5.5 一次函数与二元一次方程 同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

5.5 一次函数与二元一次方程 一、单选题 1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，直线与直线都经过点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 4．若直线与直线的交点坐标为，则解为 的方程组是（  ） A． B． C． D． 5．如图，两直线，的交点坐标可以看作方程组（   ）的解． A． B． C． D． 6．方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B．3 C．5 D． 7．若直线和相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 9．已知直线过点，那么关于的二元一次方程的一组解为 ． 10．二元一次方程有 个解，以它的每一个解为坐标的点都在一次函数 的图象上．反过来，一次函数 的图象上的每一个点的坐标均满足二元一次方程． 11．若方程组无解，则图像不经过第 象限． 12．两条直线和的位置关系为 ．由此可知，方程组的解的情况为 ． 13．如图，已知一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的方程组的解是 ． 三、解答题 14．利用一次函数的图象解二元一次方程组 15．如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 16．已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 17．正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)已知点在图像上，若，求的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式． (2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．解求出，得出点的坐标为，然后判断即可． 【详解】解：联立方程组：， 解得： ∴点的坐标为． ∵且， ∴点位于第四象限． 故选D． 2．D 【分析】关于x、y的二元一次方程组的解即为直线y＝ax+b与y＝mx的交点A的坐标． 【详解】解：∵直线y＝ax+b与y＝mx相交于点A（﹣1，2）， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是． 故选：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．解题关键是明确方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 3．C 【分析】将点分别代入与求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 4．C 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，判断是否是二元一次方程组的解，等式的性质等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义并利用不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：直线与直线的交点坐标为， 是方程组的解， 即：是方程组的解， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、方程组的解为：，故错误，不符合题意； B、方程组的解为：，故正确，符合题意； C、方程组的解为：，故错误，不符合题意； D、方程组的解为：，故错误，不符合题意， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到方程组的解，然后把方程组的解代入方程组，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：根据图象得：方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由题意可知，一次函数和的图象交于点， 关于，的方程组的解是． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程之间的关系，一次函数图象上的点的横纵坐标即为一次函数解析式对应的二元一次方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵直线过点， ∴关于的二元一次方程的一组解为， 故答案为：． 10． 无数 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式和方程联立解答． 本题需要把直线解析式和方程联立解答即可． 【详解】解：二元一次方程有无数个解，以它的每一个解为坐标的点都在一次函数的图象上．反过来，一次函数的图象上的每一个点的坐标均满足二元一次方程． 故答案为：无数，，． 11．三 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图像与系数的关系，解题的关键是求出k的值．根据两直线平行没有公共点得到，解得，则一次函数为，然后根据一次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：∵方程组无解， ∴，解得， ∴一次函数为， ∵一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 12． 平行 无解 【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线的相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况． 【详解】解：∵对于两条直线和，， ∴两条直线平行； 方程组可化为， ∵两条直线平行，没有交点， ∴方程组无解， 故答案为：平行，无解． 13． 【分析】本题考查函数与对应方程组的关系，重点理解交点及方程组解的对应关系；熟练数形结合的应用． 由题可知，利用函数图象，求解对应方程组的解；由于方程组的解即为与其对应函数交点的坐标，即可求解． 【详解】解：由题可知：一次函数与一次函数的图象相交于点， 又所求方程组，恰为对应的函数组成， 又函数图象的交点即为其对应方程组的解， ∴方程组的解为：， 故答案为：． 14． 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式； （2）解方程组求出点的坐标； （3）利用数形结合思想解答． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得， 直线的解析式为：； （2）解：由（1）得直线的解析式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：由（2）得点的坐标为 ∴根据图象可得关于的不等式的解集为． 16．(1)4；9 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象可知甲5小时匀速行驶了20千米，得到其速度为；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为； （2）乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据函数图象，先求出甲离开A地的距离与时间函数关系式与乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式，然后求出它们的交点，即可求出相遇的时间． 【详解】（1）解：根据图象可知甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； 故答案为：4；9； （2）设乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：， 由（1）可得：函数过，， ∴，解得：， ∴乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； （3）由（2）知乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； 设甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 由图象可知：函数关系式经过， ∴，解得, ∴甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 联立：，解得：， ∴时，甲、乙二人相遇． 17．(1)正比例函数表达式为；一次函数表达式为； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用正比例函数过点，将点坐标代入可求即可求得正比例函数．利用一次函数过点和，代入两点坐标列方程组求解、即可求得一次函数； （2）不等式的解集，就是正比例函数图像在一次函数图像上方时的取值范围，结合两函数交点的横坐标判断； （3）先求出的面积，再根据求出的面积，设点坐标，利用三角形面积公式（为底，点纵坐标的绝对值为高）求出的值，再代入一次函数表达式求，得到点坐标． 本题主要考查了正比例函数与一次函数的表达式求解、利用函数图像解不等式以及三角形面积与函数坐标的综合应用，熟练掌握函数图像上点的坐标特征、一次函数与正比例函数的性质及三角形面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：正比例函数过点 ， 解得， 正比例函数表达式为； 一次函数过点， 解得，， 一次函数表达式为； （2）解：正比例函数和一次函数交于点，且不等式表示正比例函数图像在一次函数图像上方． ； （3）解：，点纵坐标为， ． ． 设， ， ，即， 解得或． 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得，此时； 综上，的坐标为或． 18．(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据图象解答即可； （3）先求出B点坐标，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ，即点C坐标为， 一次函数经过、点， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）由图象可得不等式的解为：； （3）一次函数与y轴交于B， ， 点C坐标为， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式等知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $