5.3.2用函数观点求解方程与不等式 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

课题 用函数的观点求解方程与不等式 达成 课时学习目标 对标单元目标 学业质量水平 1. 掌握函数零点的概念，理解函数的零点与方程的解的关系，过程中发展数学抽象素养. 1 2 2. 能够用函数的观点求解一类无法用常规方法解的方程与不等式问题，发展逻辑推理和数学运算素养． 3 2 3. 借助函数图像与性质求解方程与不等式的过程中，体会数形结合思想，发展直观想象素养． 5 2 评价任务 (匹配学习目标) 1. 能准确表述函数零点的定义，并通过具体例子（如给定函数求零点、给定方程构造函数找零点）说明函数零点与对应方程解的关系。 2. 能针对简单函数（如二次函数、一次函数、指数函数、对数函数等），利用其单调性、奇偶性等性质求解对应的方程（如）或不等式（如、），得到正确结果。 3. 能结合函数图像与性质（如单调性、零点），逐步解释求解方程或不等式的过程（如说明图像与x轴交点对应方程的解、图像在x轴上方/下方对应不等式的解集），并阐述数形结合思想在其中的作用。 教学重点 了解函数的零点与方程的解的关系；借助函数的图像及性质求解方程与不等式. 教学难点 从函数观点认识不等式，借助函数的性质求解不等式 教学过程（匹配学习目标） 环节 教师活动 学生活动 设计意图 （教、学、评） 环节一： 创设情境 引入新知 （3分钟） 上节课我们体会了函数是最基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要的作用．其实在数学领域内，常常可以利用函数这一工具来研究其他的数学对象如方程、不等式．今天我们就一起来学习函数应用的第二课时，用函数的观点求解方程与不等式． [问题1] 方程与函数之间有怎样的联系？ 可以把上面具体的例子一般化，可知对于含有一个未知数的方程，经过适当地化简，总可以化为在一定的范围内求解形如的方程，这里是一个与之对应的函数． 为更精确地刻画这种函数与方程的内在联系，引入函数零点的概念：对方程而言，满足此方程的称之为方程的解；对函数而言，满足函数值时的自变量，我们把它称为该函数的零点． 先观察共点： 函数表达式和方程都是等式． 再观察不同，可以发现方程是函数在y = 0的一种状态. 进一步观察，左边的方程与右边的函数表达式之间又有什么联系呢？ 通过熟知的数学情境，激发学生的兴趣，为用函数观点求解方程与不等式作好铺垫。 环节二： 形成概念 理解辨析 解读概念 深化理解 （5分钟） 定义 对于函数，如果存在实数,使得 ， 就把c叫做该函数的零点. 根据函数零点的定义，思考以下问题： [问题2] 函数的零点是该函数图像上的点吗？ 不是，从代数的角度，函数的零点是方程在集合中的解；从几何的角度，函数的零点也是该函数的图像与轴的交点的横坐标． 这只是同一事物在不同语境的不同称法． 如此，我们就将求方程的解与求函数的零点联系起来了． 练习1：求下列函数的零点. （1）函数的零点是： 化为同底对数求解方程： （2）函数的零点是： 求解一元二次方程 （3） 函数的零点是： 请学生回答。 理解零点的本质是数，函数的零点是与相应方程的解是同一事物. 求函数零点可转化成求方程的解; 当函数零点在代数上作为方程的解难以直接求出时，我们考虑新的研究方法. 环节三： 例题讲解 巩固新知 (20分钟) 我们借助一道例题出发学习研究方法： 例1：方程是否有解，是否有整数解，请说明理由？ [问题3.1]如何用数学语言严谨表述方程无整数解？ 构造函数，从函数的角度说明无整数零点，也就是不存在整数使得函数值为0. [问题3.2]通过计算器观察函数图像或表格数据，该函数具有哪些关键性质（如单调性、零点个数及大致范围）？这些性质对判断方程整数解的情况有何启示？ 1　 该函数为实数域上的严格增函数，（板书严格增） 2　 仅有一个零点，在4到5之间， 3　 所有整数对应的函数值都不为0.（所有整数对应的函数值要么大于0，要么小于0.） [问题3.3]已知零点在区间(4,5)内，如何结合单调性说明方程不存在整数解？ 解：记， 任取、，当时，由不等式的性质，有，，因此． 故函数在其定义域上是一个严格增函数． 又因为，， 由单调性，当，且时，；而当，且时，． 因此，任一整数都不是函数的零点，从而方程没有整数解． 总结：求解方程的问题，不仅可从数值角度直接求解方程；亦可从形的视角切入，利用函数的性质及其图像来寻找零点。 [问题3.4]为了更加直观，是否还有其他构造函数的方法？并能与我们已经学过的基本初等函数相联系？ 方法1：该方程又可以写成方程，问题又可以转化成函数与是否有交点，以及交点横坐标是否为整数。 [问题3.5]画出两个函数的大致图像，如何用函数的观点证明？ 解:原方程可整理为： 记， 因为在其定义域上为严格增函数，在其定义域上为严格增函数。 经计算，得，而,. 由函数的单调性可知，当时，都有；而当时，都有. 因此不存在整数n使得，从而方程无整数解. 方法2：可整理为： 当时，，因此不为解， 当时，原方程可整理为： 记，，研究与的交点问题。 [问题3.6]将方程转化为两个函数图像的交点问题，这样做有什么好处？ 数形结合，将函数初等化，直观得到函数的零点问题. [总结]在解决练习一和例2的过程中，我们回忆一下，有哪些求方程解的方法？那么，如何按“简单→复杂”的顺序选择合适的方法？ 步骤1：简单方程直接用代数法或计算器求解； 步骤2：无法直接求解时，转化为一个函数的零点问题，利用函数的性质和图像求解零点； 步骤3：当函数的单调性，奇偶性等性质难以直接得出，可转化为两个函数交点。 练习2：方程的解，则整数为 解：记， 任取，，因为在上为严格增函数，在上为严格减函数，则，，所以，即，故在上为严格增函数。 经计算，得. 根据函数单调性，存在，使得，因此，. 解:原方程可整理为： 记， 因为在其上为严格增函数，在上为严格减函数。 经计算，得，而 . 由函数的单调性，存在，使得，因此，. 故存在，使得，因此，. 通过之前的练习，我们体会了从函数视角解方程，借助零点理解了方程解的几何意义。那么，我们能否同样借助函数的图像与性质来分析不等式解的情况呢？ 首先，来思考一个问题。 [问题4.1]从函数的观点看，不等式解集的几何意义是什么呢？ 将上述例子一般化，对于含一个未知数的不等式，经过适当化简，总可化为求解形如的不等式，其中是与之对应的函数。 总结：对函数而言，函数值大于0的自变量的取值范围，代数的角度来看是不等式的解集；几何的角度来看是函数图像在轴上方对应自变量的集合。 [问题4.2]你能用函数的观点解释一元二次不等式的解集吗？ 一元二次不等式的解集，也就是函数，当函数值时，自变量的取值范围。 例2：在区间上解不等式. 记，任取、，且时，有，故，即． 因此，在上为严格增函数. 由于函数的单调性，并且，所以在上，当且仅当．因此，在区间上不等式的解集为． [问题4.3]是否还有其他构造函数的方法？ 不等式还可以整理为以及 研究函数以及的位置关系 解:原不等式可整理为： 记， 因为在其定义域上为严格增函数，在其定义域上为严格增函数。 由函数的单调性，并且，所以在上，当且仅当．因此，在区间上不等式的解集为． 探究思路： 1. 直观感知：指导学生使用计算器绘制函数图像，直观感知函数的整体趋势与零点可能存在的区间； 2. 严谨论证：引导学生用定义法证明函数单调性，结合单调性分析函数值变化规律； 3. 深化理解：通过观察图像与单调性结论，让学生自主发现函数无整数零点的依据，进而得出方程无整数解的结论，体会“形”与“数”的结合。 先观察图像，提出证明思路，再演示具体过程. 总结：求方程的解，也即求函数的零点问题；可转化成两个熟知的函数图像交点问题。 学生小组讨论如何求出方程解的范围. 方法1：转化成求一个函数的零点问题 方法2：转化成两个函数的交点问题 学生类比方程，口答函数与不等式的含义. 总结：求解不等式时，可发现方程根（即对应函数的零点）是求解对应不等式的关键，然后根据函数图像和性质得出不等式的解集。 或者整理为， 研究函数 以及 的位置关系 例1的主要目的是引导学生从函数视角解决方程问题，具体包括：理解方程解与函数零点的对应关系，掌握利用函数图像和单调性分析方程解的存在性与特征的方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 从熟知函数出发，转化成两个函数图像的交点问题。 练习2的设置一方面将函数是否存在整数零点的问题过渡到求零点的大致范围，另一方面也是为了培养学生面对不同方程时，能够灵活运用多种解题方法。学生可以直接求解方程，若无法直接求解，则可以通过转化为已知图像的交点，或者借助函数的性质来求解零点。 由用函数的观点解方程到解不等式.由具体到抽象. 类似例1，利用函数的单调性求解不等式. 转化为两个函数的图像交点问题求解不等式. 环节四： 课堂练习 迁移应用 (8分钟) 练习3：用函数的观点解不等式：． 解：记， 任取、，，而，在上为严格增函数，故,，，即．因此，在上为严格增函数. 由于函数的单调性，并且，所以在上，当且仅当．因此，在区间上不等式的解集为． 练习4：解不等式 解:记， 当时，，而，因此中的一切实数都是该不等式的解． 不是该不等式的解． 当时，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，并且．当时，，而当时，． 综上所述，该不等式的解集为． 方法2： 环节五： 课堂小结 (4分钟) [问题5] 今天我们围绕着零点运用函数这一工具研究了方程、不等式的相关问题，有哪些解决方法？ （1）核心概念：函数的零点，是使函数值等于零的自变量的值。 （2）核心关系：通过零点建立了函数、方程、不等式三者之间的联系： 不等式的解集端点 ⟺ 函数的零点⟺ 方程解 ⟺ 函数图像与 x 轴交点的横坐标 （4） 解决方法：掌握了求解函数零点问题的三种主要方法： ①　代数法：直接求解方程； ②　性质法：利用函数的单调性、奇偶性等分析函数零点存在性与个数； ③　图像法：通过画函数图像，研究一个函数与 x 轴交点的横坐标，或转化为两个基本函数图像交点问题来求解. 课时作业 [基础练习] 1．求函数的零点． 2．证明：方程没有整数解． 3．解不等式：． [能力拓展]（选做） 1.函数有2个不同的零点，求实数a的取值范围. 2.如果不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 课堂板书 课堂反思 学科网（北京）股份有限公司 $