专题01 有理数相关计算题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题01 有理数相关计算题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 裂项相消法 1．观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 2．阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 【答案】 （1）① ，② ，（2） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算． 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（） ， 故答案为：，； （） ． 5．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】（1）由题意知：； （2） ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的加法中的简便计算．关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法进行简便． 7．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 8．用裂项法求和 (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的运算，解题的关键是理解题意，正确的对每一项进行裂项，然后求解． （1）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （2）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （3）根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料：地 城 类型02 拆项法 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题目给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． （2）根据题目给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解： （2）解： 10．某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 …… 任务： 按小明的方法计算． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，理解题目中拆项法是解题关键．仿照例题，利用拆项法计算求解即可． 【详解】解： ． 11．先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题． （1）计算： 解： ． 上面这种解题方法叫作拆项法． （2）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，读懂阅读材料，熟练掌握有理数的加法法则、掌握拆项法进行解题是关键． 认真观察（1）的解法，利用此方法求出（2）中各小题的结果即可． 【详解】解： 原式 ． 12．阅读下题的计算方法： 计算：． 解：原式 ． 上面这种计算算方法叫做拆项法，请按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握拆项法是解题关键． 根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 ， ， ， ． 13．阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数17和分数； （2）①利用拆项法把带分数拆成整数和分数，然后分别对整数部分和分数部分进行计算； ②运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 【详解】（1）解：由拆项法可知，． （2）解：① ② ． 14．数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，仿照题例使用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 15．阅读例题的计算方法，再用这种方法计算 例：计算： 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，本题是阅读型题目，正确理解并熟练应用拆项法解答是解题的关键．根据拆项法，将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值． 【详解】解： ． 16．阅读下面的计算方法，再解决问题． ． 解：原式， ， ， ． 上述这种方法叫作拆项法，灵活运用加法的交换律和结合律可使运算简单． 仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算．根据题意将带分数写成整数加分数形式再分别计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 17．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ；地 城 类型03 错位相减法 ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2，，；（2）；（3） 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数探索出数的排列规律，再根据例题会用错位相减法求和是解题的关键． （1）根据所给的数，可得，再求解即可； （2）令，则，再作差求和即可； （3）设 ，则，再作差得，再结合（1）②的结论求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴每一项与前一项之比是常数2， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）令， ∴， ∴， 解得，     ∴的值为； （3）设 ， ∴ ， ∴， 由（1）②得， 所以， 即， 所以． 18．（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 【答案】（1）3；；；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为3；第三项与第二项之比为3；第四项与第三项之比为3；所以每一项与前一项之比是3，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】解： ∵，； ，； ，； ，； 以此类推：， ∴， 故答案为：3；；； （2）可令，则，因此，所以，即． 19．阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握错位相减法，是解题的关键： （1）利用错位相减法进行计算即可； （2）利用错位相减法进行计算即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② ②①得，则． （2）设，① 则，② ①②得，则． 20．计算时发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，①    则，② 得，则． 请你尝试用上面的方法计算． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算的应用，根据已知的步骤进行运算，即可求解；理解计算方法是解题的关键． 【详解】解：设，①     则，② 得， 则， 即原式． 21．（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 22．阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 23．【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】请仿照小明的方法求的值． 【答案】 【分析】设，则，然后求解即可． 【详解】设，则， 得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子看作整体进行扩大或缩小，要熟悉本题的解题思路． 24．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． 25．观察下列各式的特征：地 城 类型04 探究规律简便运算 ； ； ； ； 根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为 ． (4)用合理的方法计算：． 【答案】(1)①；② (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数加减混合运算，正确化简绝对值是解题的关键． （1）利用绝对值的性质化简即可； （2）利用绝对值的性质化简即可； （3）由数轴可得，再利用绝对值的性质化简即可； （4）先去绝对值，再利用有理数加减的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 故答案为：；； （3）解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：； （4）解： ． 26．观察下列各式，回答问题 ，，… 按上述规律填空： (1)________________． (2)计算：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法． （1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可； （2）根据（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：， 故答案为：，； （2）解：由题意， ， 故答案为：． 27．观察下列各式：，，，…. (1)猜想：_______； (2)根据上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则可得原式等于，再计算乘法即可得； （2）先计算括号内的减法，再根据有理数的乘法法则计算即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ． 28．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左往右，依次将相邻两个加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①________ ②________ (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，第2025次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 【答案】(1)①；② (2)蚂蚁在数轴上1的位置 【分析】本题主要考查数字的变化规律、有理数的运算，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律． （1）①由每两个数为一组，其和为，共1013组，据此可得； ②由每两个数为一组，其和为，共507组，据此求解可得； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得． 【详解】（1）解：（1）①， 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）解：根据题意知，第2025次爬行后，蚂蚁在数轴上的数为 ． 即第2025次爬行后蚂蚁在数轴上1的位置． 29．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 30．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数的个数n 连续偶数的和S 1 2 3 4 5 按此规律完成下面几个问题： (1)如果时，那么S的值为 ； (2)求值； (3)求值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题考查了有理数的加法运算和乘法运算． （1）根据表格中的规律进行计算即可； （2）根据表格中的规律进行计算即可； （3）把原式变形为再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）根据表格可得：当时，； 故答案为：56 （2） ； （3） ． 31．综合与实践地 城 类型05 进制转换 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解二进制转换十进制数的方法，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为七进制的方法列式计算即可； （3）先将四进制数转十进制得到的表达式，再利用“能被 3 整除”的数的性质求解． 【详解】（1）解： ； 将二进制数转换为十进制数为； （2）解：∵， ∴， ∴将十进制数转换为七进制数为； （3）解：由题意得，， ∵，为整数， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵为整数，且， ∴， ∴． 32．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】（）根据十进制数的转换方法计算即可； （）根据十进制数的转换方法求出的值，进而再转化为二进制数即可； （）仿照十进制数的转换方法解答即可求解； 本题考查了进位制，有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， 又由（）知，， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴． 33．综合与实践 阅读下列材料： 材料一：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： 就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数345可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．反之，可以将十进制数转换为二进制数，例如将52转换为二进制数，因为，所以将十进制数52转化为二进制数为． 材料二：二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 所以． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将79转换为二进制数； (2)计算，并将结果转换为十进制数． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了二进制问题，熟练掌握有理数的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． （1）结合材料一计算即可； （2）结合材料二计算，结合材料一转换为十进制数即可． 【详解】（1）解：， 转换为二进制数为； （2）解： ， ， 转换为十进制数为17． 34．解决问题 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字0~进行计数，特点是逢进一． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如：   ∴          ∴ 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 （1）任务1 探究不同进位制的数之间的转换 ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （2）任务2 探究进位制数的加法运算 ①_____ ②_____ 【答案】（1）①123；②；（2）①；② 【分析】本题考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子是关键． （1）①根据材料提供的方法转化即可；②根据材料提供的方法转化即可； （2）①根据二进制的加法运算口诀进行求解即可；②根据二进制的加法运算口诀进行求解即可． 【详解】解：（1）① ②， （2）①； ② 35．阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0至9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…．例如，十进制数中的3表示3个百，0表示0个十，4表示4个一，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：．（规定当时，，304右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：___________； (2)一个位数为6位数的二进制数（此处研究对象为非负数）能表示的十进制数值范围___________； (3)计算（结果转化为十进制）：． 【答案】(1) (2)不小于32且不大于63 (3)259 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解不同进制的数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式是解答本题的关键． （1）根据题目介绍的方法表示即可； （2）分别求出最小和最大二进制的6位数转化后的结果即可； （3）先分别将和转化为十进制数，然后相加即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵， ， ∴表示的十进制数值范围是不小于32且不大于63， 故答案为：不小于32且不大于63； （3）∵ ， ， ∴． 36．综合与实践 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材1：十进制数，记作：234 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2：将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可（十进制数化为二进制数同理）．如： 素材3：二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下：加法：，，，； 减法：，，，（（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数为______； （2）将十进制数22转化成二进制数为______； 任务2：探究进位制数的加法运算 （3）______； （4）______； 任务3：应用拓展 （5）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ （6）如果一个十进制两位数对，交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为36，那么我们称这样的数为“青春数”，现存在这样的“青春数”使得该数转化成八进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，则该数为______． 【答案】（1）129（2）（3）（4）（5）1838个（6）73 【分析】本题考查了进位制的转换（含n进制与十进制互化）、二进制的加減运算、进位制的实际应用及“青春数”的定义应用，解题的关键是理解各进位制“逢n进一”的记数规则，掌握n进制与十进制的互化方法及二进制四则运算规则． （1）利用七进制转十进制规则，各数位数字乘对应7的幂次后求和； （2）采用“除2取余，倒序排列”法实现十进制转二进制； （3）二进制加法按“满二进一”规则，对齐数位逐位相加； （4）二进制减法按“借一当二”规则，对齐数位逐位相减； （5）由“满六进一”确定为六进制数，各数位打结数乘对应6的幂次后求和； （6）先根据“青春数”定义得出十位与个位数字的关系，再将八进制三位数转化为十进制数，结合两位数的取值范围筛选答案． 【详解】（1）解： 故答案为：129． （2）解：，， ，，． 将余数倒序排列得， 故答案为：． （3）解：对齐数位逐位相加，满二进一： （ 1 0 1 1 0 ）2 （ 1 1 0 1 ）2 （ 1 0 0 0 1 1 ）2 故答案为： （4）解：对齐数位逐位相减，借一当二： （ 1 1 0 1 0 1 ）2 （ 1 1 1 1 0 ）2 （ 1 0 1 1 1 ）2 故答案为：． （5）解：由“满六进一”知该数为六进制数，从右到左打结数对应六进制数的个位、十位、百位、千位、万位，即六进制数为，转化为十进制数： 答：她一共采集到的野果数量为1838个． （6）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为（m，n为整数，，）， 由“青春数”定义得： 设八进制三位数为（为整数，），转化为十进制数：， 因73a是两位数，故（时为三位数，不符合），则十进制数为，验证：，，，满足，且，是“青春数”． 故答案为：73． 37．综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【答案】(1) (2)245 (3) (4)10 【分析】本题主要考查了二进制，三进制，六进制和十进制数之间的互相转化，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据表格先找到33所处的大约位置，再根据十进制转化为2进制的算法得到答案即可； （2）根据三进制转化为十进制的公式和表格算出答案即可； （3）先把二进制的数转化为十进制，再把十进制的数转化为六进制即可； （4）先把二进制和三进制的数转化为十进制，根据题意求出积，进而得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， 根据表格可知，十进制数33化为二进制数时，最高位是， ∴， 故答案为：； （2）解：由题和表格可知：， 故答案为：245； （3）解：由题和表格可知，把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ， 由题和表格可知，把十进制数25化为六进制数： ． （4）解：把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 把三进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 由题意，得 ． 可得． ． 38．【问题情境】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为或．如，就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】 （）把十进制数转换成进制数，采用“除以取余数”的方法，即将十进制数除以，然后对商继续除以，直到商等于为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果，例如将十进制数转换为二进制数结果为 （）不同进位制之间是可以相互转换的，例如二进制数转换为十进制数为： 综合实践： 年月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： (1)请把射程公里转化为六进制的数应该为 公里； (2)在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是 ； (3)把，转化为二进制的数分别为 ；利用二进制数的加法法则计算他们的和为 ． 【答案】(1) (2) (3)，； 【分析】（）根据十进制数转换成进制数的计算方法即可求解； （）先把二进制数转换为十进制数，再根据十进制数转换成进制数的计算方法即可求解； （）根据十进制数转换成进制数的计算方法分别把和转化为二进制的数，再根据二进制数的加法法则计算即可求解； 本题考查了有理数的除法和混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴将十进制数转化为六进制数为， 故答案为：； （2）解： ∵， ， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ∴， 同理得， ∴， 故答案为：，；． 39．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下：地 城 类型06 定义新运算 (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】(1)11 (2)7 (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 40．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作读作：“的圈4次方”．一般地，把个非零有理数相除，记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方， 乘方幂的形式 探索发现：有理数的圈次方写成幂的形式： ； 计算： 【答案】[初步探究]C；[深入思考] 探索发现： ；计算：． 【分析】本题考查了乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． [初步探究]根据除方的定义和有理数除法的运算法则逐一计算判断即可； [深入思考] 探索发现：根据除方的定义和乘方的运算法则计算即可 计算：根据除方的定义计算即可． 【详解】解：[初步探究] A、，即何非零数的圈2次方都等于1，说法正确，不符合题意； B、多少个1相除结果都为1，则对于任何正整数，1的圈次方都等于1，说法正确，不符合题意； C、，，则，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，说法正确，不符合题意； 故选：C [深入思考] 探索发现：， 故答案为：； 计算： ． 41．定义一种新运算：． 例如． 求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)32 (2)39 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 42．材料一：对于任意有理数x，y，定义新运算“⊕”，，例如：，； 材料二：规定表示不小于m的最小整数，例如：，，，． 根据上述材料解答下列问题： (1)________，________； (2)求的值； (3)若有理数p，q满足，求的值． 【答案】(1)， (2)431 (3) 【分析】此题考查了有理数混合运算，正确理解新定义列得算式是解题的关键． （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题中所给新定义运算可进行求解； （3）根据新定义得到，由此得到，求出q，p，再根据公式列式求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为，； （2）解：原式 ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴原式 43．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3)新运算不具有结合律；见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 44．【阅读材料】 （一）当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …； 特别地，规定． （二）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义一种新运算：． 【解决问题】 (1)若，则______；______． (2)______；则的值______． (3)计算：． 【答案】(1)4，9 (2)24，8 (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义，有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； ； （2）解：； ∵，， ∴； （3）解： ． 45．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 46．对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 【答案】(1)0 (2)当a、b两数都是偶数时，原式；当a、b两数都是奇数时，原式；当a、b两数中一个是奇数，一个是偶数时，原式 (3)①③④ 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则、运算顺序以及对新定义的理解是解答此题的关键． （1）直接根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分三种情况进行讨论：①均为偶数；②中一个奇数一个偶数；③均为奇数；即可得出答案； （3）根据新定义的运算，一一进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0； （2）解：分三种情况进行讨论： ①当均为偶数时， ； ②当中一个奇数一个偶数时， ； ③当均为奇数时， ， 综上所述，的所有可能的值为2，0，； （3）解：①、，，故原式计算正确； ②、取，则，，故故原式计算错误； ③、，故原式计算正确； ④、，故原式计算正确； 综上计算正确的有：①③④； 故答案为：①③④． 47．在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查新定义运算，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． （2）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得 ． （2）解：根据题意可得 ． 48．探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 【答案】(1)1 (2)①4    0  ；② 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：①根据题意：， ， ， ， ； ②， ， ， 同理：，，； ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数相关计算题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 裂项相消法 1．观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 2．阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 5．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 6．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 7．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 8．用裂项法求和 (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 9．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料：地 城 类型02 拆项法 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2) 10．某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 …… 任务： 按小明的方法计算． 11．先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题． （1）计算： 解： ． 上面这种解题方法叫作拆项法． （2）计算：． 12．阅读下题的计算方法： 计算：． 解：原式 ． 上面这种计算算方法叫做拆项法，请按此方法计算： ． 13．阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 14．数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 15．阅读例题的计算方法，再用这种方法计算 例：计算： 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． 计算：． 16．阅读下面的计算方法，再解决问题． ． 解：原式， ， ， ． 上述这种方法叫作拆项法，灵活运用加法的交换律和结合律可使运算简单． 仿照上面的方法计算： ． 17．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ；地 城 类型03 错位相减法 ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 18．（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 19．阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 20．计算时发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，①    则，② 得，则． 请你尝试用上面的方法计算． 21．（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 22．阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 23．【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】请仿照小明的方法求的值． 24．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 25．观察下列各式的特征：地 城 类型04 探究规律简便运算 ； ； ； ； 根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为 ． (4)用合理的方法计算：． 26．观察下列各式，回答问题 ，，… 按上述规律填空： (1)________________． (2)计算：________． 27．观察下列各式：，，，…. (1)猜想：_______； (2)根据上面的规律计算：． 28．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左往右，依次将相邻两个加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①________ ②________ (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，第2025次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 29．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 30．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数的个数n 连续偶数的和S 1 2 3 4 5 按此规律完成下面几个问题： (1)如果时，那么S的值为 ； (2)求值； (3)求值． 31．综合与实践地 城 类型05 进制转换 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 32．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． 33．综合与实践 阅读下列材料： 材料一：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： 就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数345可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．反之，可以将十进制数转换为二进制数，例如将52转换为二进制数，因为，所以将十进制数52转化为二进制数为． 材料二：二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 所以． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将79转换为二进制数； (2)计算，并将结果转换为十进制数． 34．解决问题 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字0~进行计数，特点是逢进一． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如：   ∴          ∴ 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 （1）任务1 探究不同进位制的数之间的转换 ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （2）任务2 探究进位制数的加法运算 ①_____ ②_____ 35．阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0至9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…．例如，十进制数中的3表示3个百，0表示0个十，4表示4个一，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：．（规定当时，，304右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：___________； (2)一个位数为6位数的二进制数（此处研究对象为非负数）能表示的十进制数值范围___________； (3)计算（结果转化为十进制）：． 36．综合与实践 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 素材1：十进制数，记作：234 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2：将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可（十进制数化为二进制数同理）．如： 素材3：二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下：加法：，，，； 减法：，，，（（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数为______； （2）将十进制数22转化成二进制数为______； 任务2：探究进位制数的加法运算 （3）______； （4）______； 任务3：应用拓展 （5）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ （6）如果一个十进制两位数对，交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为36，那么我们称这样的数为“青春数”，现存在这样的“青春数”使得该数转化成八进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，则该数为______． 37．综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 38．【问题情境】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为或．如，就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】 （）把十进制数转换成进制数，采用“除以取余数”的方法，即将十进制数除以，然后对商继续除以，直到商等于为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果，例如将十进制数转换为二进制数结果为 （）不同进位制之间是可以相互转换的，例如二进制数转换为十进制数为： 综合实践： 年月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： (1)请把射程公里转化为六进制的数应该为 公里； (2)在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是 ； (3)把，转化为二进制的数分别为 ；利用二进制数的加法法则计算他们的和为 ． 39．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下：地 城 类型06 定义新运算 (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 40．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作读作：“的圈4次方”．一般地，把个非零有理数相除，记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方， 乘方幂的形式 探索发现：有理数的圈次方写成幂的形式： ； 计算： 41．定义一种新运算：． 例如． 求下列各式的值： (1)； (2)． 42．材料一：对于任意有理数x，y，定义新运算“⊕”，，例如：，； 材料二：规定表示不小于m的最小整数，例如：，，，． 根据上述材料解答下列问题： (1)________，________； (2)求的值； (3)若有理数p，q满足，求的值． 43．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 44．【阅读材料】 （一）当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …； 特别地，规定． （二）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义一种新运算：． 【解决问题】 (1)若，则______；______． (2)______；则的值______． (3)计算：． 45．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 46．对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 47．在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 48．探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $