专题02 整式及其加减重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材沪科版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理整式及其加减的核心考点，明确代数式、单项式、多项式等知识的复习目标与考情规律，再分知识点细化定义、规范书写及运算法则，构建清晰知识脉络。 讲义特色在于“答题模板”指导解题方法，如合并同类项、化简求值等题型的步骤示范，结合图形应用、方案优化等题型培养运算能力与模型意识。分层练习覆盖基础到拓展，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

专题02 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的相关概念 能准确判断代数式，掌握其规范书写、列写及求值方法 基础必考点，常与整式等知识结合出现在各类题型 单项式的定义、系数与次数 能准确识别单项式，熟练确定其系数和次数 基础必考点，多在小题中考查，易因指数判断错误丢分 多项式的定义、项与次数 能准确识别多项式，明确其项、次数及排列方式 高频考点，常结合整式加减考查，需注意项的符号和次数判断 整式及其加减运算 能熟练进行整式的加减运算，掌握同类项合并、去括号和添括号法则 核心考点，贯穿代数学习，从基础小题到综合大题均有涉及 知识点01 代数式 （1）代数式的定义： 代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号。另外，单独的一个数或字母也是代数式. （2）代数式的规范书写 书写代数式时应注意以下原则： ①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如 6×b常写作6·b或6b.但数与数相乘不遵循此原则，如6×8不能省略乘号，否则就写成了68，也不宜将“×”改为“·”，否则就写成了6·8，容易与6.8混淆。 ②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，而有理数又要写在无理数前面，如 6b一般不写作b6，2πr2不写作π2r2. ③除法运算写成分数形式，如 1÷a，通常写作 （a≠0）. ④相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如 a·a写作a2，a·a·a写作a3. （3）列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念。 （4）求代数式的值应注意的问题： （1）若代数式中省略了乘号、代入数值后应添上“×”号； （2）若代入的值是负数或分数时，应添上括号； （3）注意解题格式规范，应写成“当……时，原式=……”的形式； （4）代数式的字母可取不同的值，但所取的值不应该使所在的代数式或实际问题无意义. 知识点02 单项式的有关概念 （1）单项式的定义 数与字母的乘积组成的代数式为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式， 如 6，a都是单项式.因此，单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除式的除法运算. （2）单项式的系数 单项式中的数字因数叫单项式的系数，如－2xy2的系数为－2.单项式的系数为1或－1时，通常省略不写，但“－”号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成－ab. （3）单项式的次数 一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 .如5x2y4的次数为6(2＋4=6).一个单项式的次数是几，我们习惯上又称作这个单项式是几次单项式.如5x2y4是六次单项式。单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0.如5xy2的次数是1＋2=3，而不是2. 知识点03 多项式的有关概念 （1）多项式的意义 几个单项式的和叫做多项式 .多项式中含有加减运算，也可以含有乘方，乘除运算，但不能含有以字母为除式的除法运算，如 不是多项式. （2）多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 .其中，不含字母的项，叫做常数项.常数项在多项式中次数最低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”，如 是二项式. （3）多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数 .如x2＋1－3x4的次数是4.因x2＋1－3x4是由单项式x2，1，－3x4三项组成的.因此，x2＋1－3x4又可称作“四次三项式”. （4）多项式的排列 （1）升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的升幂排列. （2）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的降幂排列. 知识点04 整式及其加减 （1）整式的定义：单项式与多项式统称为整式 .整式中不能含有以字母为除式的除法运算. （2）同类项概念及合并同类项的方法 （1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （3）合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 （3）去括号和添括号的法则 （1）去括号法则 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”去掉，括号里各项都改变符号。 （2）添括号法则 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”，括到括号里面的各项都改变符号。 （4）整式加减的方法与步骤 （1）如果有括号，应先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 题型一 合并同类项 答｜题｜模｜板 计算：． 解： ． 【典例1】化简： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ． 【变式1】．化简： (1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】．计算： (1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型二 化简求值 答｜题｜模｜板 先化简，再求值：，其中，． 解：原式=， ， ， ． 当时，原式． 【典例1】先化简，再求值： ，其中 【详解】 将代入 原式 【变式1】．先化简再求值：，其中． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【详解】解：原式， 当时，原式． 题型三 不含问题 答｜题｜模｜板 已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 【典例1】若多项式与多项式的和不含项和x项，求的值． 【详解】解：两个多项式的和为： ∵ 和不含 项和 项， ∴ ， ， 解得 ， ， ∴ ． 【变式1】．已知，，且，若中不含的一次项，求的值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵中不含的一次项， ∴， ∴． 【变式2】．若多项式减去多项式的差不含二次项，求m的值． 【详解】解：由题意得， ∵差不含二次项， ∴， 解得． 题型四 整式的加减应用图形类 答｜题｜模｜板 如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（） (1)当，时，求拼成的长方形周长； (2)小明说：“如果的值不变，那么不管取什么值，拼成的长方形的周长都不变．”请问小明的说法对吗?请说明理由． （1）解：由图可知，拼成的长方形的长为，宽为． 周长公式：， 当，时， ； （2）解：小明的说法对，理由如下： 拼成的长方形的长为，宽为， 周长 ， ∵周长表达式中不含，仅与有关 ∴当的值不变时，不管取何值，周长都不变 ∴小明的说法对． 【典例1】年月日，温州市第二中学将迎来第届校园运动会，各个班级紧扣校运会主题“艺文•燃！”，开展班级喷绘设计．小艺负责数字“”的设计，她把边长为的正方形卡纸（如图）剪去两个相同的小长方形，得到一个“2”的图案，且“2”的笔画宽度均为（如图）． (1)图案“”的周长可表示为 ．（用含字母的代数式表示） (2)小艺计划沿着图案的边框安装装饰灯，网上装饰灯的单价是元/米．如果正方形的边长为米，笔画宽度为米，则预计需要花费多少元？ 【详解】（1）解：由所给图形可知， 图案的周长可表示为：． 故答案为：； （2）由题知，当时， （米）， 则（元）， 所以预计需要花费元． 【变式1】．在社团课上某同学绘制了如图所示的火箭模型截面图，上面是三角形，中间是长方形，下面是梯形． (1)用含有，的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【详解】（1）解：由题意可得，该截面的面积，， 即该截面的面积S是． （2）当，时，． 答：这个截面的面积是30． 【变式2】．现有一种耐老化的新型窗框材料----“断桥铝”，如图所示（图中长度单位：米）是用这种材料做成的两种窗框（图中实线部分），其中型上部是半圆形，下部是长方形，型上下部均是长方形． (1)若一个住户要定做两个型窗框，共需要这种材料多少米？（接缝忽略不计） (2)若，求一个型窗框比一个型窗框多用多少米材料？（取） 【详解】（1）解：由题意得：（米）， 答：共需要这种材料米； （2）解：， ， ， 当时，原式（米）， 答：一个型窗框比一个型窗框多用0.86米材料. 题型五 整式的加减应用方案类 答｜题｜模｜板 为应对网店的竞争，我县永辉商场引入“胖东来”营业模式后重新开业搞促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，已知微波炉每台定价600元，电磁炉每台定价200元 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款_________元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，爱思考的小慧认为把两种方案结合起来购买会更省钱，你认为小慧的想法可行吗？请写出你的购买方案，并求出需花的费用，若不能请说明理由． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元； 故答案为：，； （2）解：当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案一购买较为合算； （3）解：可行，需花1920元，方案如下： 利用方案一购买2台微波炉，花费为（元）， 利用方案二购买台电磁炉，花费为（元）， 共花费（元）． 【典例1】某商场销售一种西装和领带，西装每套定价800元，领带每条定价100元．国庆期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款________元（用含x的代数式表示）； 若该客户按方案二购买，需付款________元（用含x的代数式表示）． (2)当时，通过计算说明哪种方案购买更为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算出所需费用． 【详解】（1）解：方案一需付款：（元）； 方案二需付款：（元）； 故答案为；； （2）解：当时，由（1）可得： 方案一费用：（元）； 方案二费用：（元）； 答：当时，两种方案所需费用相同，均为18000元，因此两种方案同样合算； （3）解：当时，给出更省钱的购买方案可以组合使用两种方案以获得更大优惠，即购买方案： 采用方案一购买20套西装，从而获赠20条领带，再按方案二购买剩余20条领带， 所需费用：（元），比原方案省200元． 【变式1】．综合与探究 加快文旅产业的发展，运城解州关帝庙作为我国现存始建最早、规模最大、建制最高、保存最全的关帝庙宇，成为来运游客的必选之地．解州关帝庙成人门票价格为元／人．学生门票价格为元／人．国庆期间，某旅游公司开展促销活动，向游客提供两种优惠购票方案： ①买两张成人票送一张学生票； ②成人票和学生票都按正常价格的折优惠． 现某旅行团有个成人，个学生（）． (1)若该旅行团按方案①购买，求需付款多少元？ 若该旅行团按方案②购买，求需付款多少元（用含的代数式表示）？ (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购票较为合算． 【详解】解：（1）解：由题意得， 该旅行团按方案①购买，则需付款元． 该旅行团按方案②购买，则需付款元 （2）解：当时，； ； ， ∴当时，按方案②购票较为合算． 【变式2】．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠活动是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠活动是：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）． (1)用代数式表示：当购买乒乓球的盒数为x盒时，在乙店购买需付款______元； (2)当购买乒乓球的盒数为盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由； (3)当购买乒乓球的盒数为盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少钱． 【详解】（1）解：乙店需付费：元； 故答案为：； （2）解：到甲商店购买比较合算，理由如下： 当时，甲店需付费元； 乙店需付费元， ∴到甲商店比较合算； （3）解：可在甲店购买4副乒乓球拍子，会送4盒乒乓球，剩余的6盒乒乓球在乙店购买， 所需费用为：元． 题型六 错解还原 答｜题｜模｜板 有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 解：原整式为： ， 则原题正解为： ． 【典例1】小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求多项式； (2)求原题中的正确结果； 【详解】（1）解：已知，且，则： 故多项式为：； （2）解： 将代入： 故的正确结果为：． 【变式1】．化简求值，按要求解答 (1)，其中，，． (2)小明在一次测验中计算一个多项式加上时，不小心看成减去，结果计算出错误答案为． 求多项式； 试求出原题目的正确答案． 【详解】（1）解：原式， 当，，时，原式． （2）解：①依题意得：， ， 多项式为； ②， 原题目的正确答案为． 【变式2】．已知两个多项式A和B．其中小马虎在计算的值时不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B： (2)请帮他求出的正确答案． 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 11．下列代数式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写要求．根据代数式的书写规则，数字应写在字母前，带分数应化为假分数，单位应放在括号外等，逐一判断各选项． 【详解】解：A、代数式中数字应写在字母前，应写成，故A选项不符合要求； B、代数式中带分数应写成假分数，故B选项不符合要求； C、代数式中书写正确，故C选项符合要求； D、代数式中单位应写在括号外，应写成，故D选项不符合要求． 故选：C． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的概念，掌握只有字母部分完全相同的项才能进行加减运算是解题的关键． 根据同类项的定义和合并法则逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：与是同类项（∵），，计算正确，符合题意． 故选：D． 3．多项式是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】本题考查了多项式的项数和次数．通过计算多项式中各项的次数，最高次数为3，且多项式有3个项，进行分析，即可作答． 【详解】解：多项式是三次三项式， 故答案为：三，三． 4．若，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，掌握相关知识是解决问题的关键．将代数式去括号后得到，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ； 故答案为：2． 5．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查合并同类项，所以此题可直接根据合并同类项进行求解即可． 【详解】原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键． 直接去括号，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案 【详解】解； 当时， 原式 故答案为：, 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列各式中，与是同类项的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、字母不同，与不是同类项； 选项B、x的指数不同，与不是同类项； 选项C、与是同类项； 选项D、多字母，与不是同类项； 故选：C． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，通过将已知方程乘以适当系数后相减，直接得到目标表达式． 【详解】解：∵ ①， ②， ∴将 得： ③， 将 得： ④， 由得： ， ∴ ， 故选：C． 3．多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了多项式，正确利用多项式的次数与项数的定义得出m的值是解题的关键．根据二次三项式的定义，多项式的最高次数为2且项数为3，需满足指数条件及系数不为零． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴的最高次项次数为2，即，且一次项系数， 解，得或，即或， 又，即， ∴， 当时，多项式为，符合二次三项式． 故答案为：0． 4．如图，一个大长方形被分割为完全相同的5个小长方形，以及阴影A，B两部分． （1）当时，阴影A和阴影B的面积和为 ． （2）若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为 （用含x的代数式表示）． 【答案】 240 / 【分析】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）由题意易得阴影A的较长边为，较短边为；阴影B的较长边为12，较短边为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）及长方形的周长公式可进行求解． 【详解】解：由图可知：阴影A的较长边为，较短边为；阴影B的较长边为12，较短边为． （1）当时，阴影A和阴影B的面积和为： ． （2）阴影A和阴影B的周长和为 ． 5．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则和去括号法则进行计算． （1）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案； （2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【分析】本题主要考查了多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的次数和系数． （1）根据多项式的系数进行求解即可； （2）根据多项式次数和项数的定义来解答． 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以， 常数项为； （2）解：由题意可知，， 所以， 最高次项为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列说法中正确的是（    ） A．的次数是4次 B．的系数是 C．单独一个有理数不是单项式 D．是二次二项式 【答案】A 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，包括次数、系数和定义．根据初中数学教材内容，逐一判断每个选项的正确性． 【详解】解：A、的次数是4次，该选项正确，符合题意； B、的系数是，该选项错误，不符合题意； C、单独一个有理数也是单项式，该选项错误，不符合题意； D、是一次二项式，不是二次二项式，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，假设二月、三月产值一直增长，设月平均增长率是，则第一季度的总产值是（   ）亿元． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据月平均增长率分别计算各月产值，再求和得到第一季度总产值即可． 【详解】解：一月份产值为亿元， 二月份产值为亿元，三月份产值为亿元， 第一季度总产值为： ． 故选：B． 3．代数式的值是6，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，由已知代数式的值求出 的值，再通过倍数关系计算目标代数式的值即可． 【详解】解：∵代数式的值是6， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 4．如图为小明家新买的住房的结构图（单位：m），请问： （1）这套房子的总面积是 ． （2）经测量得，，购买时房价为0.8万/，在计算房价时需另外加的公摊面积，那么该房的房价是 万元． 【答案】 / 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式以及求值，有理数混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）有长方形的面积减去阴影长方形的面积即可； （2）将、的值代入（1）所得代数式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由图形可知， 这套住房的总面积为； 故答案为：； （2）∵，，房价为0.8万/，另外加的公摊面积， ∴该房的房价是万元． 故答案为：． 5．观察下列单项式：，，，，…，按此规律第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 通过观察单项式的系数和指数的变化规律，发现系数的绝对值是2的幂次，且符号交替，指数与项数相同，从而推导出第个单项式的表达式． 【详解】解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是，…， 系数的绝对值依次为，，，，…，即（其中为项数）； 系数的符号依次为正、负、正、负，即； 系数为； 变量的指数依次为，，，，…，即， 第个单项式为， 故答案为：． 6．已知：A＝2a2＋3ab﹣2a﹣1，B＝a2＋ab﹣1 （1）求A﹣2B的值； （2）a＝﹣3，b＝时，求A﹣2B的值． 【答案】（1）ab﹣2a+1；（2）5 【分析】（1）将已知整式代入，然后去括号，合并同类项进行化简； （2）将已知字母的值代入（1）中的化简结果，从而求值． 【详解】解：（1）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝a2+ab﹣1， ∴A﹣2B＝2a2+3ab﹣2a﹣1-2（a2+ab﹣1） ＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2-2ab+2 ＝ab﹣2a+1； （2）当a＝﹣3，b＝时， 原式＝． 【点睛】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 7．有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?” 爱动脑筋的小安同学解题过程如下： 原式． 小安同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）若，则 ； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2026；（2）19；（3）11 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）把原式化为，然后整体代入计算即可； （2）先把原式去括号，合并同类，再化为，然后整体代入计算即可； （3）把原式化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴原式， 故答案为：2026． （2）∵， ∴原式 ． （3） ． 当，时， 原式． 8．某超市在国庆假期开展促销活动，活动方案如表： 一次性购物金额 优惠办法 低于300元 不予优惠 不低于300元且不超过600元 九折优惠 超过600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予八折优惠 (1)若小明妈妈一次性购物金额为750元，则她实际付款______元； (2)若小明妈妈在该超市一次性购物金额为元，当不低于300且不超过600时，她实际付款______元，当超过600时，她实际付款______元；（用含的代数式表示） (3)若小明妈妈两次购物金额共计1010元，第一次购物金额为元（在300与400之间），则用含的代数式表示两次购物小明妈妈实际共付款多少元？当时，小明妈妈两次购物共节省多少元？ 【答案】(1)660 (2) (3)两次购物实际共付款（）元；当时，共节省107元 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，读懂题意，正确的列出代数式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出算式进行计算即可； （2）根据优惠方案列出代数式即可； （3）根据优惠方案，列出代数式进行计算即可，最后代入计算节省的金式． 【详解】（1）解：已知购物金额为750元，超过600元，因此分两部分计算： 600元部分的实际付款：元， 超过600元部分的实际付款：元， 总实际付款：元， 故答案为：660； （2）解：当不低于300且不超过600时，享受九折优惠，实际付款为：元； 当超过600时，分两部分计算： 600元部分：元， 超过600元部分：元， 总实际付款：元， 故答案为：； （3）解：已知第一次购物金额为元，则第二次购物金额为元． 因为，所以第二次购物金额超过600元． 第一次购物实际付款：元， 第二次购物实际付款：元， 两次购物实际共付款：元， 当时： 两次购物实际付款：元； 两次购物原价总和：1010元； 节省的金额：元． 综上，两次购物实际共付款元；当时，共节省107元． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的相关概念 能准确判断代数式，掌握其规范书写、列写及求值方法 基础必考点，常与整式等知识结合出现在各类题型 单项式的定义、系数与次数 能准确识别单项式，熟练确定其系数和次数 基础必考点，多在小题中考查，易因指数判断错误丢分 多项式的定义、项与次数 能准确识别多项式，明确其项、次数及排列方式 高频考点，常结合整式加减考查，需注意项的符号和次数判断 整式及其加减运算 能熟练进行整式的加减运算，掌握同类项合并、去括号和添括号法则 核心考点，贯穿代数学习，从基础小题到综合大题均有涉及 知识点01 代数式 （1）代数式的定义： 代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号。另外，单独的一个数或字母也是代数式. （2）代数式的规范书写 书写代数式时应注意以下原则： ①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如 6×b常写作6·b或6b.但数与数相乘不遵循此原则，如6×8不能省略乘号，否则就写成了68，也不宜将“×”改为“·”，否则就写成了6·8，容易与6.8混淆。 ②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，而有理数又要写在无理数前面，如 6b一般不写作b6，2πr2不写作π2r2. ③除法运算写成分数形式，如 1÷a，通常写作 （a≠0）. ④相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如 a·a写作a2，a·a·a写作a3. （3）列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念。 （4）求代数式的值应注意的问题： （1）若代数式中省略了乘号、代入数值后应添上“×”号； （2）若代入的值是负数或分数时，应添上括号； （3）注意解题格式规范，应写成“当……时，原式=……”的形式； （4）代数式的字母可取不同的值，但所取的值不应该使所在的代数式或实际问题无意义. 知识点02 单项式的有关概念 （1）单项式的定义 数与字母的乘积组成的代数式为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式， 如 6，a都是单项式.因此，单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除式的除法运算. （2）单项式的系数 单项式中的数字因数叫单项式的系数，如－2xy2的系数为－2.单项式的系数为1或－1时，通常省略不写，但“－”号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成－ab. （3）单项式的次数 一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 .如5x2y4的次数为6(2＋4=6).一个单项式的次数是几，我们习惯上又称作这个单项式是几次单项式.如5x2y4是六次单项式。单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0.如5xy2的次数是1＋2=3，而不是2. 知识点03 多项式的有关概念 （1）多项式的意义 几个单项式的和叫做多项式 .多项式中含有加减运算，也可以含有乘方，乘除运算，但不能含有以字母为除式的除法运算，如 不是多项式. （2）多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 .其中，不含字母的项，叫做常数项.常数项在多项式中次数最低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”，如 是二项式. （3）多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数 .如x2＋1－3x4的次数是4.因x2＋1－3x4是由单项式x2，1，－3x4三项组成的.因此，x2＋1－3x4又可称作“四次三项式”. （4）多项式的排列 （1）升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的升幂排列. （2）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的降幂排列. 知识点04 整式及其加减 （1）整式的定义：单项式与多项式统称为整式 .整式中不能含有以字母为除式的除法运算. （2）同类项概念及合并同类项的方法 （1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （3）合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 （3）去括号和添括号的法则 （1）去括号法则 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”去掉，括号里各项都改变符号。 （2）添括号法则 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”，括到括号里面的各项都改变符号。 （4）整式加减的方法与步骤 （1）如果有括号，应先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 题型一 合并同类项 答｜题｜模｜板 计算：． 解： ． 【典例1】化简： (1)； (2)． 【变式1】．化简： (1) (2) 【变式2】．计算： (1) (2) 题型二 化简求值 答｜题｜模｜板 先化简，再求值：，其中，． 解：原式=， ， ， ． 当时，原式． 【典例1】先化简，再求值： ，其中 【变式1】．先化简再求值：，其中． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 题型三 不含问题 答｜题｜模｜板 已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 【典例1】若多项式与多项式的和不含项和x项，求的值． 【变式1】．已知，，且，若中不含的一次项，求的值． 【变式2】．若多项式减去多项式的差不含二次项，求m的值． 题型四 整式的加减应用图形类 答｜题｜模｜板 如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（） (1)当，时，求拼成的长方形周长； (2)小明说：“如果的值不变，那么不管取什么值，拼成的长方形的周长都不变．”请问小明的说法对吗?请说明理由． （1）解：由图可知，拼成的长方形的长为，宽为． 周长公式：， 当，时， ； （2）解：小明的说法对，理由如下： 拼成的长方形的长为，宽为， 周长 ， ∵周长表达式中不含，仅与有关 ∴当的值不变时，不管取何值，周长都不变 ∴小明的说法对． 【典例1】年月日，温州市第二中学将迎来第届校园运动会，各个班级紧扣校运会主题“艺文•燃！”，开展班级喷绘设计．小艺负责数字“”的设计，她把边长为的正方形卡纸（如图）剪去两个相同的小长方形，得到一个“2”的图案，且“2”的笔画宽度均为（如图）． (1)图案“”的周长可表示为 ．（用含字母的代数式表示） (2)小艺计划沿着图案的边框安装装饰灯，网上装饰灯的单价是元/米．如果正方形的边长为米，笔画宽度为米，则预计需要花费多少元？ 【变式1】．在社团课上某同学绘制了如图所示的火箭模型截面图，上面是三角形，中间是长方形，下面是梯形． (1)用含有，的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【变式2】．现有一种耐老化的新型窗框材料----“断桥铝”，如图所示（图中长度单位：米）是用这种材料做成的两种窗框（图中实线部分），其中型上部是半圆形，下部是长方形，型上下部均是长方形． (1)若一个住户要定做两个型窗框，共需要这种材料多少米？（接缝忽略不计） (2)若，求一个型窗框比一个型窗框多用多少米材料？（取） 题型五 整式的加减应用方案类 答｜题｜模｜板 为应对网店的竞争，我县永辉商场引入“胖东来”营业模式后重新开业搞促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，已知微波炉每台定价600元，电磁炉每台定价200元 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款_________元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，爱思考的小慧认为把两种方案结合起来购买会更省钱，你认为小慧的想法可行吗？请写出你的购买方案，并求出需花的费用，若不能请说明理由． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元； 故答案为：，； （2）解：当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案一购买较为合算； （3）解：可行，需花1920元，方案如下： 利用方案一购买2台微波炉，花费为（元）， 利用方案二购买台电磁炉，花费为（元）， 共花费（元）． 【典例1】某商场销售一种西装和领带，西装每套定价800元，领带每条定价100元．国庆期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款________元（用含x的代数式表示）； 若该客户按方案二购买，需付款________元（用含x的代数式表示）． (2)当时，通过计算说明哪种方案购买更为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算出所需费用． 【变式1】．综合与探究 加快文旅产业的发展，运城解州关帝庙作为我国现存始建最早、规模最大、建制最高、保存最全的关帝庙宇，成为来运游客的必选之地．解州关帝庙成人门票价格为元／人．学生门票价格为元／人．国庆期间，某旅游公司开展促销活动，向游客提供两种优惠购票方案： ①买两张成人票送一张学生票； ②成人票和学生票都按正常价格的折优惠． 现某旅行团有个成人，个学生（）． (1)若该旅行团按方案①购买，求需付款多少元？ 若该旅行团按方案②购买，求需付款多少元（用含的代数式表示）？ (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购票较为合算． 【变式2】．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠活动是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠活动是：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）． (1)用代数式表示：当购买乒乓球的盒数为x盒时，在乙店购买需付款______元； (2)当购买乒乓球的盒数为盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由； (3)当购买乒乓球的盒数为盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少钱． 题型六 错解还原 答｜题｜模｜板 有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 解：原整式为： ， 则原题正解为： ． 【典例1】小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求多项式； (2)求原题中的正确结果； 【变式1】．化简求值，按要求解答 (1)，其中，，． (2)小明在一次测验中计算一个多项式加上时，不小心看成减去，结果计算出错误答案为． 求多项式； 试求出原题目的正确答案． 【变式2】．已知两个多项式A和B．其中小马虎在计算的值时不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B： (2)请帮他求出的正确答案． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 11．下列代数式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．多项式是 次 项式． 4．若，则代数式的值是 ． 5．化简：． 6．先化简，再求值：，其中． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列各式中，与是同类项的是（  ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 4．如图，一个大长方形被分割为完全相同的5个小长方形，以及阴影A，B两部分． （1）当时，阴影A和阴影B的面积和为 ． （2）若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为 （用含x的代数式表示）． 5．计算下列各题： (1)； (2)． 6．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列说法中正确的是（    ） A．的次数是4次 B．的系数是 C．单独一个有理数不是单项式 D．是二次二项式 2．某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，假设二月、三月产值一直增长，设月平均增长率是，则第一季度的总产值是（   ）亿元． A． B． C． D． 3．代数式的值是6，则代数式的值是 ． 4．如图为小明家新买的住房的结构图（单位：m），请问： （1）这套房子的总面积是 ． （2）经测量得，，购买时房价为0.8万/，在计算房价时需另外加的公摊面积，那么该房的房价是 万元． 5．观察下列单项式：，，，，…，按此规律第个单项式是 ． 6．已知：A＝2a2＋3ab﹣2a﹣1，B＝a2＋ab﹣1 （1）求A﹣2B的值； （2）a＝﹣3，b＝时，求A﹣2B的值． 7．有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?” 爱动脑筋的小安同学解题过程如下： 原式． 小安同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）若，则 ； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 8．某超市在国庆假期开展促销活动，活动方案如表： 一次性购物金额 优惠办法 低于300元 不予优惠 不低于300元且不超过600元 九折优惠 超过600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予八折优惠 (1)若小明妈妈一次性购物金额为750元，则她实际付款______元； (2)若小明妈妈在该超市一次性购物金额为元，当不低于300且不超过600时，她实际付款______元，当超过600时，她实际付款______元；（用含的代数式表示） (3)若小明妈妈两次购物金额共计1010元，第一次购物金额为元（在300与400之间），则用含的代数式表示两次购物小明妈妈实际共付款多少元？当时，小明妈妈两次购物共节省多少元？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $