第六章反比例函数训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第六章 反比例函数 训练 一、单选题 1．点在反比例函数的图象上，则该函数图象还经过点（    ） A． B． C． D． 2．已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定立的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程有两个相等的实数根，点，点在反比例函数的图象上，若，则，，0的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 5．已知反比例函数的图象，如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为（　　） A． B．2 C．或 D．或 8．已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 9．下列关于的函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 二、填空题 11．如图，直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集为 ． 12．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点，则点C到线段的距离为 ． 13．中国智能无人机在物流配送领域大放异彩，成为解决“最后一公里”配送难题的得力助手．某新型智能无人机的飞行续航里程是其所载物资重量的反比例函数．经测试，当这款无人机装载2千克物资时，它的飞行续航里程为15千米．若配送站接到一个紧急订单，要用无人机将物资送到距离站点10千米处的客户手中，则该无人机此次最多能装载 千克物资． 14．如图，平面直角坐标系的第二象限内有一正六边形，点，点．我们将正六边形内部或边上横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，反比例函数的图象记为l．若l两侧“好点”的个数相同，则k的取值范围为 ． 15．如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号 三、解答题 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为． (1)求m、k的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 17．如图，为反比例函数(其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，， 连接 且． (1)求的值； (2)过点作， 交反比例函数 (其中)的图象于点，连接交于点，求的值． 18．如图为某新款茶吧机，接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 加热到 时，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，重复上述自动程序，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)请求出一次函数与反比例函数表达式； (2)某同学想喝高于的水，请问他最多需要等待多长时间? 19．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点．求： (1)反比例函数与一次函数表达式； (2)的面积； (3)直接写出不等式的解集． 20．【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章 反比例函数 训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D B D D B B C 1．D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．把已知点代入反比比例函数解析式求出，然后判断各选项点的坐标是否符合即可． 【详解】解：点在上， ， 只有D选项，符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据题意可得反比例函数图象位于第二，四象限，再由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二，四象限， ∵， ∴点在第四象限，点在第二象限， ∴． 故选：D 3．B 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根可得，从而求出m的值，再根据反比例函数的性质即可求出大小． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和根的判别式，掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 将代入得反比例函数为， 根据反比例函数的性质，可得点A和点B在第三象限， 当时，， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相关知识是解决问题的关键．设，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点，，则， ∴点B的纵坐标为， ∵B在上 ∴点B的横坐标为， ， ∵在矩形中， ， ∴， 又∵, ∴, ∴， ， ， ， ． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点关于原点对称，设点坐标，则可表示出；再根据“与y轴平行，与x轴平行”可知，从而可得A的坐标，进而可以表示出，最后根据列式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点， ∴由反比例函数的对称性可知点关于原点对称， 设，则， ∵与y轴平行，与x轴平行， ∴， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，由此即可判断A错误；再将代入求出的值，由此即可判断B错误；然后将和代入求出的值，利用反比例函数的增减性即可判断C错误，D正确，由此即可得． 【详解】解：设与之间的函数解析式为， 将点代入得：， ∴，则选项A错误； 当时，，则选项B错误； 当时，， 当时，， ∵在函数中，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，则选项C错误； 当时，，则选项D正确； 故选：D． 7．D 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求． 【详解】解：由图象可知，当时，x的取值范围为或． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流电压电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流电压电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，， 则电流与电阻的乘积恒为定值，即满足， 因此与的关系式为， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，需逐一分析选项是否符合该形式． 【详解】解：A、不符合反比例函数的形式； B、可整理为，符合（），是反比例函数， C、不符合反比例函数的形式， D、不符合反比例函数的形式， 故选：B． 10．C 【分析】反比例函数与一次函数的图象相交于点，，得到，求得，利用数形结合思想，确定解集即可． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：反比例函数与一次函数的图象相交于点，， 得到， 故， 解得， 故不等式即的解集为或． 故选：C． 11．或 【分析】根据得，结合交点的横坐标和图象解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解析式构成不等式解集计算，熟练掌握交点的意义，不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：由直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集即的解集为或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、两点间距离公式、坐标与图形、三角形的面积公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式是解答的关键． 根据题意得到，，根据坐标与图形性质和两点坐标距离公式得到轴，，，最后根据三角形等面积法即可求解． 【详解】解：由条件可知，， ∴，， ∵过点A的一次函数的图象与y轴交于点， ∴轴，，， ∴， 设点C到线段的距离为h， 又∵， ∴， 解得， ∴点C到线段的距离为， 故答案为：． 13．3 【分析】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的特点是解题的关键．设该无人机此次最多能装载x千克物资，根据反比例函数中两个变量的乘积为定值列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：设该无人机此次最多能装载x千克物资． 根据题意，得， 解得， ∴该无人机此次最多能装载3千克物资． 故答案为：3． 14． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正六边形的性质等，画出所有符合条件的“好点”是解答本题的关键．先根据正六边形的性质确定所有顶点的坐标，然后在正六边形中画出所有符合条件的“好点”，然后根据反比例函数两侧“好点”数量相同，即可确定出反比例函数k值的取值范围． 【详解】解：连接，作于，如图所示： 多边形是正六边形， ，其内角和为， ， ，，， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 利用水平平移可得，， 利用到的平移方式和到的平移方式相同，都是水平向左平移个单位长度，竖直向下平移个单位长度， 则， ∴正六边形内部或边上共有10个“好点”，如图所示． 从图中，可以看出反比例函数图象通过两点和， 反比例函数图象通过两点和， 当反比例函数图象在和之间时，两侧各有5个“好点”． 故k的范围为：． 故答案为：． 15． 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点坐标，根据，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；根据（1）得出、的坐标，由轴确定点的坐标，由此即可得出、的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；证明即可；假设，根据相似三角形的性质，构建方程求出即可判断． 【详解】解：如图，连接，， ，且在反比例函数的图象上， ， ∵轴，且在反比例函数的图象上， ， 又， ，即， ，故正确． ，， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的函数图象上， ，解得， 点， ，， ， 在点运动过程中，面积不变，始终等于，故错误； ， ，， ， ∴， ∴， ∴，故正确， 若， ∴， ， ∵， ， 在点的运动过程中，当时，，故正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 16．(1)， (2)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法解不等式是解题关键． （1）先将点代入一次函数的解析式和反比例函数解析式即可得到答案； （2）联立两个函数的解析式，解方程组可得点的坐标，根据点的坐标，结合函数图象即可得． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入一次函数得：， 解得， 将点A的坐标代入得到，， 解得； （2）由（1）得到一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，联立得到 ， 解得或 ∴点B的坐标为， 不等式即，表示一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， 则由函数图象得：或． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作交轴于点，交于点，由等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出可得点坐标，进而即可求解； （）由反比例函数解析式可得，即得，进而由得到，再根据即可求解； 【详解】（1）解：过点作交轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为反比例函数图象上的一点， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把分别代入一次函数与反比例函数表达式求出的值，再把代入反比例函数表达式求出的值，用一个周期总的时间减去水温高于的时间即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∵， ∴他最多需要等待． 19．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2) (3)或 【分析】（1）把点A坐标分别代入一次函数与反比例函数表达式中，可求得k与的值，从而求得两个函数的表达式； （2）设直线交y轴于点C，则可求得，再联立一次函数与反比例函数解析式，可求得点B的横坐标，由即可求解； （3）观察图像即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于， ∴把点A的坐标分别代入与中，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）解：设直线交y轴于点C， 令，则， ∴，且； 联立，整理得：， 解得：， 即点B的横坐标为； ∴ ． （3）解：当反比例函数图像位于直线的上方时，有， 观察图像知：或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了两函数图像的交点，待定系数法求函数解析式，图像法求不等式的解集，解一元二次方程等知识，求出两函数解析式是解题的关键． 20．（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$