第六章反比例函数题型突破 (21题型) 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

第六章反比例函数题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册(21题型) 题型一：用反比例函数描述数量关系 1.下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 2.下列选项中，说法错误的是（   ） A．在中，与成反比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成反比例 D．在中，与成反比例 3.下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 题型二：反比例函数的定义 1.下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2.下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知是反比例函数，则m的值为 ． 题型三：由反比例函数的解析式求函数的值 1.反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A． B． C． D． 2.已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（    ） A．3 B． C． D． 3．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 题型四：待定系数法确定反比例函数的解析式 1.已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ． 3.已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 题型五：由反比例函数解析式判断其性质 1.那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 2.已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 3．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 题型六： 判断反比例函数图象 1.反比例函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 2.表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 3.把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A． B． C． D． 题型七：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1.若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 2.正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3.如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 题型八：反比例函数图象所在象限 1.若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ） A． B． C． D． 3.若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：反比例函数的增减性 1.若函数的图象在其每一个分支中的值随值的增大而增大，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 3.有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是 （填序号）． 题型十：比较反比例函数值或自变量的大小 1.反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2.如果反比例函数的图象经过点、，，且，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 3.如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 题型十一：反比例函数中面积与k的几何意义 1.如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（    ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 2.如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 3.如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 题型十二：反比例函数与一次函数的图象共存问题 1.函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x﹣a与y＝(a≠0)的图象可能是(   ) A．   B．   C．   D．   题型十三：利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式 1.一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 3.如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 题型十四：反比例函数的应用——行程问题 1.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 2.一辆汽车准备从甲地开往乙地．若平均速度为80km/h，则需要5h到达． （1）写出汽车从甲地到乙地所用时间t与平均速度v之间的关系式； （2）如果需要8h到达，那么平均速度是多少？ 3.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 题型十五：反比例函数的应用——工程问题 1.某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 2.某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是 ． （2）当时，放水的平均速度为 ． 3.周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 题型十六：反比例函数的应用——商品销售问题 1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 3.某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成， 其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据： x（场） 4 8 15 p（万元） 5 6 7 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式； （3）当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？ （4）在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？（结果保留整数） 题型十七：反比例函数的应用——几何图形问题 1.面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 2．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ． 3.如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记 点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 题型十八：反比例函数的应用——物理问题 1.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流Ⅰ（A）与电阻R（）是反比例函数关系，如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数解析式为 B．蓄电池组的电压是 C．当A时， D．当时，A 3.某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； (2)如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 题型十九：反比例函数的应用——表格问题 1.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 2.全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系 ． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 3.小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 题型二十：反比例函数与一次函数的实际应用 1. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 2.为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）． （1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式； （2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长． 题型二十一：反比例函数与一次函数的综合应用 1.如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． (1)连接，当时，求反比例函数的解析式； (2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 2.如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 3.如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】 第六章反比例函数题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册(21题型) 题型一：用反比例函数描述数量关系 1.下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 2.下列选项中，说法错误的是（   ） A．在中，与成反比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成反比例 D．在中，与成反比例 【答案】D 3.下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 【答案】D 题型二：反比例函数的定义 1.下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 3．已知是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 题型三：由反比例函数的解析式求函数的值 1.反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 3．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 题型四：待定系数法确定反比例函数的解析式 1.已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 2.在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ． 【答案】1 3.已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 题型五：由反比例函数解析式判断其性质 1.那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 2.已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 【答案】A 3．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【答案】C 题型六： 判断反比例函数图象 1.反比例函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】C． 2.表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 3.把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A． B． C． D． 【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D 题型七：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1.若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 题型八：反比例函数图象所在象限 1.若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 2.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 题型九：反比例函数的增减性 1.若函数的图象在其每一个分支中的值随值的增大而增大，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 2.如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 【答案】D 3.有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是 （填序号）． 【答案】②⑥/⑥② 题型十：比较反比例函数值或自变量的大小 1.反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 2.如果反比例函数的图象经过点、，，且，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 3.如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】k1＜k2＜k3 题型十一：反比例函数中面积与k的几何意义 1.如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（    ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【答案】B 2.如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 【答案】 3.如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】// 题型十二：反比例函数与一次函数的图象共存问题 1.函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x﹣a与y＝(a≠0)的图象可能是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 题型十三：利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式 1.一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 3.如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 【答案】或 题型十四：反比例函数的应用——行程问题 1.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 【答案】240 2.一辆汽车准备从甲地开往乙地．若平均速度为80km/h，则需要5h到达． （1）写出汽车从甲地到乙地所用时间t与平均速度v之间的关系式； （2）如果需要8h到达，那么平均速度是多少？ 【答案】解：（1）∵平均速度为80km/h，则需要5h到达， ∴甲地到乙地的距离为80×5＝400（km）， ∴vt＝400， ∴汽车从甲地到乙地所用时间t与平均速度v之间的关系式t＝； （2）当t＝8时，v＝＝50， ∴平均速度是50km/h． 3.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 【答案】 (1) 由题意得，函数经过点（40，1）， ，得k=40， ∴函数关系式为： 把（m，0．5）代入，得m=80； (2) 把v=50代入，得， ∵t随v的增大而减小， ∴汽车通过该路段最少需要小时． 题型十五：反比例函数的应用——工程问题 1.某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 【答案】5小时 2.某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是 ． （2）当时，放水的平均速度为 ． 【答案】 400 【详解】解：某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：①，②． 3.周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 【答案】(1) (2)完成录入所需的时间为16分钟 【详解】（1）由题意，得与之间的函数关系式为； （2）将字/分代入上式，得（分）， 答：完成录入所需的时间为16分钟． 题型十六：反比例函数的应用——商品销售问题 1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C． 2.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】(1)y关于x的关系式为； (2)每台空调的定价为2750元． 【详解】（1）解：∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； （2）解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为(元)． 答：每台空调的定价为2750元． 3.某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成， 其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据： x（场） 4 8 15 p（万元） 5 6 7 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式； （3）当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？ （4）在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？（结果保留整数） 【答案】 解：（1）由题意可得，y与x的函数关系式为y＝38﹣2（x﹣1）＝﹣2x+40； （2）设基本价为b， ①∵第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比， ∴设p与x的函数关系式为p＝ax+b， 依题意得，解得， ∴p＝x+4（1≤x≤10）； ②∵第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，由①知b＝4， ∴设p与x的函数关系式为p＝+4， 依题意得7＝+4，解得m＝45， ∴p＝+4（11≤x≤18）； 综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为 p＝； （3）当p＝6.5时，6.5＝x+4或6.5＝+4，解得x＝10或x＝18． ∴当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场； （4）设每场获得的利润为w（万元）． ①当1≤x≤10时，w＝（x+4﹣4）（﹣2x+40）＝﹣（x﹣10）2+50， ∵﹣＜0， ∴当x＝10时，w最大，最大利润为50万元； ②当11≤x≤18时，w＝（+4﹣4）（﹣2x+40）＝﹣90， ∵1800＞0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝11时，w最大，最大利润w＝﹣90≈74（万元）， ∵50＜74， ∴在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元． 题型十七：反比例函数的应用——几何图形问题 1.面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ． 【答案】 3.如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记 点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 【答案】（） 题型十八：反比例函数的应用——物理问题 1.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 2．已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流Ⅰ（A）与电阻R（）是反比例函数关系，如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数解析式为 B．蓄电池组的电压是 C．当A时， D．当时，A 【答案】D 3.某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； (2)如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 【答案】(1) (2)选用的木板的面积至少要 【详解】（1）解：由图象得：双曲线过点，在第一象限， ∴， ∴反比例函数表达式为：； （2）解：当时：，即：； 由图象可知，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴选用的木板的面积至少要． 题型十九：反比例函数的应用——表格问题 1.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 2.全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系 ． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 【答案】 3.小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【答案】(1)(2)不够用 【详解】（1）解：由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，所以y与x之间的函数表达式为 （2）当保持的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为    因为，所以油箱中的油不够用． 题型二十：反比例函数与一次函数的实际应用 2. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； (2)从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设正比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由可得，当时，， 由可得，当时，， 由函数图象可得，当时，， ∵， ∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 2.为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）． （1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式； （2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长． 【答案】解：（1）当x＞5时，设y关于x的函数解析式为y＝， 把（5，8）代入解析式得：8＝， 解得k＝40， ∴当x＞5时，y关于x的函数解析式为y＝； （2）根据题意得，当0＜x≤5时，y关于x的函数解析式为y＝x， 把y＝4代入y＝x得：x＝； 把y＝4代入y＝得：x＝10． ∵10﹣＝＝7.5（min）， ∴本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长为7.5min． 题型二十一：反比例函数与一次函数的综合应用 1.如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． (1)连接，当时，求反比例函数的解析式； (2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 【答案】(1)(2)1(3)或 【详解】（1）解：如图1， 由题意知，， 解得，或（舍去）， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，平移后的点坐标为， ∵点在函数的图像上，点恰好落在函数的图像上， ∴， 解得，， ∴的值为1． （3）解：如图2， 设，则，， 当在点左侧时，，则， 将代入得，， ∴， 解得，； 当在点右侧时，同理可得，，，， ∴， 解得，； 综上所述，k的值为或． 2.如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵正比例函数经过点， ∴ ∴； （2）解：∵轴，的面积为 ∴设点B的横坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ 设反比例函数解析式为 将代入得， ∴ ∴反比例函数解析式为； （3）解：∵点C在直线上 ∴设 如图所示，当时，即    ∵轴， ∴轴 ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 综上所述，点的坐标为或． 3.如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $