1.2 一定是直接三角形吗（课时练习） -2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.2 一定是直接三角形吗（课时练习） -2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册 一、选择题 1．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 2．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（　　） A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米 3．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若 是 的高，则 的长为（　　） A． B． C． D．2 4．如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若 ，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．3 5．如图，在 的正方形网格中，以 为边画直角 ，使点 在格点上，满足这样条件的点 共（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，在四边形 ， ， ， ， ，则四边形 的面积是（　　）． A． B． C． D．无法确定 7．如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（　　）平方米． A．96 B．204 C．196 D．304 8．如图，由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1，图中标有线段 ， ， ， ，其中能构成一个直角三角形三边的是（　　） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 二、填空题 9． 已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为　 　． 10．已知，那么以a、b、c为边长的三角形为　 　三角形． 11．如图，在四边形中，E为的中点，于点E，，，，，则四边形的面积为　 　． 12．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2， 则四边形ABCD的面积是　 　． 13．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为　 　. 14．如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，AC为一条对角线，若∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为　 　． 三、解答题 15．如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 16．如图，有一张四边形纸片，°．经测得，，，． （1）求、两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 17． 如图，△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17． （1）求证：AD⊥BC； （2）求△ABC的面积， 18．如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若CD＝12，AD＝16，BC＝15． （1）求AC，BD的长； （2）判断△ABC的形状并说明理由． 20．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=2，BC＝CD＝1，． （1）求AC的长； （2）四边形ABCD的面积． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴是直角三角形，故B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故C不符合题意； ∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项. 2．【答案】A 【解析】【解答】如图，连接AC． 由勾股定理可知 AC= = =5， 又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2 ∴△ABC是直角三角形 故所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积= ×5×12- ×3×4=24（m2）． 故答案为：A 【分析】如图，连接AC．首先根据勾股定理算出AC的长，由AC2+BC2=52+122=132=AB2根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积即可算出答案。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得： ∵ ∴△ABC是直角三角形 又∵ 是 的高 ∴ ， ，解得： 故答案为：D. 【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解. 4．【答案】D 【解析】【解答】解： 阴影部分分别是以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形， ， 又 为直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：D． 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个． 故答案为：D． 【分析】在5×5的正方形网格中，分以AB为直角边和以AB为斜边画直角△ABC，即可得到点C的个数． 6．【答案】B 【解析】【解答】连接BD， ∵∠A=90°，AD=AB=4， ∴BD= =4 ， ∵CD=2，BC=6， ∴BD2+CD2=BC2， ∴∠CDB=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×4×4+ ×4 ×2=8+4 . 故答案为：B. 【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，再根据勾股定理的逆定理判断出∠CDB=90°，最后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD由直角三角形的面积公式即可算出答案。 7．【答案】A 【解析】【解答】解：连接AC， 则在Rt△ADC中， AC2=CD2+AD2=122+92=225， ∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521， AC2+BC2=152+362=1521， ∴AB2=AC2+BC2， ∴∠ACB=90°， ∴S△ABC-S△ACD= AC•BC- AD•CD= ×15×20- ×12×9=150-54=96（平方米）， 故答案为：A． 【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得AC的长度；根据计算，AC2+BC2=AB2，所以三角形ACB为直角三角形，所以这块地的面积=三角形ABC的面积减去三角形ACD的面积。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1 ∴ ， ， ， ， A、 ，故不符合题意； B、 ，故不符合题意； C、 ，故符合题意； D、 ，故不符合题意； 故答案为：C. 【分析】首先根据勾股定理求出AB、CD、EF、GH，然后利用勾股定理逆定理进行判断. 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴ ∴此三角形是直角三角形 ∴此三角形是直角三角形的面积为： 故答案为：. 【分析】由于题目给了三角形三边的长，所以考虑勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，进一步求得它的面积. 10．【答案】直角 【解析】【解答】解：∵， ∴，，， 解得，，． 可知， 所以a，b，c为边长的三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于a、b、c的方程组，即可求出a，b，c的值，再根据勾股定理逆定理判断． 11．【答案】 【解析】【解答】解：连接， 为的中点，， ∴DE是AB的垂直平分线，， ∵， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 四边形的面积 ， 故答案为：. 【分析】连接BD，由题意可得DE是AB的垂直平分线，∠DEB=90°，根据AB的值可得AE=BE=4，利用勾股定理可得BD，根据勾股定理逆定理知△DBC为直角三角形，然后根据SABCD=S△DAB+S△DBC进行计算. 12．【答案】 【解析】【解答】解：在 中， ， ， 在 中， ， ， ，则 ， ∴ 是直角三角形， ． 故答案是： ． 【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算得到AC的长度，继而在三角形ACD中，根据勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，求出四边形的面积即可。 13．【答案】2 【解析】【解答】解：连接AD、CD，如图所示： 由勾股定理可得， ， ， ， ∵BE=BC=5，∴AB=DE＝BE＝BC ， ， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°， 同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝180°，∴点A、D、C三点共线， ∴ ， 在△ABC和△DEB中， ， ∴△ABC≌△DEB(SSS)， ∴∠BAC＝∠EDB， ∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°， ∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB， ∵AB=BC，BD⊥AC， ∴BD平分∠ABC， ∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2. 故答案为：2. 【分析】连接AD、CD，由勾股定理得： ， ， ，得出AB＝DE＝BC， ，由此可得△ABD为直角三角形，同理可得△BCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明△ABC≌△DEB，得出∠BAC＝∠EDB，得出DF⊥AB，BD平分∠ABC，再由角平分线的性得出DF＝DG＝2即可的解. 14．【答案】 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= =2 ， ∵CD=1，AD=3，AC=2 ， ∴AC2+CD2=AD2， ∴∠ACD=90°， ∴四边形ABCD的面积： S=S△ABC+S△ACD = AB×BC+ AC×CD = ×2×2+ ×1×2 =2+ 故答案为2+ 【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD=90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案． 15．【答案】解：如图，连接，∵，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 【解析】【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证，再根据即可得出答案． 16．【答案】（1）解：连结． 在中，°，，， ． 即、两点之间的距离为 （2）解：， ∴△ACD是直角三角形且， 四边形纸片的面积 （7分） ． 【解析】【分析】（1）连结，先根据勾股定理求出AC，进而即可求解； （2）先根据勾股定理的逆定理得到△ACD是直角三角形且， 进而根据“四边形纸片的面积”即可求解。 17．【答案】（1）解： AB=10，BD=6，AD=8， ∠ADB=90°， AD⊥BC， （2）解： 【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定进而得到∠ADB=90°，从而求解； （2）先利用勾股定理求得CD的长，再利用三角形面积公式求解即可. 18．【答案】（1）解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 【解析】【分析】（1）连接，利用勾股定理可求，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，则，再根据角之间的关系即可求出答案. （2）由三角形的面积公式即可得出结果． （1）解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 19．【答案】（1）解：在Rt△ACD中，∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∵CD=12，AD=16， ∴， ∴AC=20． 在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，CD=12，BC=15， ∴， ∴BD=9； （2）解：△ABC是直角三角形． 理由：∵AD=16，BD=9， ∴， ∵AC=20，BC=15， ∴， ∴， 所以△ABC是直角三角形． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到AC=20，再根据勾股定理即可求解； （2）先根据题意得到，再结合题意运用勾股定理的逆定理即可求解。 20．【答案】（1）解：在Rt△ABC中， ∠B＝90°，AB=2，BC＝1， ； （2）解：在△ACD中， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90° ∴. 【解析】【分析】（1）∠B＝90°，根据勾股定理可计算出AC； （2）AC、CD、AD都已经知道长度，用勾股定理逆定理可判断出∠ACD是直角，再根据直角三角形的面积公式计算出△ABC和△ACD的面积，再计算出它们的和即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$