专题5.2 正比例函数的图象与性质（举一反三讲义）数学苏科版2024八年级上册

本讲义聚焦正比例函数的图象与性质核心知识点，从定义入手，通过描点法画图象，梳理坐标特征、增减性、象限分布等性质，最终落实到解析式求解及图形面积应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“题型+变式”设计为特色，结合滴水实验等真实情境，通过例题与变式练习培养学生抽象能力和推理意识，课中助力教师分层教学，课后便于学生自主回顾与强化，有效提升知识应用与问题解决能力。

专题5.2 正比例函数的图象与性质（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 正比例函数的定义】 1 【题型2 画正比例函数的图象】 3 【题型3 正比例函数图象上点的坐标特征】 7 【题型4 正比例函数的增减性】 9 【题型5 根据正比例函数的性质比较大小】 11 【题型6 正比例函数经过的象限】 13 【题型7 求正比例函数的解析式】 15 【题型8 正比例函数中的图形面积】 18 知识点1 正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫做正比例函数，其中x是自变量，y是x的函数. 知识点2 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点3 正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)性质 当k>0时,y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的)； 当k<0时,y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的)； |k|越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快. 【题型1 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正比例函数，根据正比例函数定义，形如（为常数且），自变量的次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，含常数项，不符合的形式，故错误； B．，符合（），是正比例函数，正确； C．，自变量次数为2，不符合次数为1的条件，错误； D．，自变量次数为，不符合次数为1的条件，错误． 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·吉林·期末）若是正比例函数，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如的函数为正比例函数．根据正比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴，解得：， 故选：B． 【变式1-3】（2025八年级下·全国·专题练习）若函数是正比例函数，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数．根据正比例函数的定义，可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， ∴， 故选：A． 【题型2 画正比例函数的图象】 【例2】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为．． （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 【变式2-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．由的图象经过一，三象限可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一，三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【变式2-2】（2025八年级下·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． (1)x； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正比例函数的图象，正比例函数的图象一定过． （1）根据函数图象经过点，，画出函数图象即可； （2）根据函数图象经过点点，画出函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，，则该直线经过点，．其图象如图所示． （2）解：当时，；当时，，则该直线经过点，． 其图象如图所示． 【变式2-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数图象经过点，求： (1)这个函数解析式； (2)在图中用描点法画出这个函数图象； (3)判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)在，不在 【分析】（1）将点代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可． 【详解】（1）∵正比例函数图象经过点， ∴ ∴ ∴； （2）正比例函数经过原点和点，且是一条直线， 如图所示， （3）将代入， ∴点在这个函数图象上； 将代入， ∴点不在这个函数图象上． 故答案为：在，不在． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 【题型3 正比例函数图象上点的坐标特征】 【例3】在直角坐标系中与在同一个正比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出正比例函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征对照四个选项即可得出结论． 【详解】设正比例函数解析式为y=kx， 将（2，-3）代入y=kx， -3=2k，解得：k=-， ∴正比例函数的解析式为y=-x． 对照四个选项中点的坐标即可得出C选项中的点在该比例函数图象上． 故选C． 【点睛】考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键． 【变式3-1】图象过点的正比例函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正比例函数为 ，把点的坐标代入函数解析式，求得的值即可． 【详解】解：设正比例函数为 ， 正比例函数的图象过点，代入得： ， 解得，， 该函数关系式为：； 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，设出函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）若在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 把点代入直线求解即可． 【详解】解：把代入直线，得 ， 解得：． 故答案为：． 【变式3-3】如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出当直线刚好过点时和当直线刚好过点时的的值，即可得到答案． 【详解】解：当直线刚好过点时，将代入， 得：， 解得：， 当直线刚好过点时，将代入， 得：， 解得：， 当直线与线段有交点时，的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，正比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求临界值是解题的关键． 【题型4 正比例函数的增减性】 【例4】（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键． 由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：在正比例函数中， ∵的值随的值增大而减小， ∴． 解不等式得 ． ∴只要取大于2的数都符合题意； 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果正比例函数的图象经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法以及正比例函数的增减性与正比例函数的比例系数之间的关系是解题的关键 ． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴的值随的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式4-2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．由正比例函数，y随x的增大而减小，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式4-3】（2025·上海崇明·二模）已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．根据正比例函数的性质可知，根据正比例函数不经过点得出，从而可以写出一个符合要求的函数解析式． 【详解】解：∵正比例函数的值随着自变量的值增大而增大， ， 当正比例函数过点时，则， 故不经过点时，， 且， ∴这个正比例函数的解析式可以是， 故答案为：． 【题型5 根据正比例函数的性质比较大小】 【例5】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数中值的大小比较，解题的关键是作直线与已知直线产生交点，将值转为交点的纵坐标．作直线与两直线分别交于A，B两点，将值的大小比较转化为A，B两点的纵坐标大小比较． 【详解】如下图所示，作直线与两直线分别交于A，B两点，易得，， 由图知，，即． 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知函数图象上存在两点，，则（   ） A． B． C． D．a、b大小无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据解析式可得y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数解析式为， ∴y随x增大而增大， ∵点，在正比例函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 【变式5-2】（2025·陕西安康·二模）已知点和点是正比例函数图象上的两个点．如果，那么和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的增减性是关键．根据正比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ， 故选：B． 【变式5-3】如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据函数图象所在象限可判断出，，再根据直线上升的快慢可得，进而可得答案． 【详解】解：由图像可知，正比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵的图象比的图象上升得快， ∴， ∵的图象在二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6 正比例函数经过的象限】 【例6】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．由题意可知，正比例函数中，故图象经过第二、四象限．根据各选项点的坐标所在象限及正比例函数必过原点的性质，逐一排除即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数中，y随x的增大而减小， ∴，函数图象经过第二、四象限． ∵点在第一象限，点在y轴正半轴，点在第三象限，点在第四象限， ∴符合题意只有D选项． 故选：D 【变式6-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数图象经过第二、四象限可得，由此即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，再结合直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象，可得，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， 如图，直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象， ∴， ∴的值可以为：， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，根据正比例函数的图象上有一点，且，得出 ，再解得，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象上有一点，且， ∴经过第二、四象限，， ∴ ， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：1 【题型7 求正比例函数的解析式】 【例7】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出点与点的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，直线经过原点， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选B． 【变式7-1】（吉林省长春市2024~2025学年度下学期八年级期末测试数学试卷　）一个正比例函数的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的图像和性质． （1）直接将代入计算即可； （2）直接将代入计算即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：将代入得， 解得． 【变式7-2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知正比例函数的自变量减少时，对应的函数值增加，求该正比例函数的解析式． 【答案】 【分析】考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数的图象与性质．设该正比例函数解析式为，根据正比例函数的自变量减少时，对应的函数值增加可得：，把代入，解方程求出值即可． 【详解】解：设该正比例函数解析式为， 由题意得到：， 把代入， 可得：， 解得， 该正比例函数的解析式是． 【变式7-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知与之间成正比例关系，且图象经过点． (1)求与之间的函数解析式． (2)画出该函数的图象． (3)图像上有两点，，如果，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据题意设出函数解析式，把代入解析式，便可求出k的值，从而求出其解析式； （2）描点两点，连线即可求解； （3）根据正比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解∶∵与之间成正比例关系， ∴设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：该函数的图象经过和原点， 该函数的图象如图所示． （3）解：， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型8 正比例函数中的图形面积】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点代入求出，得，设点，表示出，以为点的高是A点纵坐标7，根据三角形面积求得a的值，进而写出点C坐标． 【详解】解：∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； 设点C的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点C的坐标是或， 故答案为：或． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 【答案】 【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，再利用三角形的面积求解A的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B， ∵16个边长为1的正方形面积为16， ∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5， ∵OB＝4， ∴AB＝5×2÷4＝， ∴A（，4）， 即4＝k， 解得k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的关键． 【变式8-2】如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019= ．    【答案】 【分析】先结合图形确定的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得． 【详解】解：由题意可得：当时，， ∴ ∴， ∵直线l1⊥x轴，直线l2⊥x轴，直线l3⊥x轴，，直线ln⊥x轴 ∴l1∥l2∥l3∥∥ln ∴当时四边形An-1AnBnBn-1是梯形 ∵平行线间距离处处相等，所以梯形An-1AnBnBn-1的高为1 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题是规律题，考查了一次函数求点的坐标及平行线间距离处处相等，根据特殊情况找出一般规律是解题关键． 【变式8-3】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ． 【答案】或2 【分析】由可知点在直线上，当点在的左侧且的面积等于10时，求得的值，当点在的右侧且的面积等于10时，求得的值．本题考查了三角形的面积，正比例函数的图象性质，坐标与图形性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， 点的坐标为， 点在直线上， 当点在的左侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 当点在的右侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 的面积等于10，则或． 故答案为：或2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 正比例函数的图象与性质（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 正比例函数的定义】 1 【题型2 画正比例函数的图象】 2 【题型3 正比例函数图象上点的坐标特征】 3 【题型4 正比例函数的增减性】 4 【题型5 根据正比例函数的性质比较大小】 4 【题型6 正比例函数经过的象限】 5 【题型7 求正比例函数的解析式】 6 【题型8 正比例函数中的图形面积】 6 知识点1 正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫做正比例函数，其中x是自变量，y是x的函数. 知识点2 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点3 正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)性质 当k>0时,y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的)； 当k<0时,y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的)； |k|越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快. 【题型1 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是正比例函数，则的值为 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·吉林·期末）若是正比例函数，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D． 【变式1-3】（2025八年级下·全国·专题练习）若函数是正比例函数，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 【题型2 画正比例函数的图象】 【例2】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【变式2-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025八年级下·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． (1)x； (2)． 【变式2-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数图象经过点，求： (1)这个函数解析式； (2)在图中用描点法画出这个函数图象； (3)判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 【题型3 正比例函数图象上点的坐标特征】 【例3】在直角坐标系中与在同一个正比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】图象过点的正比例函数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）若在直线上，则 ． 【变式3-3】如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型4 正比例函数的增减性】 【例4】（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 【变式4-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果正比例函数的图象经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【变式4-2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【变式4-3】（2025·上海崇明·二模）已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 【题型5 根据正比例函数的性质比较大小】 【例5】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知函数图象上存在两点，，则（   ） A． B． C． D．a、b大小无法确定 【变式5-2】（2025·陕西安康·二模）已知点和点是正比例函数图象上的两个点．如果，那么和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式5-3】如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 【题型6 正比例函数经过的象限】 【例6】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是 （    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式： 【变式6-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为 ． 【题型7 求正比例函数的解析式】 【例7】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（吉林省长春市2024~2025学年度下学期八年级期末测试数学试卷　）一个正比例函数的图象经过点． (1)求正比例函数的解析式； (2)当时，求x的值． 【变式7-2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知正比例函数的自变量减少时，对应的函数值增加，求该正比例函数的解析式． 【变式7-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知与之间成正比例关系，且图象经过点． (1)求与之间的函数解析式． (2)画出该函数的图象． (3)图像上有两点，，如果，则______． 【题型8 正比例函数中的图形面积】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是 ．    【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 【变式8-2】如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019= ．    【变式8-3】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $