第四章 三角形-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考知识必备

第四章 三角形 版 第一节 线段、角、相交线与平行线（含命题） 1.线段 两个基本 (1)两，点确定一条直线； 事实 (2)两点之间，线段最短 线段的 若，点M是线段AB的中，点，则AM=BM= A M B 中点 线段的三 若点M,N是线段AB的三等分点，则AM=MN=NB=3AB B 等分点 道易错警示一条线段的三等分点有2个，遇到三等分点时要注意分类讨论 2.角与角平分线 余角 α，B互为余角台a+B=0°；性质：同角（等角）的余角相等 补角 a,B互为补角台a+B=180°；性质：同角（等角）的补角相等 从一个角的顶，点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 角 概念 叫作这个角的平分线 M 平 分 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 线 逆定理 在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 3.垂线、垂线段与线段的垂直平分线 中考知识必备 如图，当直线m和n相交所成的∠AOB=90°时，m⊥n; 垂线 基本事实： A 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 n 垂线段 连接直线外一点与直线上各，点的所有线段中，垂线段最短 定义：经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线； 线段的垂 定理：线段垂直平分线上的，点到线段两端的距离相等； 直平分线 逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上 4.平行线的性质与判定 1同位角相等判定 两直线平行 性质 2内错角相等判定 性质 两直线平行 3.同旁内角互补 判定 两直线平行 4.两条平行线间的距离处处相等 性质 中考知识必备·数学 15 一战成名目 第二节三角形及其重要线段 1.三角形的三边关系 (1)任意两边之和大于第三边； (2)任意两边之差小于第三边. 2.三角形的内角和与内外角关系 性质 说明 图示 三角形的内角和是180° 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180° 三角形的外角和是360° 三角形的一个外角等于和它不相 在△ABC中，∠ACD是它的外角， 邻的两个内角和 则∠ACD=∠A+∠B 三角形的一个外角大于与它不相 在△ABC中，∠ACD是它的外角， 邻的任意一个内角 则∠ACD>∠A(或∠B) 在同一个三角形中大角对大边 在△ABC中，若∠A>∠B,则BC>AC 3.三角形中的重要线段 高线 中线 中位线 角平分线 垂心：高线交点 重心：中线交点 内心：内角平分线交，点 中考知识必备 AD是△ABC的高台 AD是△ABC的中线 EF是△ABC的中位线 AD是△ABC的角平分 1 AD⊥BC; 台D是BC的中，点； 台EF/BC,EF=2BC: 线台∠1=∠2： BC·AD=AC·BE; SAARD=S△ADC; △DEF≌△AFE; SAARD SAACD=BD:CD= 当三角形形状不确定 SAOB=S△Bc=SA0c; △DEF∽△ABC,相似 AB:AC; 求高时要分类讨论 A0:OD=BO:OE=2:1 比为1：2 内心(O)到三边距离相等 拓展三角形内、外角平分线性质 在△ABC中，BP,CP分点D在BC的延长线上，BP,CP 点D,E分别在AB,AC的延长线上， 别平分∠ABC,∠ACB 分别平分∠ABC,∠ACD BP,CP分别平分∠DBC,∠ECB D 1 ∠BPC=90°+=∠A ∠BPC= ∠A ∠BPC=90°- ∠A 16 中考知识必备·数学 一战成名目 第三节 等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 腰 腰 b 图形 底 60 h b 边、角 两腰相等；两底角相等 三条边均相等：三个内角均为60° 高线、 顶角的平分线、底边上的中线、底边 每条边上都满足三线合一 中线、 上的高线重合（三线合一） 性 质 角平 两腰上的中线、高线、底角平分线分 三条高线、三条中线、三条角平分线均 分线 别对应相等 相等 轴对 是轴对称图形，对称轴为顶角的平分 是轴对称图形，有3条对称轴 称性 线所在的直线 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (1)有两条边相等的三角形是等腰三 (定义)； 角形（定义）； 判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形： (2)有两个角相等的三角形是等腰三 (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边 角形（等角对等边） 三角形 面积 4 拓展等腰三角形的分类讨论 (1)已知等腰三角形的一个角为α，求顶角或底角时，需分两种情况讨论：①为钝角或直角时， 中考 则为顶角：②α为锐角时，需要分a为顶角和α为底角两种情况进行讨论； 识 (2)已知等腰三角形的两边长为a和b,求周长时，需分两种情况进行讨论：①腰长为a,②腰长 备 为b,再结合三角形的三边关系判断这两种情况是否成立. 第四节」 直角三角形 1.直角三角形的性质与判定 图形 性质 判定 (1)两个锐角互余； (1)有两个角互余的三角 (2)斜边上的中线等于斜边的一半； 形是直角三角形； (3)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平 (2)勾股定理逆定理：若一 方.如图，可知a,b,c的关系是a2+b2=c2: 个三角形的三边长a, (4)30°角所对的直角边等于斜边的一半； b,c满足a2+b2=c2,那 (5)含30°角的直角三角形三条边长的比是1：3：2； 么这个三角形是直角 6商积： 2h(常应用于等面积法) 三角形，其中c是斜边 中考知识必备·数学 17 一战成名目 2.等腰直角三角形的性质与判定 (1)两条直角边相等； (2)两个锐角相等，均为45°： 性质 (3)斜边上的高线把它分成两个全等的等腰直角三角形： (4)一条直角边长与斜边长的比为1：√2 (1)有一个角是90的等腰三角形是等腰直角三角形； (2)有两个角均为45°的三角形是等腰直角三角形； 判定 (3)一个直角三角形的三条边长的比是1：1：√2，这个直角三角形是等腰直角三 角形 拓展直角三角形的分类讨论 (1)已知直角三角形两边长为a和b(a<b),求第三边时，若没确定直角边和斜边，需要分两种情 况讨论：①a和b为直角边长；②b为斜边长； (2)已知△ABC为直角三角形，直角顶点不确定时，需要分为三种情况进行讨论：①A为直角顶 点：②B为直角顶点：③C为直角顶点， 第五节 全等三角形 L.全等三角形的判定 直角三角形中 已知 两边及其夹 两角及其夹 两角及其中一角 三边分别相等 斜边和一条直 条件 角分别相等 边分别相等 的对边分别相等 角边分别相等 中考知识必备 图示 判定 SSS SAS ASA AAS HL 方法 拓展快速转化题干中的全等信息 题给信息 中点 角平分线 平行线 垂直 特殊图形 得到的全等条件 等边 等角与等边 等角 90°角 等边或等角 2.全等三角形的性质 1.全等三角形的对应边相等，对应角相等； 2.全等三角形的周长相等，面积相等： 3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线和中位线都相等 18 中考知识必备·数学 一战成名目 第六节 相似三角形 1.相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线 两边成比例且夹角 判定 两角分别相等的 三边成比例的两 和其他两边相交，所构成 相等的两个三角形 定理 两个三角形相似 个三角形相似 的三角形与原三角形相似 相似 B 图示 B 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 3.位似 (1)两个位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质； (2)对应点连线的所在直线都经过同一点（位似中心）； (3)对应边互相平行或在同一条直线上， 第七节锐角三角函数及其应用 1.锐角三角函数 中考知 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为Rt△ABC的一个锐角，则有： B 必备 ∠A的正弦：sinA= ∠A的对边a ∠A的余弦：cosA= ∠A的邻边b 斜边 一； 斜边 ∠A的对边a b ∠A的正切：tanA= ∠A的邻边b 2.锐角三角函数实际应用中的三种常见背景 概念 俯角、仰角 坡度（坡比） 方向角 铅 点A在点0的北偏东30 坡面 北1 方向， 铅 视线 高 垂 仰角 ,点B在，点0的南偏东60 图形 线 俯角 水平线 C\4530A 水平宽度 方向， 视线 60B 坡度i=tana= ,点C在，点O的西北（北偏 西45°)方向 中考知识必备·数学 19