格，根据钟表每个大格的度数计算即可得． 题目主要考查钟面角度的计算，理解题意，熟练掌握运用钟面角度的特性是解题关键． 【详解】解：钟表7：00分时，分针正好指着数字“12”，时针指在数字“7”，此时时针和分针所形成的较小的角占5个大格； ∵钟面上有12个大格， ∴每个大格的度数为：， ∴， 故答案为：． 5.（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，点表示人民广场，点表示真如镇，那么射线表示的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 【答案】A 【分析】本题考查了方向角的应用，运用数形结合思想，读取图形的信息，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∴射线表示的方向是北偏西， 故选：A． 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的概念即可得答案． 【详解】解：从A观测B处的方向为南偏东， 故选：． 7．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】本题考查方位角，根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：过点作的平行线，交延长线于点 观察可知， ， ， 与平行 ， ， 灯塔在灯塔北偏西． 故选：B． 知识点03 画角的和差与角平分线 1.角的和与差 图1图2 如图1，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作 ∠AOC = ∠AOB+∠BOC 如图1，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作 ∠AOB =∠AOC-∠BOC 2.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. ∵ OB是∠AOC的平分线， ∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC，或 ∠AOC = 2∠AOB = 2∠BOC. 3. 角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一. 如图2,若∠AOB=∠BOC=∠COD,则∠AOD=3∠AOB.∠AOB=∠AOC 例题讲解 题型1：角的和差 例8（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 题型2：角的平分线 例8（23-24六年级下·上海徐汇·期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 【答案】13或45 【分析】本题主要考查的是余角的定义、角平分线的定义．先求得的度数，然后依据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，与互余， ． 如图1所示：， 平分， ． 如图2所示： ， 平分， ． 故答案为：13或45． 题型3：角的倍分 例9（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 例10（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，分和两种情况考虑是解题的关键． 分在中和在中两种情况考虑，当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数；当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数． 【详解】解：当在中时，如图1所示， ∵， ∴； 当在中时，如图2所示， ∵， ∴． 故答案为：或． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角的和差运算，根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为： 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，属于基础题，关键要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 【详解】解：如图， 如果射线在下方，， 如果射线在射线的上方，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当射线在内部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 如图所示，当射线在外部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 5．（24-25六年级上·上海·期末）如图，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算．根据已知角的度数求出，再利用计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了补角的定义，互补的两个角的和等于，作出图形，根据互为补角的两个角的和等于求出的度数，再分射线在的内部与外部两种情况，然后求解即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， 如图，在的内部， ， 如图，在的外部时， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 8．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的倍数关系，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差． （1）利用角的平分线的定义求出的度数，再利用角的和差求出的度数，最后根据角的倍数关系以及角的和差即可求解； （2）假设，则，利用角的和差表示出相关的角，然后进行比较即可得出数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 假设，则，， ∴， 则． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 【答案】(1) (2)还能求出的度数，理由见详解； (3)能确定的度数，理由见详解． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，正确认识图形，找准角的和差关系是正确解答此题的关键． 能确定的度数？请说明理由． （1）由，先求出，再利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数是的度数的； （3）利用角平分线的定义及角的和差关系求出的度数是的度数的即可说明理由． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数， 理由如下： 射线平分， ， ， ， ； 即的度数是的度数的； 所以如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数； （3）解：只给出的度数，能确定的度数，理由如下： ， ， 射线平分， ， 平分， ， 的度数已知， 和已知， 由和得 ， ， ， 已知， 即已知， ， ，， ， ， ， 即已知可以确定． 知识点04 余角和补角 1.余角和补角的定义 互余： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余.其中一个角是另一个角的余角. 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠1 与 ∠2 互余. 互补： 如果 两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补.其中一个角是另一个角的补角. 几何语言： ∵ ∠α+∠β=180°，∴ ∠α 与 ∠β 互补. 注意： 2. 余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等. 同角（等角）的补角相等. 例题讲解 题型1求一个角的余角或补角（用方程思想） 例11（24-25七年级上·四川泸州·期末）一个角的补角是它的4倍，则这个角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义，解题关键是熟练掌握补角的定义．设这个角为，再根据题意列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 由题意得：， ， ， ∴这个角的度数是， 故选：C． 题型2余角或补角的性质 例12（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 题型3分类讨论思想的运用 例13（24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 2．（2021·陕西宝鸡·一模）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角，掌握互为补角的两角之和为度是关键． 【详解】解：的补角为：， 故选：B． 3．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则的余角的度数为，说法正确； B. 一个锐角的余角比这个角的补角小，说法正确； C. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角，也有可能是两个直角，原说法错误； D. 如果大于，那么的补角小于的补角，说法正确； 故选C． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的运算，掌握互补两角和等于是关键． 【详解】解：， 则的补角为 故答案为：． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对余角和补角的应用、三角板中角度的计算问题，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据图形和余角的定义，只需满足即可． 【详解】解：A、∵， ∴与互余，故本选项符合题意． B、由同角的余角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． C、由等角的补角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． D、和互补，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 7．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，使得一条直角边在射线上．另一边在直线的上方，将直角三角板绕着点以/秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，的度数为_______，的度数为_______； (2)当直角三角板旋转到图②的位置时．恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中．是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在．请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差、余角的性质等； （1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线；结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解； 掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：； 理由如下： ， ， ， 恰好平分， ， ， ； （3）解：存在； 理由如下： ①当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ②当是、构成夹角的平分线， 9．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．          (1)，则_____． (2)写出图1中相等的角； (3)若变大，如何变化，说明原因； (4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角． 【答案】(1) (2)；； (3)变小，见解析 (4)，图形见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握角度的和差关系是解题关键． （1）先求出的度数，根据即可求解； （2）根据题意得，再利用，即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据同角的余角相等即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为:． （2）解：根据题意，可得：， ， ． 故答案为：；；． （3）解：由（1）得：， 若的度数变大，则的度数变小． （4）解：如图，，理由如下； ， ，， ． 10．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 知识点05 导角模型 1.导角模型 单角平分线 双角平分线求和型 双角平分线求差型 普通型 垂直型 普通型 垂直型 OB平分∠AOC ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC,OF平分∠BOC，A,O,C三点共线 ∠EOF =∠AOC=90o OE平分∠AOC， OF平分∠BOC， ∠EOF =∠AOC OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOC=90o ∠EOF =∠AOC=45o 联系 两半角的和等于原角和的一半，两半角的差等于原角差的一半 例题讲解 题型1：一条角平分线 例14．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2：两条角平分线 例15内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)______； (2)____________； (3)______+____________； (4)若，则______． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键． （1）由角的和差计算即可得出答案； （2）根据题意，由角平分线的定义解答即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据进而得出答案； （4）由（3）得出与的关系解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 故答案为：； （4）解：由（3）可知，， 若， 则． 故答案为：． 题型3：分类讨论思想的运用 例16如图，钟表上显示的时间是时分． (1)时针与分针的夹角为 ． (2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分． ①若在内部，且，则 ． ②若在外部，且，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了钟表角度的计算和角平分线的定义，首先需要计算时针与分针的夹角，其次根据角平分线的定义，计算不同情况下的度数． （1）根据时针每小时转过的角度计算即可得； （2）①当射线在内部时，由平分可知，，由平分可知，，即可得； ②分为两种情况分析： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数． 【详解】（1）时针每小时转过的角度为， 时针与分针的夹角为． （2）①如图1所示，当射线在内部时 平分，平分， ，， ； ②分两种情况： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或．      课后练习 1．如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角的定义，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵A、O、E三点在同一条直线上， ∴， 故答案为：． 3．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．（23-24六年级下·上海·期末）如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    【答案】/88度 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差，先根据角平分线的定义得到，，然后根据解题即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、与角平分线有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 6．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 7．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不会发生变化，见解析 (3)或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可； ②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1）解：，为的分位线，且； ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①，分别为与的分位线，（，） ，， ， ， ，， ， ， ； ②不变； ，分别为与的分位线，（，）， ，， ； 若，的度数不会改变； （3）解：根据题意作图，如图所示， 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设， 则，， ∵点、、在同一条直线上， ， ， 解得； ∴； 的度数为或． 8．综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 9．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 10．数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $