15.1.2 二次根式的性质 课件 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十五章 二次根式 15.1.2 二次根式的性质 1.经历获得二次根式性质的过程。 2.理解二次根式的概念，并体会二次根式化简的步骤与方法。 学习目标 # 幻灯片分页内容：15.1.2 二次根式的性质 ## 第1页：复习导入——衔接概念，聚焦性质 1. **旧知回顾**： - 提问1：什么是二次根式？（形如$\sqrt{a}$，其中$a\geq0$的式子）； - 提问2：二次根式的核心特征是什么？（双重非负性：$a\geq0$且$\sqrt{a}\geq0$）； - 计算：$\sqrt{4}^2=$？$(\sqrt{2})^2=$？$\sqrt{(-3)^2}=$？$\sqrt{3^2}=$？（引导学生初步感知性质）。 2. **引出主题**：二次根式除了双重非负性，还有哪些重要性质？这些性质能帮助我们解决什么问题？本节课将系统学习二次根式的三个核心性质，掌握化简和计算的关键技巧。 ## 第2页：核心性质1——$(\sqrt{a})^2 = a$（$a\geq0$） ### 1. 性质推导 - 由二次根式的定义可知，$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，根据算术平方根的意义：若$x=\sqrt{a}$（$x\geq0$），则$x^2=a$，因此$(\sqrt{a})^2 = a$。 - 条件限制：$a\geq0$（保证$\sqrt{a}$有意义）。 ### 2. 例题应用 - 例1：计算下列各式的值： （1）$(\sqrt{5})^2$ 解：$(\sqrt{5})^2 = 5$； （2）$(\sqrt{0.3})^2$ 解：$(\sqrt{0.3})^2 = 0.3$； （3）$(-2\sqrt{3})^2$ 解：$(-2\sqrt{3})^2 = (-2)^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$。 ### 3. 逆向应用 - 若$a\geq0$，则$a = (\sqrt{a})^2$，可用于将非负数转化为二次根式的平方形式。 - 例2：将下列非负数表示为二次根式的平方： （1）7 解：$7 = (\sqrt{7})^2$； （2）$\frac{2}{3}$ 解：$\frac{2}{3} = (\sqrt{\frac{2}{3}})^2$。 ## 第3页：核心性质2——$\sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数） ### 1. 性质推导 - 分情况讨论： - 当$a\geq0$时，$a$的算术平方根是$a$，故$\sqrt{a^2} = a = |a|$； - 当$a<0$时，$a$的算术平方根是$-a$（非负数），故$\sqrt{a^2} = -a = |a|$； - 综上，对任意实数$a$，$\sqrt{a^2} = |a|$。 ### 2. 化简规则 - $\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases}a（a\geq0） \\ -a（a<0）\end{cases}$ ### 3. 例题应用 - 例3：化简下列各式： （1）$\sqrt{(-4)^2}$ 解：$\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$； （2）$\sqrt{x^2}$（$x<0$） 解：$\sqrt{x^2} = |x| = -x$； （3）$\sqrt{(3 - \pi)^2}$ 解：∵$\pi\approx3.14>3$，∴$3 - \pi<0$，故$\sqrt{(3 - \pi)^2} = |3 - \pi| = \pi - 3$。 ## 第4页：性质1与性质2的对比辨析 | 性质 | 表达式 | 适用条件 | 核心区别 | 示例 | |------|--------|----------|------ 情景导入 学生活动一 【一起探究】 探究新知 学生活动二 【一起探究】 探究新知 探究新知 归纳总结 化简 巩固练习 ⑴化简前后，被开方数有怎样的变化？ ⑵化简后，被开方数还含有能开得尽的因数吗？ 学生活动三 【观察与思考】 探究新知 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) D A. B. C. D. 2. 若 成立，则( ) B A. ， B. ， C. ， D. 返回 考试考法 10 3. ［2025沧州校级月考］若，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. D 返回 考试考法 4. 下列计算正确的有( ) ； ； ； . B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 12 5. 下列各式一定成立的是( ) A A. B. C. D. 6. 母题教材P105练习 将 化为最简二次根式，其结果 是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 13 7. 化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 【点拨】本题易因忽略 的取值范围而出错.由题意得 ，则 .故 . . . 返回 考试考法 14 8.已知实数，满足，则 _____. 返回 考试考法 15 9.母题教材P105练习 在下列各式中，哪些是最简二次根 式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简. （1） ； 【解】 ，含有开得尽方的因数，因此它不是最简 二次根式. （2） ； ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式. 考试考法 16 （3） ； ，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，因此它 是最简二次根式. （4） ； ，被开方数是小数，因此它不是最简二次根式. 考试考法 17 （5） . ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二 次根式. 返回 考试考法 18 10. ［2025唐山校级月考］若，， 都是整数，且 ，， ，则下列关于 ，， 的大小关系，正确的是( ) A A. B. C. D. 【点拨】，， ， ，， .故选A. 返回 考试考法 19 探究新知 课堂小结 谢谢观看！ $