专题01 有理数重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的相关概念 了解有理数、数轴、相反数、绝对值、科学记数法、近似数的意义，体会有理数及其运算各概念、法则、运算律之间的整体联系。 必考点，常出现在小题. 数轴相反数绝对值 能用正负数表示相反意义的量，会对有理数按意义、符号分类；能画出数轴，用数轴比较有理数大小，会求相反数、绝对值。 数轴和绝对值是常考内容，难度较大，对运算能力有一定要求，常和相反数综合考察，注意符号。 有理数的运算 理解并利用有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，进行混合运算；会用科学记数法表示数，按要求取近似数，解决实际问题。 计算题是必考类型，难度不大但易错，需仔细答题。 知识点01 正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 知识点02 有理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． (2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． (3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点03 有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点04 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 题型一 有理数的加减 答｜题｜模｜板 计算： 解：原式 ． 易｜错｜点｜拨 计算时需注意负号。 【典例1】计算： 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算：． 【详解】解： ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ． 题型二 错解还原 答｜题｜模｜板 请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． （1）解：原式 ∴解题从第②步开始出现错误，错误的原因是没有按运算顺序算； 故答案为：②，没有按运算顺序算； （2）解：原式 ． 【典例1】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【详解】（1）解：第一处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）解： ． 【变式1】．阅读计算：． 解：原式⋯⋯第一步 ⋯⋯第二步 ．……第三步 (1)开始出现错误的是第________步； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 【详解】（1）解：括号内的运算结果为 ， ∴开始出现错误的是第一步， 故答案为：一； （2）解：原式 ． 【变式2】．下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 【详解】解：解答过程有错．错在第二步和第三步． 第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算； 第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正． 正确过程： 题型三 有理数的混合运算 答｜题｜模｜板 （24-25七上·安徽巢湖·期末）计算： 解： ． 【典例1】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】（24-25七上·安徽淮北·期末）计算：． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25七上·安徽淮南八公山·期末）计算：． 【详解】解：原式 ． 题型四 有理数相关应用题 答｜题｜模｜板 （24-25七上·安徽巢湖·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ （1）解：公里， ， ∴王师傅这天上午中途不需要加油； （2）解： 元， 即王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元． 【典例1】（24-25七上·安徽合肥庐江·期末）随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 【详解】（1）解： （千克）， 答：销售量最多的比最少的多30千克； （2）解： （元） 答：李明本周销售额7832元． 【变式1】．（24-25七上·安徽淮北五校联考·期末）某粮食仓库从11月11日到11月15日五天内，进出仓库的粮食数量如下（进为“”，出为“”，单位：吨） 日期 11日 12日 13日 14日 15日 数量 ； ； ； ； ； (1)五天后，仓库的粮食是增加了还是减少了多少吨？ (2)如果进出粮食仓库的粮食每吨都需要付装卸费用8元，那么这五天要付多少元的装卸费用？ 【详解】（1）解：11日：（吨）， 12日：（吨）， 13日：（吨）， 14日：（吨）， 15日：（吨）， ∴（吨）， ∴增加了20吨； （2）解：（吨）， ∴（元）， ∴这五天要付元的装卸费用． 【变式2】．（24-25七上·安徽淮北市·期末）随着电商的兴起，很多农产品实行了网上售卖，小明把自家种植的山药也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖斤山药，但由于种种原因，实际每天的销量与斤相比有出人，下表是某一周的销售情况（超过斤的部分记为正，不足斤的部分记为负．单位：斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量（斤） (1)根据记录的数据，销量最多的一天比销量最少的一天多卖出______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理山； (3)若山药每斤按元出售，每斤山药需要小明支付的平均运费是元，那么小明本周销售山药实际共得多少元？ 【详解】（1）解：销量最多的一天比销量最少的一天多卖出（斤）， 故答案为：； （2）本周实际销量达到了计划数量． ， 本周实际销量达到了计划数量； （3）（） （元） 答：小明本周一共收入元． 题型五 数轴动点问题 答｜题｜模｜板 如图，数轴上点A表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点A的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点A、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点A的距离与点到点的距离之和为，则称点为点A、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点A、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值． （1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时． 【典例1】在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【变式1】．如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 为线段的中点， ， 故答案为：，，； （2）由题意可得：，， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， 的长为； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或． 【变式2】．如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 【详解】（1）解：由题意可知，动点在段所用时间为秒， 所以出发3秒时，动点在段上，所以， 所以动点出发3秒时，所在位置对应的数是； （2）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒， ，， 所以动点从点运动至点需要的时间为（秒）． 题型六 绝对值的几何意义 答｜题｜模｜板 阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有： 表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为_____． (2)可以理解为数轴上表示和_____的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示的点到表示_____和_____这两点的距离之和． (3)借助数轴，的最小值是_____，达到最小值时，可取哪些整数，请直接写出所有答案_____． (4)的最小值是_____． （1）解：由题可知： 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为， 故答案为：4，； （2）解：可以理解为数轴上表示和2的两点之间的距离， 可以理解为数轴上表示的点到表示2和8这两点的距离之和， 故答案为：2，2，8； （3） 解：由数轴易得： 当时，的值最小为， 故答案为：6；2，3，4，5，6，7，8； （4） 解：借助数轴易得： 当时，的最小值是， 故答案为：6． 【典例1】阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 【变式1】．数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为，； （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当在与之间时，有最小值， 故答案为； （4）解：当时，， 解得：， 此时符合； 当时，， 此时不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 此时符合； 故答案为或． 【变式2】．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8； （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3； （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正负数的意义，根据零上温度记为正数，零下温度记为负数，进行求解即可． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作． 故选：D． 2．下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，通过计算每个选项中的两个数值，根据相反数的定义判断是否互为相反数即可求解． 【详解】相反数的定义是两数只有符号不同，和为0， A、，，3与互为相反数，符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，不是相反数，不符合题意； D、，，不是相反数，不符合题意； 故选：A． 3．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，求绝对值，有理数的大小比较，先分别化简两个表达式，再比较其数值大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．已知数轴上点表示的数为，将点向右移动6个单位长度得到点，，两点间的距离为2，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查数轴上点的移动和两点间距离的计算．先根据点A的移动求出点B的坐标，再根据点B与点C的距离为2，求出点C的可能坐标． 【详解】∵点A表示的数为，向右移动6个单位长度得到点B， ∴点B表示的数为：， ∵点B与点C的距离为2， ∴点C在数轴上表示的数为或． 故答案为：5或1． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方以及化简绝对值，再把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 6．出租车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的富泸公路上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行走里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，，，． (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行驶多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 【答案】(1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米 (2)蔡师傅这天下午共行驶78千米 (3)这天下午蔡师傅用了升油 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米． （2）解： ， 答：蔡师傅这天下午共行驶78千米． （3）解：（升）， 答：这天下午蔡师傅用了升油． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．现有一个负数，则下列选项最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，求一个数的绝对值，乘方运算，通过分析各选项的符号性质，由于a是负数，选项A、B、C的值均为正数，而选项D的值为负数，因此最小． 【详解】解：∵ a是一个负数， ∴，，，， ∴是负数，其余选项为正数，故最小． 故选：D． 2．若a、b为整数，且，则的值有（   ）种可能的结果． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据题意，易得或，进行求解即可． 【详解】解：∵a、b为整数，且，， ∴或， ∴或或或， ∴或或或； 故共有4种等可能的结果． 3．若m和n互为相反数，p和q互为倒数，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是利用“互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1”的性质代入计算． 根据相反数定义得，根据倒数定义得，将其代入式子计算即可． 【详解】解：根据题意，和互为相反数， ；和互为倒数， ． ． 故答案为：． 4．对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键．根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再计算运算． 【详解】解：∵新运算： ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算乘除，后算加减； （2）先乘方，再算括号里面的，最后加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．2025年国庆黄金周的第一天早上，老王驾驶一辆印有“我爱昆明”字样的新能源出租车从东风广场出发，在北京路上运行载客．规定向北为正，向南为负，出租车的行驶里程（单位：） 如下：，，，，，，，，，． (1)老王驾驶出租车最后回到东风广场了吗？ (2)这天上午老王驾驶出租车总共行驶了多少千米？ (3)已知出租车每千米收费元，那么这天早上老王共收费多少钱？ 【答案】(1)老王驾驶出租车没有回到东风广场 (2)这天上午出租车总共行驶了 (3)这天早上老王共收费150元 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，注意正负数的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，看其结果的正负即可判断其位置； （2）把各数的绝对值相加即可； （3）用行驶的路程乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：， 老王驾驶出租车没有回到东风广场； （2）解：； 这天上午出租车总共行驶了． （3）解：（元）． 这天早上老王共收费150元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括运算顺序、乘方和符号处理．选项A错误，因为未先乘除后加减；选项B错误，因为除法和乘法顺序导致结果错误；选项C正确，根据的乘方性质；选项D错误，因为负号处理不当． 【详解】解： A．，计算错误． B．，计算错误． C．，计算正确． D．，计算错误． 故选：C． 2．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴特点，绝对值意义，由数轴可知，，，然后通过运算逐一判断即可，知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴可知，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，则，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 3．若，，且x，y异号，那么的值是（   ） A．5或 B．13或 C．或13 D．或 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义和有理数加法运算，关键注意异号条件排除同号情况． 根据绝对值的定义，x和y各有两种可能值，但需满足异号条件，分别计算两种情况下的值即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； 又∵x与y异号， ∴当时，，则； 当时，，则． ∴的值为5或． 故选：A． 4．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的运算以及周期规律的探究，解题的关键是找出运算结果的周期规律． 按照运算程序依次计算输出结果，找出周期规律，再根据周期计算第2027次输出的结果． 【详解】解：根据运算程序，依次计算输出结果： 第1次输入（非负数），输出， 第2次输入（非负数），输出， 第3次输入（负数），输出， 第4次输入（非负数），输出， 第5次输入（负数），输出， 第6次输入（非负数），输出， 第7次输入（非负数），输出， 第8次输入（负数），输出， 从第3次开始，输出结果以为一个周期循环， 除去前2次的次数：， 一个周期有3个结果，，刚好整除， 说明第2027次输出的结果是周期的最后一个数4． 故答案为：4． 5．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离． （1） ． （2）若，则负整数的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义并分情况讨论是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，计算数轴上两点的距离． （2）分情况讨论的取值范围，求解方程得到负整数的值． 【详解】解：（1）∵ 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点的距离， ∴ ． 故答案为：． （2）当时，， 令，解得； 当时，，无解； 当时，， 令，解得． 所以负整数的值为． 故答案为：． 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将这八个数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图所示，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，先设中间的四个的右上的数字为，左下的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设中间的四个的右上的数字为，左下的数字为， 由题意得，，， ∴，， 故答案为：，． 7．请你阅读材料，理解倒数在混合运算中的巧用： 计算： 解：原式的倒数 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，运用上述方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律，仿照题意先求原式的倒数，再求原式的结果即可． 【详解】解：原式的倒数 ， ∴原式． 8．已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的性质与有理数的运算，利用绝对值的定义确定字母的可能取值是解题关键． 根据，可知有，或，两种情况，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，． 综上，的值为或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的相关概念 了解有理数、数轴、相反数、绝对值、科学记数法、近似数的意义，体会有理数及其运算各概念、法则、运算律之间的整体联系。 必考点，常出现在小题. 数轴相反数绝对值 能用正负数表示相反意义的量，会对有理数按意义、符号分类；能画出数轴，用数轴比较有理数大小，会求相反数、绝对值。 数轴和绝对值是常考内容，难度较大，对运算能力有一定要求，常和相反数综合考察，注意符号。 有理数的运算 理解并利用有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，进行混合运算；会用科学记数法表示数，按要求取近似数，解决实际问题。 计算题是必考类型，难度不大但易错，需仔细答题。 知识点01 正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 知识点02 有理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． (2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． (3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点03 有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点04 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 题型一 有理数的加减 答｜题｜模｜板 计算： 解：原式 ． 易｜错｜点｜拨 计算时需注意负号。 【典例1】计算： 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算：． 题型二 错解还原 答｜题｜模｜板 请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． （1）解：原式 ∴解题从第②步开始出现错误，错误的原因是没有按运算顺序算； 故答案为：②，没有按运算顺序算； （2）解：原式 ． 【典例1】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【变式1】．阅读计算：． 解：原式⋯⋯第一步 ⋯⋯第二步 ．……第三步 (1)开始出现错误的是第________步； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 【变式2】．下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 题型三 有理数的混合运算 答｜题｜模｜板 （24-25七上·安徽巢湖·期末）计算： 解： ． 【典例1】计算：． 【变式1】（24-25七上·安徽淮北·期末）计算：． 【变式2】（24-25七上·安徽淮南八公山·期末）计算：． 题型四 有理数相关应用题 答｜题｜模｜板 （24-25七上·安徽巢湖·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ （1）解：公里， ， ∴王师傅这天上午中途不需要加油； （2）解： 元， 即王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元． 【典例1】（24-25七上·安徽合肥庐江·期末）随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 【变式1】．（24-25七上·安徽淮北五校联考·期末）某粮食仓库从11月11日到11月15日五天内，进出仓库的粮食数量如下（进为“”，出为“”，单位：吨） 日期 11日 12日 13日 14日 15日 数量 ； ； ； ； ； (1)五天后，仓库的粮食是增加了还是减少了多少吨？ (2)如果进出粮食仓库的粮食每吨都需要付装卸费用8元，那么这五天要付多少元的装卸费用？ 【变式2】．（24-25七上·安徽淮北市·期末）随着电商的兴起，很多农产品实行了网上售卖，小明把自家种植的山药也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖斤山药，但由于种种原因，实际每天的销量与斤相比有出人，下表是某一周的销售情况（超过斤的部分记为正，不足斤的部分记为负．单位：斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量（斤） (1)根据记录的数据，销量最多的一天比销量最少的一天多卖出______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理山； (3)若山药每斤按元出售，每斤山药需要小明支付的平均运费是元，那么小明本周销售山药实际共得多少元？ 题型五 数轴动点问题 答｜题｜模｜板 如图，数轴上点A表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点A的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点A、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点A的距离与点到点的距离之和为，则称点为点A、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点A、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值． （1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时． 【典例1】在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【变式1】．如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【变式2】．如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 题型六 绝对值的几何意义 答｜题｜模｜板 阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有： 表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为_____． (2)可以理解为数轴上表示和_____的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示的点到表示_____和_____这两点的距离之和． (3)借助数轴，的最小值是_____，达到最小值时，可取哪些整数，请直接写出所有答案_____． (4)的最小值是_____． （1）解：由题可知： 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为， 故答案为：4，； （2）解：可以理解为数轴上表示和2的两点之间的距离， 可以理解为数轴上表示的点到表示2和8这两点的距离之和， 故答案为：2，2，8； （3） 解：由数轴易得： 当时，的值最小为， 故答案为：6；2，3，4，5，6，7，8； （4） 解：借助数轴易得： 当时，的最小值是， 故答案为：6． 【典例1】阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【变式1】．数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【变式2】．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 2．下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．比较大小： （填“”或“”）． 4．已知数轴上点表示的数为，将点向右移动6个单位长度得到点，，两点间的距离为2，则点在数轴上表示的数为 ． 5．计算：． 6．出租车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的富泸公路上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行走里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，，，． (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行驶多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．现有一个负数，则下列选项最小的是（   ） A． B． C． D． 2．若a、b为整数，且，则的值有（   ）种可能的结果． A．1 B．2 C．3 D．4 3．若m和n互为相反数，p和q互为倒数，则的值为 4．对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为 ． 5．计算： (1) (2) 6．2025年国庆黄金周的第一天早上，老王驾驶一辆印有“我爱昆明”字样的新能源出租车从东风广场出发，在北京路上运行载客．规定向北为正，向南为负，出租车的行驶里程（单位：） 如下：，，，，，，，，，． (1)老王驾驶出租车最后回到东风广场了吗？ (2)这天上午老王驾驶出租车总共行驶了多少千米？ (3)已知出租车每千米收费元，那么这天早上老王共收费多少钱？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若，，且x，y异号，那么的值是（   ） A．5或 B．13或 C．或13 D．或 4．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 5．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离． （1） ． （2）若，则负整数的值为 ． 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将这八个数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图所示，则的值是 ，的值是 ． 7．请你阅读材料，理解倒数在混合运算中的巧用： 计算： 解：原式的倒数 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，运用上述方法计算：． 8．已知，，且，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $