专项突破11 一次函数与二元一次方程（期末复习-知识回顾+3个重难点培优题型+真题演练 共27题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

该初中数学讲义以“一次函数与二元一次方程”为核心，通过框架式知识梳理构建体系，涵盖一次函数与一元一次方程关系、与二元一次方程组联系及方程组解的几何意义，用要点提示明确交点与解的对应、平行与无解等重难点，体现“数”与“形”的内在逻辑，帮助学生形成结构化知识脉络。 讲义亮点在于分层培优题型设计，含两直线交点与方程组解、图象法解方程组、直线围成图形面积三大类，每类配精讲及变式题，如求直线围成三角形面积的题型，培养几何直观与运算能力。真题演练贴近学情，基础生通过变式巩固方法，优生可挑战综合题，助力教师实施分层教学，提升学生用数学思维解决问题的能力。

专项突破11 一次函数与二元一次方程 （知识回顾+3种重难点培优题型+真题演练 共27题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 1 知识点梳理03：方程组解的几何意义 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 2 题型2 图象法解二元一次方程组 7 题型3 求直线围成的图形面积 13 期末真题 实战演练 19 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 知识点梳理03：方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 【精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则一次函数与的图象的交点坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了“一次函数图象与二元一次方程组的关系”，正确理解二元一次方程组的解与一次函数的交点之间的关系是解题关键． 根据解，可以通过得到x的值，再由二元一次方程组，可得方程组的解就是这俩个一次函数的图象的交点坐标，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴． ∴二元一次方程组即的解为 ∴一次函数与的交点坐标为． 故答案为： ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由图象可知，直线与直线的交点为； ∴方程，即方程的解为；故选项A正确； 不等式的解集为，不等式的解集为，故不等式和不等式的解集相同；故选项B正确； 方程组的解集为，故选项C错误； 把代入，得，解得， ∴， ∴当，解得， ∴不等式组的解集是；故选项D正确； 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·广西百色·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键． 【规范解答】解：A：由图象得，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B：由图象得：时， ∴关于的不等式的解集是，故B不符合题意； C：由图象得：当时，， ∴关于的方程的解是，故C是不符合题意； D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D符合题意； 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线 ：（k为常数，） 与 y轴交于点 A，直线：与 y轴交于点 B，两直线交于点 C． (1)若点 B坐标为，求 k的值和点 C坐标； (2)在（1）的条件下，探究直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当 k为整数时，求 C为整点时的坐标； (4)设直线落在内部（不含边界）整点的个数为 m，直接写出 m的值． 【答案】(1)2， (2)，理由见详解 (3) (4)或 【思路引导】（1）将点代入直线解析式，可解得，进而可知两直线解析式，联立直线和的解析式，求解即可确定点C坐标； （2）设直线交轴于点，直线交轴于点，分别确定点，，的坐标，易得，进而证明，由全等三角形的性质可得，进一步证明，即可证明结论； （3）联立直线和的解析式，求得可得，结合整点的定义，即可确定点C的坐标为； （4）分别把代入直线和解析式，可得直线与直线和的两个交点间距离为，且，然后分直线与直线和的两个交点中有一个点是整点、直线与直线和的两个交点中都不是整点两种情况，分别进行分析，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：将点代入直线：， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线 的解析式为， 联立直线和的解析式，可得， 解得， ∴点 C坐标为； （2），理由如下： 设直线交轴于点，直线交轴于点，如下图， 对于直线：， 当时，可有，解得， ∴， ∵， ∴， 对于直线：， 当时，可有，即， 当时，可有，解得，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）联立直线和的解析式，可得， 解得， ∴， ∵为整点， ∴为整数，为整数， 又∵，为整数， ∴， ∴点C的坐标为； （4）把代入直线：，得， 把代入直线：，得， ∵， ∴直线与直线和的两个交点间距离为，且， 当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时，可有； 当直线与直线和的两个交点中都不是整点时，可有． 综上可知，或． 【考点剖析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、两直线交点问题、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 题型2 图象法解二元一次方程组 【精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）利用图象解方程组：并结合图象直接写出不等式的解集．    【答案】， 【思路引导】本题考查一次函数与方程的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，根据二元一次方程，绘制函数图象，再根据函数图象，可得不等式的解集． 【规范解答】解：对于一次函数， 当时，，函数与轴的坐标为：；当时，，函数与轴的坐标为：； 对于一次函数， 当时，，函数与轴的坐标为：；当时，，函数与轴的坐标为：； 列表如下： ∵两点确定一条直线 ∴函数图象如下：    由图象可得，函数和的交点，即为方程组的解是， 由函数图象可得，的解集是． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)． 【思路引导】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 【变式2】（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)； (4)，；见解析 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）解：方程的解为：，， 理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【思路引导】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【规范解答】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 题型3 求直线围成的图形面积 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线交于点，且两直线分别与x轴交于点A，B． (1)求k，m的值． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)24 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，直线围成的三角形面积等知识，属于基础知识，务必牢固掌握． （1）把点C坐标代入中，可求得m的值，从而可得点C的坐标；再把点C坐标代入中，即可求得k的值； （2）求出两直线与x轴的交点，即可求得的面积． 【规范解答】（1）解：把点C坐标代入中，得：， ∴， 把代入，得：， 解得：， 综上，，； （2）解：∵， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴． 答：的面积为24． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， 【思路引导】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 【规范解答】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为______； (2)求直线与x轴围成的三角形的面积； (3)过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键． （1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可； 【规范解答】（1）解：将点代入得，, 解得， ∴直线：， ∵直线：和直线：相交于点． ∴方程组的解是． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：． （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， 设过点P且把的面积两等分的直线的表达式为． 把点，代入，得解得 ∴这条直线的表达式为． 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线相交于点，交轴交于点． (1)求直线对应的函数表达式． (2)若四边形的面积为，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，连接，为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或. 【思路引导】（1）用待定系数法，设直线的表达式为，代入、坐标求解； （2）根据，通过的不同求解方式，建立方程求出点的横坐标，代入表达式列方程求点的坐标； （3）先求出直线的函数表达式，当点在点右侧或右侧时，分别求解． 【规范解答】（1）解：因为点， 所以设直线对应的函数表达式为． 把点代入，得， 所以直线对应的函数表达式为. （2）因为直线， 所以点， 所以. 因为， 所以. 又因为， 所以，即点的横坐标为． 把代入，得， 所以点的坐标为. （3）或. 由点，得直线的函数表达式为． 如图1，当点在点右侧时， 将直线沿着轴向上平移6个单位长度，得到直线的函数 表达式为， 此时， 所以， 当时，， 所以点； 如图2，当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，交轴于点，连接， 所以， 所以． 设点． 则， 所以， 解得， 所以点． 设直线的函数表达式为． 把点代入，得， 所以， 所以当时，， 所以点． 综上所述，点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查一次函数表达式、面积计算与角度条件下的点坐标求解，运用待定系数法、面积割补思想、角相等的坐标转化技巧，解题关键是先求直线表达式，再通过面积列方程求交点，最后利用不同位置角相等的斜率关系找坐标，易错点是面积分割错误或角相等的几何关系转化不当． 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线与的图像交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故选：B． 2．（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【规范解答】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知直线与直线交点的坐标为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了两直线交点坐标与方程组解的关系，熟练掌握两者关系是解决本题的关键． 根据两直线交点坐标与方程组解的关系来求解即可． 【规范解答】解：已知直线，移项可得； 直线，移项可得，可整理为， ∴直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 即． 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①函数中，随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③函数的图象不经过第一象限； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查的是一次函数图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【规范解答】解：①由图象可知：函数中，随x的增大而减小；故①正确； ②由图象可知，图象不经过第二象限；故②错误； ③由图象可知：；则函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，故，所以，故④正确； 所以结论正确的有3个， 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（      ） A． B．关于x的方程 的解为 C．关于，的方程组的解为 D．关于的不等式的解为 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【规范解答】解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为， ∴当时，，即， 故结论A正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x的方程的解为， 故结论B正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为， 故结论C正确； ∵由图象可知：一次函数图象不在（）的图象上方时， ∴的解为 故结论D错误； 故选：D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【规范解答】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【规范解答】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 8．（15-16八年级上·江苏·期末）已知一次函数与的图象如图所示，写出关于x，y的方程组的解为 ；若，则k，b的值分别为 ． 【答案】 ，10 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与二元一次方程组的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点． （1）根据二元一次方程组的解就是两函数图象的交点进行解答即可； （2）根据，确定直线过点和，再利用待定系数法求出k、b的值即可． 【规范解答】解：（1）∵一次函数与的图象交于点， ∴该方程组的解为， 故答案为：； （2）∵， ∴直线过点和， ∴， 解得， 故答案为：，10． 9．（24-25八年级下·四川南充·期末）在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点代入直线上，求出m的值，再代入求出b的值，再利用加减消元法求出二元一次方程组的解即可． 【规范解答】解：直线过点， ， ，且过， ， ， 方程组为， 得：， 解得：， 将代入②，解得： 方程组的解为， 故答案为： 10．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知直线与直线都经过，直线交y轴于点B，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、，则以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为6； ④当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大； ⑤当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【思路引导】①由题意得两条直线的交点坐标即为直线表达式组成方程组的解； ②由图象得，当时，直线在直线上面，进而求解即可； ③首先求出已知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出的面积； ④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接，得到，当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度，然后由图象即可判断； ⑤首先求出过点A，的直线为，然后将代入求解即可． 【规范解答】①∵直线与直线都经过 ∴ 方程组的解为，故①正确； ②∵直线与直线交于点 ∴由图象得，当时，直线在直线上面 ∵点是直线上的点，点是直线上的点， ∴当时，，故②正确； ③将代入得， 解得， ∴ ∴当时， ∴； ∴当时， 解得 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴ ∴当时， ∴； ∴ ∴ 的面积为：，故③错误； ④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接， ∴ ∴ ∴当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度 ∴由图象可得，当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大，故④正确； ⑤设过点A，的直线为： 将点A，的坐标代入，得 解得 ∴过点A，的直线为， ∴当时， ∴ 点P的坐标为，故⑤错误． 综上所述，其中正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题考查一次函数的性质，一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数和几何综合，关键在理解一次函数交点、垂直和对称问题，需要仔细审题． 11．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)4 【思路引导】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法． 善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）和一次函数后，把相关知识进行了归纳整理，如图所示： (1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ； (2)如果点C的坐标为，那么不等式的解集是 ，那么不等式的解集是 ． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)；． 【思路引导】此题主要考查了一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的关系，，利用数形结合得出不等式的解集是解答的关键． （1）根据一次函数与方程、不等式的关系，结合图象分别写出①②③④即可； （2）由，点C的坐标为得到函数图象在点C上方部分的横坐标x取值范围即可；由得函数的图象在函数图象上方的部分，由点C的坐标为，即可得出不等式的解集． 【规范解答】（1）解：由题意，①；②；③；④； 故答案为：①；②；③；④； （2）解：∵，点C的坐标为， ∴函数图象在点C上方部分， ∴不等式的解集为； ∵ ∴函数的图象在函数图象上方的部分，又点C的坐标为， ∴不等式的解集是：． 故答案为：；． 13．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、两直线的交点坐标，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）联立两函数解析式，可得点A的坐标，再由三角形的面积公式解答即可； （3）先求出，设点P的横坐标为m，然后分两种情况：当点P在上时，点，当点P在上时，点，即可求解． 【规范解答】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， 设点P的横坐标为m， 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 14．（23-24八年级下·北京密云·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． (1)甲仓库每分钟揽收_________件快递； (2)求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； (3)从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 【答案】(1)6 (2) (3)从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同 【思路引导】本题考查一次函数的应用，求出与的解析式是解题的关键． （1）由图得60分钟收了360件，由此可解； （2）利用待定系数法求解； （3）设与的交点为，将与的解析式联立，求出交点的横坐标即可． 【规范解答】（1）解：甲仓库每分钟揽收快递：（件）， 故答案为：6； （2）解：设线段的表达式为． 由已知，，代入函数表达式得：， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设表达式为．由已知，． ∴． 解得：． ∴表达式为． 设与的交点为， 则， 解得． 答：从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同． 15．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)或或或 【思路引导】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，求两直线交点坐标等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）用待定系数法可得直线解析式； （2）连接，求出D坐标后直线的函数解析式可求，进而C，E两点坐标可求，故四边形可求； （3）分两种情况：当P在y轴上或在x轴上，设出P点坐标，利用作为等量关系列出方程求解即可． 【规范解答】（1） 解：与轴、轴分别交于，两点代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2） 连接，如图： ∵， ， ， ， ， 把代入得：， ∴直线的函数解析式为， 令得， ， 由，得： ， ∴四边形的面积为4； （3）在坐标轴上存在点P，使得，理由如下： ， ， ， 当P在y轴上时，设，如图： ，， ， 解得或， ∴P点坐标或； 当P在x轴上时，设，如图： ，， ， 解得或， ∴P点坐标或． 综上所述，P的坐标为或或或 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破11 一次函数与二元一次方程 （知识回顾+3种重难点培优题型+真题演练 共27题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 1 知识点梳理03：方程组解的几何意义 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 2 题型2 图象法解二元一次方程组 4 题型3 求直线围成的图形面积 6 期末真题 实战演练 8 知识点梳理01：一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 知识点梳理03：方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 【精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则一次函数与的图象的交点坐标是 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【变式2】（25-26八年级上·广西百色·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线 ：（k为常数，） 与 y轴交于点 A，直线：与 y轴交于点 B，两直线交于点 C． (1)若点 B坐标为，求 k的值和点 C坐标； (2)在（1）的条件下，探究直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当 k为整数时，求 C为整点时的坐标； (4)设直线落在内部（不含边界）整点的个数为 m，直接写出 m的值． 题型2 图象法解二元一次方程组 【精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）利用图象解方程组：并结合图象直接写出不等式的解集．    【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【变式2】（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 题型3 求直线围成的图形面积 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线交于点，且两直线分别与x轴交于点A，B． (1)求k，m的值． (2)求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为______； (2)求直线与x轴围成的三角形的面积； (3)过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线相交于点，交轴交于点． (1)求直线对应的函数表达式． (2)若四边形的面积为，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，连接，为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知直线与直线交点的坐标为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①函数中，随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③函数的图象不经过第一象限； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（      ） A． B．关于x的方程 的解为 C．关于，的方程组的解为 D．关于的不等式的解为 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 7．（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 8．（15-16八年级上·江苏·期末）已知一次函数与的图象如图所示，写出关于x，y的方程组的解为 ；若，则k，b的值分别为 ． 9．（24-25八年级下·四川南充·期末）在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 10．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知直线与直线都经过，直线交y轴于点B，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、，则以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为6； ④当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大； ⑤当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确结论的序号是 ． 11．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法． 善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）和一次函数后，把相关知识进行了归纳整理，如图所示： (1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ； (2)如果点C的坐标为，那么不等式的解集是 ，那么不等式的解集是 ． 13．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 14．（23-24八年级下·北京密云·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． (1)甲仓库每分钟揽收_________件快递； (2)求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； (3)从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 15．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $