第三章 函数-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考知识必备

第三章函数 纯存版 第一节平面直角坐标系及函数 1.平面直角坐标系内点的坐标特征 各象限角平 平行于坐标轴 各象限内的点 坐标轴上的点 分线上的点 的直线上的点 y ↑y 第二象限第一象限 (0,y) A(x1y） (,+) 0(+,+) (x,0) P(x,y） 第三象限 第四象限元 (-,-） (+,-) B(x.y2) 第一、三象限角平分 在第一象限台x>0且y>0; 点(x,y)在坐标 线上的，点的横、纵坐 平行于x轴的直线上 在第二象限台x<0且y>0; 轴上，则： 标相等； 点的纵坐标相等； 在第三象限曰x<0且y<0; 在x轴上曰y=0, 第二、四象限角平分 平行于y轴的直线上 在第四象限台x>0且y<0 在y轴上曰x=0 线上的点的横、纵坐 点的横坐标相等 标互为相反数 2.平面直角坐标系中点的坐标变化 A(x,y） 关于x轴对 →A1(x,y）； 关于y轴对称 A(x.Y) 对称点的 A(x,y) A(-x,y); 坐标特征 关于原点对称 A(x,y)- A3(-x,-y) 归纳：关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，另 中考知识必备 一个变号；关于原点对称都变号 向左平移a个单位长度 A(x,y)- A(x-a,y); A(x,y) 向右平移a个单位长度 A,(x+a,y); 点平移的 向上平移a个单位长度 A(x.y) 坐标特征 A(x,y)- A(x,y+a); A. A(x,y) 向下平移a个单位长度A,(x,y-a） 归纳：左右平移，左减右加；上下平移，上加下减 3.平面直角坐标系中的距离及中点坐标 (1)点P(a,b)到x轴的距离为1b,到y轴的距离为1al,到原点的距离为√a2+b2; (2)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离为√x2-x1)+(y2-y产； (3)若4.6）期线段的中点坐标为，学 中考知识必备·数学 9 一战成名目 第二节 一次函数的图象与性质 1.一次函数的基本性质(y=kx+b) k>0 k<0 k,b符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 大致图象 少 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与坐标轴 b 交点 与x轴交于点（人，0），与y轴交于点(0，b) 2.待定系数法确定一次函数解析式 (1)已给出解析式→找两点→代入→求k和b→写出结论： (2)未给出解析式→设解析式y=kx+b(k≠0)→找两点代入→求k和b写出结论. 3.一次函数与方程（组）、不等式的关系 (1)一次函数y=kx+b与方程、不等式的关系（以>0，b>0为例） 方程kx+b=0 不等式kx+b>0 不等式kx+b<0 等价于令y=kx+b=0,求x 等价于令y=x+b>0,求x 等价于令y=kx+b<0,求x的 数 的值 的取值范围 取值范围 中考知识必备 方程kx+b=0的解 不等式 kx+b>0的解集 mi 形 不等式 kx+b<0的解集 相当于函数图象与x轴交 相当于x轴上方函数图象 相当于x轴下方函数图象对 ,点的横坐标 对应x的取值范围 应x的取值范围 (2)一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2与方程组、不等式的关系 (k1x+b1=0, 方程组 不等式k1x+b1>k2x+b2 不等式kx+b,<k2x+b2 (k2x+b2=0 m.Oy2 相当于两个一次函数图象 相当于y1的图象在y?图象 相当于y1的图象在y2图象下 交点的横、纵坐标值 上方时x的取值范围 方时x的取值范围 10 中考知识必备·数学 一战成名目 4.一次函数图象的变换 (1)一次函数图象的平移（要点：k不变） 原解析式 平移方式(m>0) 平移后解析式 简记 向左平移m个单位长度 y=k(x+m)+b x左加右减 y=kx+b 向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b (k≠0) 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 等号右边整体 向下平移m个单位长度 y=kx+b-m 上加下减 (2)一次函数图象的对称 原解析式 对称方式 x,y的变化 对称后解析式 关于x轴对称 y变为相反数 -y=kx+b,即y=-x-b y=hx+b 关于y轴对称 x变为相反数 y=k·(-x)+b=-kx+b (k≠0) 关于原点对称 x,y均变为相反数 -y=k·(-x)+b,即y=kx-b 第五节 反比例函数的图象与性质 1反比例面数的基本性质()= k的取值范围 k>0 k<0 大致图象 中考知 图象所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 必备 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大 轴对称性：对称轴为直线y=±x; 对称性 中心对称性：对称中心为原点O 2.反比例函数解析式的确定 (1)待定系数法求反比例函数解析式 ①已给出解析式y=上→找点→代人→求k写出解析式； ②未给出解打式：设解新式y女（≠0）一找点一→代入→求写出解析式 (2)反比例函数k的几何意义 A(x,y) 过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段与坐标轴围成的 B O 矩形的面积为1k1.如图，S矩形oc=2,S△40B=S△4cw=1. 特别提醒：当图象在第二、四象限时，一定要注意k<0 中考知识必备·数学 11 一战成名目 第六节反比例函数图象与性质的应用 1.判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 函数类型 k,k'的符号相同(k'>0)k,k'的符号相反(kk<0) 结论 反比例函数 ①k,k'同号，必有两交点， 且两交点关于原点成 y=- 与正比 中心对称； 例函数y=k'x ②k,k'异号，无交点 反比例函数 ①k,k'同号，必有两交点； y=与一次 ②k,k'异号，交点可以有 函数y=k'x+b 两个、一个、零个 2.不等式问题 (1)找交点； (2)分区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴，将坐标平面分为四部分，如图， 即I,Ⅱ，Ⅲ，V; (3)观察函数图象找答案：根据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大，在各区域内找 相应的x的取值范围： ①I,Ⅲ区域内：>ax+h,自变量的取值范围为x<e或0<<4； /-ax+b B OX ②Ⅱ，V区域内：ax+b>二，自变量的取值范围为xB<x<0或x>x4· 中考知识 第七节 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 备 表达式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) a>0 a<0 a>0 a<0 大致图象 对称轴 直线x=-6 直线x=h 2a 顶点坐标 b 4ac-b2 2a' (h,k) Aa 时，y有最小值4c-b b 最 a>0 x=- x=h时，y有最小值k 2a Aa 值 b a<0 时，y有最大值ac-b 2a x=h时，y有最大值k Aa 12 中考知识必备·数学 一战成名相 续表 增 a>0 在对称轴左侧时，y随x增大而减小；在对称轴右侧时，y随x增大而增大 减 性 a<0 在对称轴左侧时，y随x增大而增大；在对称轴右侧时，y随x增大而减小 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数a,b,c的关系 决定抛物线的开口方向，|a|决定 a>0,抛物线开口向上； a 开口大小 a<0,抛物线开口向下 b=0,对称轴为y轴； 决定抛物线对称轴的位置（对称 b >0，对称轴在y轴左侧； a,b 错为直线 2 左同右异 6 <0，对称轴在y轴右侧 a c=0,抛物线过原点； c>0,抛物线与y轴交于正半轴； 与y轴必 决定抛物线与y轴交点的位置 有1个交点 c<0,抛物线与y轴交于负半轴 b2-4ac=0时，与x轴有唯一的交点（顶点）； b2-4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2-4ac>0时，与x轴有两个交，点； b2-4ac<0时，与x轴没有交点 看到2a+b,比较- 看到2a-b,此较与-1的大小： 特殊关系 和1的大心： 中考知 看到a+b+c,令x=1,看y的值； 看到a-b+c,令x=-1,看y的值 3.二次函数解析式的确定 必备 (1)已给出解析式y=ax2+bx+c(a≠0)时，a,b,c未知几个，则要从题设中找出几个已知点坐标代 入列方程（组）； (2)未给出解析式时，先观察题设中给出的条件，根据已知条件设出合适的二次函数解析式。 已知条件 常设解析式 与x轴的两个交点坐标+任意一点坐标 交，点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 顶点坐标+任意一点坐标 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 对称轴+最值+任意一点坐标 任意三点坐标 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 音温馨提示当抛物线经过点心，，)时，可先求对称销x),再设项点式 中考知识必备·数学 13 一战成名目 4.二次函数与方程、不等式的关系 (1)二次函数与一元二次方程的关系（以>0为例）》 本质：求一元二次方程ax2+bx+c=0的根即求对应函数y=ax2+bx+c=0时x的值[数]→ [形]二次函数图象与x轴交点的横坐标 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 y=ax2+bx+c 与x轴 有两个交点 只有一个交点 没有交点 (2)二次函数与不等式的关系（以a>0为例） ax2+bx+c>O ax-+bx+c<0 图象 0 10龙 解集 全体实数 x卡x0 x<1或x>x2 无解 无解 x<x<x 5.二次函数的图象变换 (1)二次函数图象的平移 先化为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，再求平移后的表达式. 考知 平移前的 平移后的 平移方式 平移后的表达式 必备 顶点坐标 顶点坐标 向左平移m(m>0)个单位长度 (h-m,k) y=a(x-h+m)2+k 向右平移m(m>0)个单位长度 (h+m,k) y=a(x-h-m)2+k (h,k) 向上平移n(n>0)个单位长度 (h,k+n) y=a(x-h)2+k+n 向下平移n(n>0)个单位长度 (h,k-n) y=a(x-h)2+k-n (2)二次函数图象的对称（翻折）、旋转 变换前 变换方式 变换后 简记 关于x轴对称 y=-a(x-h)2-k a,k变号，h不变号 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k a,k不变号，h变号 y=a(x-h)2+k(a≠0) 绕顶，点旋转180° y=-a(x-h)2+k a变号，h,k不变号 绕原点旋转180° y=-a(x+h)2-k a,h,k均变号 14 中考知识必备·数学